例談數學應用問題的定義域

李 紅 倉萬林 (江蘇省江陰市要塞中學 214432)

數學應用問題是數學教與學的重要內容之一．核心素養是當前課程改革的關鍵詞之一．數學核心素養體系中的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析都與數學應用問題息息相關．[1]

一般認為，在數學應用問題中建立模型和求解是解決應用問題的核心任務，這當然是對的．李世锜先生認為：“一道數學應用題的敘述中，影響理解的因素可以歸納為以下幾個主要方面：(1)已知量、未知量的描述方式和明確程度；(2)各項信息排列的先后次序；(3)關鍵詞語吸引注意力的程度；(4)詞語、句法的復雜程度．”[2]其中，第一點就和定義域密切相關，定義域也是實際應用問題中建立模型時必不可少的環節之一．同時，應用問題中的定義域也直接影響后續函數模型的求解，必須引起重視，尤其是在部分定義域呈現方式比較隱晦的應用問題中．我們不妨從以下幾個方面分析應用問題的定義域．

1 相關變量的實際意義

解決應用問題時，我們一般從要素角度對定義域進行表征，建立不等式或不等式組來解決定義域問題．對于相關要素的一些顯性要求應優先考慮，如人數一般只能為零或正整數，長度也不會出現負值等．

例1(2017屆南京、鹽城調研二第17題)在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3 600 cm2的矩形紙板

圖1

ABCD，然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒(圖1)．設小正方形邊長為xcm，矩形紙板的兩邊AB,BC的長分別為acm和bcm，其中a≥b．

(1)當a=90時，求紙盒側面積的最大值；

(2)試確定a,b,x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．

點評考慮到相關長度表達式，無論是具體數字類型還是含有字母類型，都需從長度大于0入手限制范圍，從而確定定義域，注意不能有遺漏．

2 變量的相互制約條件

在應用問題中，如果給出了變量之間的等式或者不等式制約關系，應結合相關量的表達式再壓縮定義域.此類定義域問題更容易出差錯．

圖2

(1)求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；

(2)求N-M的最大值及相應的x的值．

點評由于y>x，y用x表示后，再解分式不等式，可以還原明確的函數定義域.這要比直接從相關量的實際意義出發更隱蔽，更要引起重視．

3 抓住主要變量的變化特征

在部分應用問題中，從變量的實際意義或相關變量的關系角度無法明顯壓縮定義域，這時學生們往往比較糾結，通常明顯感到定義域范圍太大了，又無從下手分析．此時，不妨從微觀角度分析主要變量的變化特征，再變換角度分析其范圍．

圖3

(1)記PA=f(θ)，求f(θ)的函數解析式，并確定θ的取值范圍；

(2)當開發的三角形區域PAO的面積最大時，求繞城公路AB的長．

點評在原有結構中的角度范圍，顯然是屬于潛伏版的，參考答案的理解上也有一點點的障礙．我們不妨把點P的軌跡單獨分離出來分析，問題就水落石出了．

圖4

應用問題中的定義域關系到應用問題的建模和最優解的求解，對定義域的分析可以更加有效提升學生邏輯推理、數據分析和數學建模等核心素養，必須引起重視．