主題教學引領(lǐng)的“等差數(shù)列的前n項和”的課堂實踐與反思

劉 煒 (江蘇省蘇州中學 215006)

“核心素養(yǎng)”是本次課改的關(guān)鍵詞，指新時代的公民必須具備的人格品質(zhì)及其關(guān)鍵能力，是落實“立德樹人”的重要標尺．數(shù)學學科的六個核心素養(yǎng)被寫進課程目標，即希望能貫穿高中數(shù)學教育的全過程．落實課程目標的重要載體和途徑是教學，要與傳統(tǒng)的以逐個知識點的“了解”“識記”“理解”為目標的教學相區(qū)別，其關(guān)鍵在于實施“主題教學”．主題教學設(shè)計倡導(dǎo)將教學內(nèi)容置于主題整體內(nèi)容中去把控，更多地關(guān)注教學內(nèi)容的本質(zhì)、蘊涵的思想以及學生素養(yǎng)的培養(yǎng)．[1]如何能讓主題教學的理念在一線教學中落地生根？筆者以“等差數(shù)列的前n項和”為例談主題教學在具體課堂中的實踐，并加以反思．

1 教學內(nèi)容分析

教學設(shè)計過程通常包括三個環(huán)節(jié)：前期準備，開發(fā)設(shè)計，評價修改．前期準備工作是整個教學設(shè)計的基礎(chǔ)，主題教學設(shè)計首先需要對主題內(nèi)容進行整體分析，包括數(shù)學整體分析、課程標準要求分析、學生學習情況分析、內(nèi)容重點(本質(zhì))分析、教材對比分析、教學方式分析等；其次，在此基礎(chǔ)上確定主題教學目標.這里需要特別強調(diào)的是，主題目標不是每個知識點目標的總合，而是綜合提煉，如此更容易體現(xiàn)通識核心素養(yǎng)和學科核心素養(yǎng)的達成程度，這個環(huán)節(jié)是教學的關(guān)鍵．[2]由此，針對課題“等差數(shù)列的前n項和”，筆者著重對以下幾個要素進行分析．

1.1 數(shù)學整體分析

從數(shù)列一章來看，等差數(shù)列的前n項和是對等差數(shù)列研究的進一步討論，是數(shù)列求和研究的第一個案例，對等比數(shù)列求和可能有一定啟發(fā)性.從函數(shù)主線來看，其本質(zhì)在于研究前n項和這個新數(shù)列的通項公式，即屬于離散變量的函數(shù)模型，從而可以用“圖象”描述數(shù)列求和變化情況.從課程標準來看，求和可以給定積分的定義和運算奠定基礎(chǔ)，也是級數(shù)最初級的形態(tài)，從而可以走向函數(shù)問題研究的高級階段——微積分．

1.2 課程標準分析

數(shù)學課程標準指出：數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，是數(shù)學重要的研究對象，是研究其他類型函數(shù)的基本工具．在教學目標中，要求學生了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體現(xiàn)數(shù)學的整體性．[3]在理解等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的聯(lián)系上，最直接的經(jīng)驗就是利用函數(shù)研究等差數(shù)列的前n項和，從而得到等差數(shù)列前n項和與一元二次函數(shù)的聯(lián)系．

1.3 學生學情分析

在本節(jié)課之前，學生已經(jīng)掌握了數(shù)列的概念以及等差數(shù)列的定義、通項和簡單性質(zhì)；有研究函數(shù)的常規(guī)方法，表示函數(shù)的基本經(jīng)驗；在初中階段，對一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式與圖象有深刻的認識；在小學階段，儲備過等差數(shù)串、高斯和等內(nèi)容的活動體驗，三角形、梯形面積公式推導(dǎo)的活動經(jīng)驗．在此基礎(chǔ)上，對等差數(shù)列前n項和的探究活動就可以有豐富的視角進行切入，從不同的維度加以理解．

