對拋物線標準方程中參數p的探究

鄒施凱 (江蘇省東臺中學 224200)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自江蘇省四星級重點高中，基礎較好，有一定的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析能力．

1.2 教材分析

所用教材為蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學(選修2-1)》第2章第2.4節拋物線．本節包含兩段內容：拋物線的標準方程，拋物線的幾何性質．本節課作為節后探究課，側重對拋物線標準方程中的參數p作進一步探究，旨在對參數p的相關問題進行數學建模．

教學目標 (1)通過對拋物線標準方程中參數p的探究，理解并掌握與參數p有關結論的發現與求解，提高觀察、分析和建模的能力，拓展發散性思維能力和綜合概括能力；(2)在對教材經典問題的發散探究中，置身于自主探索、質疑思考的氛圍，感悟體驗數形結合的思想在解析幾何中的應用，不斷提升直觀想象能力[1]．

教學重點 探究與參數p相關結論的數學模型．

教學難點 建構對拋物線本質屬性的研究路徑．

2 教學過程

2.1 回顧教材，創設情境，引導探究

師：同學們，前面我們學習了拋物線的標準方程、拋物線的幾何性質等有關知識，請大家回顧一下：在拋物線y2=2px(p>0)中，焦點的坐標、準線方程分別是什么？參數p的幾何意義是什么？x的系數2p的幾何意義又是什么？

師：很好！由此我們發現在對拋物線y2=2px(p>0)的幾何性質的研究中，參數p的價值舉足輕重，那么我們就一起來對與參數p相關的問題作進一步探究．(教師板書課題)

師：我們一起來看課本第54頁第12題：過拋物線y2=2px的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個交點的坐標分別為(x1,y1), (x2,y2)，求證：y1y2=-p2．

師：(追問)x1x2是否為最值？在此過程中，大家還有什么發現？

生2：在解題過程中，我發現只要直線方程x=my+t(m∈R)中的t為常數，y1y2就一定為定值，也就是說，如果經過x軸上一定點M的一條直線和拋物線y2=2px相交，那么兩個交點的縱坐標y1,y2也滿足積為定值．

圖1

師：剛才兩位同學的探究非常有價值，他們發現了體現在“數”上與p相關的定值.其實利用這些定值，我們也能發現體現在“形”上的“定”，如課本第54頁第10題：如圖1，已知過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，A,B在拋物線準線上的射影分別為A1,B1，求證：∠A1FB1是直角．

生：設F在拋物線準線上的射影為H，在△A1FB1中，因為FH2=p2=-y1y2=-A1H·B1H，所以△A1FB1為直角三角形，即∠A1FB1是直角．

師：根據我們已獲得的解題經驗，請同學們完成課本第54頁第11題“直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A,B，求證：OA⊥OB”后思考：若OA與OB是拋物線y2=2px(p>0)內互相垂直的兩條弦，則直線AB有什么特點？

2.2 聚焦p值，發散思考，拓展探究

圖2

師：為進一步探究拋物線y2=2px上點的坐標、弦長等與參數p的關系，我們來思考這樣一個問題：已知弦AB過拋物線y2=2px的焦點F，且傾斜角為α，你能用p和α表示出焦半徑FA和FB嗎？進一步地，你能求出弦AB的弦長嗎？

圖3

師：同學們對此問題還有其他發現嗎？

2.3 總結提煉，分類思考，升華探究

師生共同分析，總結提煉，分類思考，凝煉出如下結論：

結論2 過定點M(2p，0)的一條直線與拋物線y2=2px相交于A,B兩點，則OA⊥OB，反之亦成立．

3 回顧與反思

3.1 教學設計的立意

新課程倡導教師“用教材”，是要教師以教材為藍本，對課本中呈現的概念、例題、習題進行科學整合，博采眾家之長，設計出立足課本、立足經典的鮮活課例來．這就要求教師要充分研讀課本內容，吃透課本精神，把握課本內涵，創造性地使用教材．

本節課的設計從課本習題出發，以課本問題為依托，結合學情適當整合,展開探究．從這個意義上說，立足課本，自然節約，是一種“原生態”；用足課本，適當拓展，是一種“生成態”；用活課本，煥發活力，是一種“生命態”．通過建構“原生態、生成態、生命態”的三維數學生態課堂，讓學生在探究的殿堂中生態化地健康成長．[2]

本節課的探究設計體現了三維數學教育思想的核心：建模的思想、辯證的思維、化歸的思路[2]．本節課建構了對拋物線標準方程中參數p的探究模式，由定義理解到課本習題分析，生成了參數p有關的坐標、線段長度、相關數量關系的架構結論；在可逆問題的探究、數形結合思想方法應用中形成了辯證思維的觀點；并在復雜問題的探究中形成了將新問題轉化成舊知識的化歸思路．

3.2 教學反思

(1)要重視教材中經典習題的教學研究

教材是知識的根本，是經典的結晶，是問題的源泉.面對經典的課本和浩瀚的資料，要構建和諧的數學生活情境，教師就必須牢固樹立課本比資料重要、課內比課外重要、概念比題目重要、典型(經典例習題)比非典(非典型性問題)重要的教學理念．只有這樣圍繞“三課教學法”[2]——夯實課本概念、消化課本例題、引申課本習題來教學，才是有根據、可持續發展的教學．課本第54頁第10～12三個題目，看似云淡風清，實質上蘊含了波瀾壯闊的聯系與事物運動變化的規律．

(2)要重視教材中經典變量的教學探究

(3)要重視學生探究能力、自主研究能力的培養

教材無非是個引子，教師無非是個引路人．高中數學教學的目的不僅是要教會學生“學會”數學知識，更重要的是要教會學生“會學”數學知識．[3]本節探究課，在教師引導下，師生、生生合作探究出與參數p相關的一系列結論，這只能說是完成教學任務的一半．事實上，教無止境，探究無止境，我們還可以因勢利導，引導學生進行更為廣泛深刻的研究．另外，在探究性教學中我們發現，要特別強調學生的個性張揚，要強調學生自主探究興趣的激發以及合作學習小組的建立．教學中要小心呵護學生研究的熱情，要充分肯定學生在探究中的思考與付出．