古典概型：數(shù)學學科德育的重要載體*

陳璐穎 張維忠 (浙江師范大學教師教育學院 321004)

古典概型幾乎是世界各國中學數(shù)學課程都介紹的內(nèi)容．這是因為古典概型是概率統(tǒng)計領域最早的研究對象，簡單、實用，它和排列、組合等其他數(shù)學知識結合在一起，鍛煉著學生的思維，綻放著無窮的魅力．[1]《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確指出“數(shù)學教育承載著落實立德樹人、發(fā)展素質教育的功能”，并將“學生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)”作為課程基本理念．[2]古典概型是數(shù)學學科德育和培育學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要載體，它不僅是對學生進行辯證思想方法教育的良好素材，也是發(fā)展學生數(shù)學文化意識不可或缺的題材，通過對古典概型的欣賞與應用，還能讓學生用心靈去體會數(shù)學獨特的價值與魅力．

1 對學生進行辯證思想方法教育的良好素材

古典概型源于對現(xiàn)實世界的抽象并與學生日常生活緊密關聯(lián)，它在生活中的應用處處滲透著動與靜、變與不變、數(shù)與形、正與逆、一與多等辯證思想方法．下面借助“硬幣”來認識古典概型，闡述古典概型是如何具體彰顯辯證思想方法的．

拋擲一枚質地均勻且形狀規(guī)則的硬幣，正面和反面出現(xiàn)的可能性一樣，都是50%，這是古典概型的對稱性.體育賽事中常用這個規(guī)律來決定哪方先開球或選場地，甚至人們在生活中遇到難題也有通過拋硬幣的方式來解決的．事實上，盡管知道拋硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率都是0.5，但很多人并不清楚為什么正面和反面出現(xiàn)的概率一樣．為了解釋這個現(xiàn)象，雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli，1654—1705)等數(shù)學家對這個問題進行過實驗，驗證了隨著試驗次數(shù)的增加，硬幣正面朝上的頻率在0.5左右擺動．

圖1 “正面朝上”頻率分布圖

這是一個典型的古典概型的例子，它的特點是：實驗結果只有有限個，且每個結果發(fā)生的可能性相等．因此，容易得出每個實驗結果出現(xiàn)的概率是實驗結果總數(shù)的倒數(shù)．在上例中，每次投擲硬幣的過程是“動”，出現(xiàn)的結果是“靜”；多次試驗中出現(xiàn)的結果會“變”，各結果出現(xiàn)的可能性“不變”；實驗中頻率是“多”，概率是“一”．圖1是運用信息技術繪制的正面朝上頻率的分布圖，借助圖形可進一步深化對這些辯證思想方法的認識和理解．

借助古典概型，可以有效地向學生傳遞一種辯證思想方法，不僅能促進學生對現(xiàn)實世界中事物本質的理解，深化對善惡、禍福、有無、難易、高下、長短、前后等關系和規(guī)律的認識，而且有助于學生形成理性思維．除拋硬幣外，擲骰子是古典概型在生活中另一個最常見、最簡單的例子．對古典概型的深刻理解和掌握，能夠有效地幫助學生用數(shù)學的思維思考世界，克服“賭徒心理”，懂得三思而后行．

2 發(fā)展學生數(shù)學文化意識不可或缺的題材

早在20世紀90年代，國內(nèi)就有學者從文化視野來研究數(shù)學與數(shù)學教育．[3]數(shù)學文化在數(shù)學與數(shù)學教育中尤其是在培養(yǎng)和發(fā)展學生德育方面十分重要，近幾年數(shù)學文化已經(jīng)進入高考試卷．古典概型作為發(fā)展學生數(shù)學文化意識不可或缺的題材，是各地高考試題中的高頻考點、熱點和難點．以下通過2019年全國卷理科數(shù)學中選擇題6來加以闡述．

圖2

我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，圖2就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是( )．

不妨借助美國數(shù)學家和數(shù)學教育家波利亞(George Polya, 1887—1985)在《怎樣解題》一書中提出的解題的思維步驟加以分析和探討．

第一， 弄清問題．試題背景是我國古代典籍《周易》，該典籍中有一物名為“卦”，它的功能是描述萬物的變化，具有不同的類型；其中一種是“重卦”，它由一種名為“爻”的東西組成，可分為陰爻和陽爻兩種類型．要解決的問題是在所有重卦中隨機取一重卦，該重卦中恰有3個陽爻的概率．關鍵信息是“3個”“陽爻”“重卦”“概率”，難點在于弄清“重卦”與“陽爻”的關系，具體涉及“重卦”和“爻”的數(shù)量和位置關系、“陰爻”和“陽爻”的數(shù)量關系．重卦由6個爻從下到上排列，即每個重卦中有六個不同的位置，可分別安放一個陰爻或陽爻．為便于學生理解，試題給出重卦的卦例，位置自下到上分別是陰爻、陽爻、陽爻、陰爻、陰爻、陰爻，共2個陽爻和3個陰爻．