2 教學過程簡述

本節(jié)課是蘇教版必修5中的內(nèi)容，在課程標準的框架和主題教學的引領(lǐng)下，以函數(shù)為主線來探究等差數(shù)列的前n項和，教學設(shè)計分成五個環(huán)節(jié)，即問題、探究、歸納、應(yīng)用、升華.下面，筆者結(jié)合教學實踐加以闡述．

2.1 問題：發(fā)現(xiàn)問題，提出問題

教師從復(fù)習等差數(shù)列的定義引入課堂，提醒學生用數(shù)學的眼光來看待實際問題，觀察教材中鋼管堆放的案例，從而發(fā)現(xiàn)并提出問題，即研究等差數(shù)列的前n項和．

引例圖1是一堆鋼管的截面圖，請計算鋼管的數(shù)量．

圖1

將鋼管數(shù)量抽象成數(shù)字求和，可累加解決.因此教師追問：如何求1+2+3+4+5+6+…+ 2 035的值？在模型相同、數(shù)據(jù)較多時加以抽象，從而呼喚“公式”以解決一類問題．由此發(fā)現(xiàn)并提出問題：

已知{an}是等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的前n項和Sn=a1+a2+…+an．

教師帶領(lǐng)學生分析，在等差數(shù)列{an}中，首項a1、公差d是確定的，前n項和隨n的變化而變化，因此確立的目標是將Sn寫成關(guān)于n的函數(shù)φ(n)．根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，可以將求和改造為Sn=na1+(1+2+…+(n-1))d.雖然是關(guān)于n的函數(shù)形態(tài)，但不能稱為公式，從而將問題轉(zhuǎn)化為研究前(n-1)個正整數(shù)的和：1+2+…+(n-1)，為方便記錄，可研究前n個正整數(shù)的和f(n)=1+2+…+n．

如果將表達式再次還原成鋼管堆放的問題(如 圖2)，不難發(fā)現(xiàn)，f(n)就是畢達哥拉斯研究的第n個三角形數(shù)．

評注本環(huán)節(jié)為“問題”，即引入課題，有兩個要素值得思考：其一，從外在形式來看，用什么樣的情境是十分關(guān)鍵的．往往有教師為求新求異而創(chuàng)設(shè)情境，這時便脫離了教材，因此在“用教材教”時首先要問的問題是“教材創(chuàng)設(shè)的情境是什么?目的如何?”，接著追問“它是否體現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)？本班學生是否熟悉和理解該情境？自己能否理解和把握該情境？”等問題．[4]據(jù)此,選擇教材中鋼管堆放的問題是最貼近學生生活、最能體現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)的．其二，從邏輯本質(zhì)來看，為什么要研究本課題才是至關(guān)重要的．累加適用于簡單較少數(shù)的求和，一旦數(shù)據(jù)增多便需要新的方法，這是刺激學生探究的動機，也是本節(jié)課研究的邏輯起點，這樣的“問題意識”才是真的素養(yǎng).學會發(fā)現(xiàn)問題并提出問題，才能有接下來的研究問題．

2.2 探究：經(jīng)驗意識，模型意識

圖3

表1 三角形數(shù)

評注常規(guī)來說，對于等差數(shù)串的求和技術(shù)是承接小學的知識，偶數(shù)個可以配對、奇數(shù)個可以添項或減項，其本質(zhì)源自前面對于鋼管的觀察，發(fā)現(xiàn)對稱項的和相等.這個觀點是等差數(shù)列求和公式很重要的技術(shù)要領(lǐng)，也是人們簡便計算的一個主要原因．在本環(huán)節(jié)中，重點在于讓學生學會觀察和處理數(shù)據(jù).其一，數(shù)列的觀念是列數(shù)，通過列數(shù)找規(guī)律，這需要學生有較強的歸納意識；其二，模型的建立通過數(shù)據(jù)擬合，也就是從代數(shù)角度出發(fā)由對部分的研究去揭示整體數(shù)據(jù)的特點．這樣的處理可以平移到等比數(shù)列，再借鑒“裂項”的方案就可以找到“錯位相減”的理論依據(jù).從這個角度來說，本節(jié)課就實踐了“主題教學”的理念．

