讓探究成為一種習慣
——以一道向量高考題為例*

朱永廠 (江蘇省無錫市輔仁高級中學 214123)

數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題開展自主探究、合作研究并最終解決數學問題的過程．具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論．[1]在數學探究過程中，學生既能獲得概念與規律，又能掌握研究的方法，形成研究事物所必需的探究能力．本文從一道江蘇高考題的微型探究說起，旨在呼吁讓數學探究成為一種習慣．

1 提出問題

圖1

本題是一道以三角形為載體，以向量運算為目標，以基底法、坐標法、幾何法和消元法等為工具，以等價轉化思想和數形結合思想為依托的試題，立意深、入口寬．通過對三角形中平面向量數量積的運算、應用和探究，能夠培養學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算素養．

2 對問題進行探究

通過對一個典型問題的難點、疑點和關鍵點進行微型探究，能夠發現問題的本質，找到知識間的內在聯系，可以培養良好的思維習慣，提高分析問題和解決問題的能力．

2.1 從基底入手，挖掘問題的本質屬性

合理地選擇基底向量，將所求向量用基底表示，能夠使復雜的問題簡單化．引導學生利用向量共線定理、向量運算法則、平面向量基本定理和向量的數量積等工具，能夠獲得滿意的解法．

若直接利用平面向量基本定理和向量相等作為工具，可以得到簡單的二元一次方程組，從而使問題輕松獲解．

·借題發揮：探究典型問題的一般情形

圖2

(1)若點P在△OAB(區域Ⅰ)內，則有0

(2)若點P在∠AOB內且在直線AB右上方(區域Ⅱ)，則x> 0,y> 0，且x+y> 1；

(3)若點P在區域Ⅲ內，則x< 0,y< 0；

(4)若點P在區域Ⅳ內，則x< 0,y> 0，且x+y< 1；

(5)若點P在區域Ⅴ內，則x> 0,y< 0，且x+y< 1；

(6)若點P在區域Ⅵ內，則x< 0,y> 1，且x+y> 1；

(7)若點P在區域Ⅶ內，則x> 1,y< 0，且x+y> 1．

2.2 從坐標出發，探究問題的通性通法

坐標是溝通數與形的橋梁和紐帶，是平面向量基本定理和向量分解的完美結合，是向量正交分解的結果和體現，是解決向量問題的重要工具．

圖3

方法3的運算較為繁瑣，能否優化建系的方法使運算簡化呢？如果以A為坐標原點建系，可以做到．

圖4

·借題發揮：坐標法彰顯問題的通性通法

坐標法具有很強的工具性，我們從2018年高考江蘇卷第13題的坐標解法可窺見一斑[2]．

試題：在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為．

圖5

建坐標系的方法不同，運算量或難易度就有所不同．

2.3 向幾何回歸，追求解法的簡潔美

如果從三角形自身的特點和已知條件出發，通過添加輔助線能使問題輕松、巧妙地獲解．

圖7

如果從平面幾何的平行線分線段成比例或三角形相似的視角去研究問題，可使問題獲得更自然的解法．

圖8

·借題發揮：追求解法的簡潔美

回歸問題本源，往往可以獲得一個復雜問題的自然、簡單的解法．

A.點P在△GAB內

B.點P在△GBC內

C.點P在△GCA內

D.點P與點G重合

圖9

3 對數學教學的思考

數學教學必須以學生的主動參與為前提、以培養學生學會學習為目標，教師的教是為了少教，學生的學是為了會學．對于本題的探究，不僅讓學生深化了對向量的運算、平面向量基本定理、向量數量積、向量的坐標運算等核心概念的理解，還將這些概念的本質和內涵進行了深度挖掘，讓學生得到從“眼中有樹木”到“胸中有森林”的升華．基于此，筆者對數學教學有如下思考.

3.1 數學教學重在數學思維

數學教學是思維活動的教學．數學能力的提高在于解題的質量而非解題的數量，數學教學要重在研究思考問題的方向和策略．教師對問題的講解要注重知識的形成過程，要講相關知識點之間的聯系，要講如何想到的、為什么這樣想、條件與目標之間應該如何轉化，要把教師之前不成熟的想法、錯誤的想法和調整后的想法展現給學生，要多講通性通法，少講或不講技巧，要教會學生如何思考[3]．

3.2 數學教學重在數學理解

章建躍博士認為,“數學教學只有建立在理解數學、理解學生和理解教學的基礎上，才能使課堂教學達到高效”．理解數學，是課堂教學預設的前提，是知識生成的關鍵，教師只有理解數學才能挖掘出知識中所蘊含的思想和方法；理解學生，是教師將已有的知識、方法和思想傳給學生前要知道學生的現有水平、可能遇到哪些障礙以及如何進行難點突破；理解教學，是教學設計的依據，教學過程是以數學知識為載體的學生的認知過程.教師只有把握住這三個理解才能在學生知識的“最近發展區”設計出好問題．

3.3 數學教學重在數學探究

為了強化學生的理解、促進學生的深度學習、發展學生的核心素養，可以引領學生針對某一問題或問題的某一方面進行自主的微探究活動，幫助學生實現知識建構和能力提升．可以以數學核心概念、典型問題或具有探究價值的問題為載體，將相關的概念、規律、原理、模型等進行整合，創設積極、民主的探究氛圍，組織科學、合理的微探究.這種探究立足于點而不是面，其切口小、針對性強、指向性明確、效率高，能高效地助力學生突破知識的重點、難點、疑點和關鍵點，做到因微而準、因微而細、因微而深，達到促進學生深化數學理解、提高教學質量、發展核心素養的目的．

數學教學重在自主構建，重在恰當的啟發，重在關鍵時刻的喚醒．教師的責任不是灌輸，不是死抓學生不放，不是搞題海戰術，而是提好問題，是創設積極、民主的探究氛圍，是適度的引領，是讓學生帶著問題走進課堂，通過課堂解決后，又提出新問題走出課堂．