第二， 擬定計劃．在理解問題的基礎上，可進一步回憶和思索以前是否見過它或見過相同的問題而形式稍有不同；在重新敘述該問題后，能否想出一個更容易著手、類比的問題．在這里，不妨運用類比的思維方式，將問題重新表述為：一張桌子上有6個不同的位置，每個位置上可以擺放一個紅球或白球，若隨機在6個位置上擺上球，求擺完桌上剛好有3個紅球的概率．此處將“重卦”類比為“桌子”、“紅球”類比為“陽爻”、“白球”類比為“陰爻”，進而將陌生的問題轉化為熟悉的概率問題，只需求出總的可能結果的數(shù)量及符合條件的結果數(shù)量即可解決問題．結果總數(shù)的計算可采用分布乘法計算原理，符號條件的結果數(shù)量可采用組合知識，進而求得概率．

第四， 回顧反思．可通過計算重卦中恰有n個陽爻的概率(n=0，1，…，6)驗算所得的解，結果如 表1所示．經(jīng)檢驗可知，結果正確．在獲得結果的前提下，通過回顧反思，可進一步將解決問題的過程和結果一般化．

表1

這道題從數(shù)學史和數(shù)學文化研究的角度看，在一定程度上挖掘了《周易》中的數(shù)學文化，將古典概型同“卦”“爻”等內(nèi)容相結合，問題解決對學生的認識和理解能力提出了較高的要求，重視對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的考查，有助于發(fā)展學生數(shù)學文化意識．

3 通過對古典概型欣賞和運用，讓學生體會數(shù)學獨特的價值與魅力

從《周易》中“卦”“爻”等內(nèi)容可知，早在三千多年前我國古代就已經(jīng)有了概率思想，開始運用古典概型，即我國古典概型的產(chǎn)生和運用同占卜、演算等應用密切關聯(lián)，蘊含著樸素的辯證唯物主義思想．在西方文獻中，按照歷史發(fā)展的脈絡，概率論的發(fā)展從古典概型到統(tǒng)計意義下的概率，再到公理化的概率論[4]，它的產(chǎn)生與賭博密切相關．對比中西方古典概型相關思想的產(chǎn)生和運用，可以說，古典概型是人類文化的產(chǎn)物，是人類智慧的結晶．因此，在古典概型的教學中要特別重視社會文化因素，培養(yǎng)學生多元文化理解和交流能力．

《周易》分為經(jīng)與傳兩部分，記載的是伏羲或周文王所作的八卦和六十四卦．其中，每卦有六爻，符號“——”為陽爻，符號“— —”為陰爻，即六個陰陽符號，通過計算可知“凡一陰一陽之卦各六”“凡二陰二陽之卦各十有五”“凡三陰三陽之卦各二十”“凡四陰四陽之卦各十有五”“凡五陰五陽之卦各六”．通常作卦，都伴隨著一種隨機試驗．例如，拋擲一枚硬幣，可規(guī)定“正面朝上”為“陽爻”，“反面朝上”為“陰爻”，連續(xù)三次進行該試驗就有8種不同的結果，可畫出八卦圖，連續(xù)獨立進行六次試驗，可畫出64卦圖．這僅涉及《周易》中初級的作卦法，這表明《周易》有深厚的古典概型思想．又有研究表明，據(jù)說法國數(shù)學家帕斯卡(Blaise Pascal, 1623—1662)在度假途中偶遇賭徒梅累(Mere)，梅累向帕斯卡提出“分賭注”的問題．梅累表示，他在與賭友擲骰子時，每人各押32個金幣，并約定：若梅累先擲出3個6點或其賭友先擲出3個4點，便算贏家．當梅累擲出兩次6點、賭友擲出一次4點時，梅累接到通知要他馬上陪同國王接見外賓，賭博不得不中斷，但就此結束賭局心有不甘，于是決定按已取得的成績分配這64個金幣．對于這個賭金分配問題，帕斯卡和費馬都作了解答．

在當前中學數(shù)學教學中，常有教師提到古典概型等概率論起源于西方，中國并沒有產(chǎn)生概率論．而歷史表明，數(shù)學是全人類共同的文化遺產(chǎn)，不同民族在不同的社會文化背景下產(chǎn)生了不同的數(shù)學思想和方法，這些數(shù)學創(chuàng)造都是世界數(shù)學之樹不可分割的一枝．在古典概型教學中，將我國《周易》《道德經(jīng)》等經(jīng)典著作中的古典概型的運用和辯證唯物思想方法充分展示出來，同西方賭博產(chǎn)生古典概型相對比，有助于學生消除民族中心主義的偏見，以更廣泛的視野去認識古代中西方文明的數(shù)學成就，深化對數(shù)學的文化屬性的認識，學會欣賞豐富多彩的數(shù)學文化，以平等、開放的眼光看待本民族和不同民族文化傳統(tǒng)之中的數(shù)學成果，梳理正確的數(shù)學觀和數(shù)學學習觀，從而實現(xiàn)多元文化觀點下的數(shù)學教育目的[5]．