2.3 歸納：解決問題，推廣問題

表2

評注教材使用鋼管堆放作為引例，其目的在于讓學生觀察到“倒序和相等”的現(xiàn)象，從而便于推導(dǎo)出求和公式.本環(huán)節(jié)中,使用等差數(shù)列代數(shù)形式上的對稱性，從而得到“下標和相等則項的和相等”的性質(zhì)，再次從幾何直觀的角度推導(dǎo)求和公式，回應(yīng)小學時梯形的面積公式．

2.4 應(yīng)用：運用公式，反思公式

教師在分析兩個公式的基礎(chǔ)上給出例題，即對新得的兩個公式進行簡單應(yīng)用．

變式 (類教材例2)在等差數(shù)列{an}中，已知a1=3，an=101，Sn=2 600，求d及n．

這兩個問題是簡單的，方法是明確的.其后，教師引導(dǎo)學生提出并思考兩個問題：

圖4

思考2 將例1(2)中的數(shù)列制成表3，并轉(zhuǎn)化為圖4，即寬度為1的柱狀統(tǒng)計圖，此時前10項的和就是這些柱形圖的面積．你可以聯(lián)想到物理學中的什么現(xiàn)象？

表3

學生易聯(lián)想到物理學中勻加速運動中的v-t圖象，其面積就是位移．此時教師加以點評，求和從幾何角度理解即為研究矩形面積之和．

例2(教材例3改編)在等差數(shù)列中，完成如下問題：

(1)第1項到第3項的和為3，第4項到第6項的和為6，求第7項到第9項的和；

(2)第1項到第5項的和為5，第6項到第10項的和為10，求第11項到第15項的和；

(3)第1項到第4項的和為4，第5項到第8項的和為8，求第9項到第12項的和．

在實際教學過程中，由于從思考2得到類比，學生十分容易得到答案，也可以歸納出一般性的結(jié)論：已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，Sn是其前n項和，則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …成首項為Sn、公差為n2d的等差數(shù)列．

評注應(yīng)用如果僅僅落實在公式的選擇上，那么就是膚淺的．波利亞曾指出：回顧已經(jīng)完成的解答是解題工作中的一個重要且有啟發(fā)性的階段.由此說來，從解決問題的過程中學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題才是具有生長性的．在本環(huán)節(jié)中，我們不僅通過例題的練習與講解鞏固并重新認識了公式，同時又一次從函數(shù)形態(tài)的圖形特點理解了公式，其中矩形面積之和的問題指向了高等數(shù)學中的級數(shù)與積分，為未來的學習埋下伏筆，積累經(jīng)驗．

2.5 升華：回顧課堂，拓展課堂

教師引導(dǎo)學生回顧本節(jié)課，發(fā)現(xiàn)分成兩大塊：數(shù)學建構(gòu)和數(shù)學應(yīng)用.其中數(shù)學建構(gòu)部分讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，解決問題的全過程；數(shù)學應(yīng)用部分在應(yīng)用知識的過程中又一次讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題．最后留給學生一個拓展問題，即楊輝在《詳解九章算法》(1261)提出的“三角垛”：下廣，一面十二個，上尖，問：計幾何？術(shù)文說：下廣加一乘之，平積，下廣加二乘之，立高方積，如六而一．答數(shù)：364．

評注課程標準要求組織學生收集、閱讀數(shù)列方面的研究成果，特別是我國古代的優(yōu)秀研究成果．通過相關(guān)問題的提出，首先讓學生思考問題如何得以解決，即是否可以通過本節(jié)課所得的研究方法去研究該問題；其次讓學生去體會古人的表達以及對人類文明的貢獻，從而感悟我國古代數(shù)學的輝煌成就．事實上，本節(jié)課所提出來的“歸納猜測通項”與“類比面積公式”的方法都可以進行移植，也就是從代數(shù)與幾何角度分別得以解決，從而鞏固了思想方法，延展了時間空間．

3 教學實踐反思

回顧這堂課的教學實踐活動，與傳統(tǒng)的教學實踐產(chǎn)生了一些分歧，也帶來一點思考．本次教學活動在主題教學方面做出了一些探索，也給筆者帶來了一些體會，整理如下，以期促進以后的教學活動．

3.1 從知識教學到主題教學

知識點的教學側(cè)重于對知識生成、理解和應(yīng)用的教學，是孤立的；主題教學設(shè)計則不是單純知識點傳輸與技能訓練的安排，而是教師基于學科素養(yǎng)，思考怎樣描繪基于一定目標與主題而展開探究活動敘事的活動，目的是為了創(chuàng)造優(yōu)質(zhì)的教學[5]，是整體的．例如，對立足于知識點的教學來說，本節(jié)課的教學重點與難點都是發(fā)現(xiàn)并使用“倒序相加”的方法推導(dǎo)“公式”，然后利用圖形理解公式的兩種形態(tài)，繼而選擇合適的公式加以應(yīng)用．而在主題教學設(shè)計引領(lǐng)下，本節(jié)課就應(yīng)該側(cè)重于如何發(fā)現(xiàn)并提出問題，即提煉前n項和的概念；如何分析問題，即如何得到公式；如何解決問題，即如何推導(dǎo)該公式．事實上，“倒序相加”是屬于等差數(shù)列的獨門秘籍，不具推廣性，而“歸納猜想”“裂項相消”屬于數(shù)列的基本心法，具有普適性，因此數(shù)列的主題教學要側(cè)重于通性通法的探究與使用，以期平移或借鑒到其他問題的研究中，這才能真正做到“教是為了不教”．

3.2 從計數(shù)視角到函數(shù)視角

計數(shù)是基本的活動，函數(shù)是抽象的模型，計數(shù)形成的數(shù)列可以看成函數(shù)中一類特殊的分支，這是在課程標準中特別強調(diào)的．筆者認為，以函數(shù)為主線的單元主題教學讓數(shù)列的研究得以拓展，不再囿于數(shù)列本身的研究方法，而是參考函數(shù)主題的研究技術(shù)真正實現(xiàn)數(shù)學知識與體系的融通．例如傳統(tǒng)意義上，觀察與歸納數(shù)列通項是對于數(shù)據(jù)形式上的考察與試探的過程，而在函數(shù)觀念下就可以用數(shù)據(jù)擬合的思想給離散的數(shù)據(jù)提供一個參考模型，因此可作出更為理性與科學的猜測；在傳統(tǒng)意義上對兩個公式的理解是借助梯形面積公式，而在函數(shù)觀念下就可以用通項作為“一次函數(shù)”的對稱性來理解求和，也可以把求和理解為“勻加速運動”的位移，從而為將來學習積分與級數(shù)提供鋪墊．如此，讓學生理解到“問題研究”要做到“為目標所用”，即所用方法服務(wù)于問題解決；讓學生體會到“知識學習”要做到“為未來所用”，即所取形態(tài)服務(wù)于知識發(fā)展．

從知識教學到主題教學是理念層面的，從計數(shù)視角到函數(shù)視角是實踐層面的，兩者相互聯(lián)系，即理念指導(dǎo)實踐、實踐促進理念．因此筆者認為，在教學過程中，首先要有主題教學理念的引領(lǐng)，思考知識點在知識體系中的位置，然后采用合適的研究方法和呈現(xiàn)方式，體現(xiàn)知識點在知識體系中的作用，如此才能實現(xiàn)主題教學，培養(yǎng)學生素養(yǎng)．