深度研讀教材策略一：還原數學知識的本質原理（3）

尹賽坤 周佳泉

【導讀】

“圖形放大或縮小”的教學內容是西師大版小學數學六年級上冊第五單元“圖形變換和位置確定”的內容，是在學習了比的意義之后，學習比例和比例尺之前的一個內容。而人教版則安排在六年級下冊，學習了比和比例知識后。兩個版本的“圖形放大或縮小”編排順序不同，學生學習的著眼點也理應有所不同，但是圖形放大與縮小的本質應該是一樣的。怎樣在學生還沒有學習比例尺和比例的情況下去深刻理解圖形縮放的本質？這是本節課不能回避的現實問題。

來自昆明市盤龍區園博小學的尹賽坤老師，通過以活動為主的課堂教學形式，帶領學生抽絲剝繭，步步深入地理解了圖形放大或縮小的本質。

【案例】

課堂實錄：

一、直觀感知

師：冬日的長江三峽，風景如畫，真美！請同學們觀察每組中的兩張圖片相同嗎？

生1：第一組兩張圖片完全一樣，第二組圖片一張大一張小。

生2：第二組兩張圖片形狀相同，大小不同。

師：也就是我們可以從圖片的大小和形狀來研究，是嗎？

生（齊）：是的。

（師板書：大小、形狀）

師：請觀察兩個圖形什么變了？什么沒變？

生1：小房子形狀沒變，大小變了。

生2：五邊形形狀沒變，大小變了。

師：變化后的圖形與原圖做比較，變大的叫放大，變小的叫縮小。

（板書：放大，縮小）

師：這些圖片哪些是被放大了，哪些是被縮小了？（課件出示圖片）

生1：如果以第一幅為標準，右邊兩張放大了……

生2：如果以第二幅為標準，左邊一張縮小了，右邊一張放大了……

師：這么說，需要確定以哪一張為標準。是嗎？

生（齊）：是的。

師（課件標注“原圖”）：老師給出標準，你會說了嗎？

生1：與原圖比較，（1）號被縮小了，（2）號被放大了……

師：這就是我們今天要學習的圖形放大或縮小。

師：一個圖形放大或縮小時，只能改變什么？不能改變什么？

生：只能改變大小，不能改變形狀。

（板書：只能改變大小，不改變形狀）

二、探索規律

師：怎樣才能保證圖形在放大或縮小時，只改變大小，不改變形狀？

（生若有所思）

師：電腦課上，我們就放大、縮小過圖片，下面這張圖片用鼠標要拉哪里才能正確放大？

生1：用鼠標拉圖片的角。

師：如果只拉長會怎么樣？（動畫演示）

生2：圖片變扁了。

師：如果只拉寬呢？（動畫演示）

生3：圖片變瘦了。

師：現在呢？（動畫演示“拉對角”）

生3：正確放大。

師：為什么拉對角就能正確放大了？

生1：因為長和寬都同時放大了。

生2：因為長和寬都同時放大了相同的倍數。

師：同意嗎？

生（齊）：同意！

師：那么現在呢？（拉住對角縮小）

生4：長和寬都同時縮小相同的倍數，所以是正確縮小。

師（用PPT隱去圖片的內容，剩下長方形的邊框，底下襯方格紙）：我們用方格紙幫忙來看一下，圖形A、B和原圖比較各有什么變化？

生1：圖形A與原圖比較，放大到了原來的2倍。

師：你說的2倍是指哪里是原來的2倍？

生2：長和寬都是原來的2倍。

師：還有補充嗎？

生3：每條邊都是原來的2倍。

師：大家同意嗎？

生（齊）：同意。

師：面積也應該是原來的2倍吧？

生：是！……不是！

師：怎么一會兒是一會兒又不是啊？

生2：面積不是原來的2倍，而是4倍。

師（用PPT演示）：是幾倍？

生（齊）：4倍！

師：所以說，我們把一個圖形放大到原來的幾倍，指的是哪個部分？

生（齊）：每條邊。

師（PPT出示邊長6 cm的正方形）：你會把這個正方形縮小到原來的嗎？

（生獨立完成后匯報，師組織訂正）

三、拓展應用

師（用PPT出示“L”形圖形）：你會把這個“L”形各邊縮小為原來的嗎？

生（動手操作后匯報）：先算出原圖各邊縮小到它的后是幾格，再畫出新圖形。

師：你們畫出縮小后的圖形形狀變了嗎？

生（齊）：沒有。

師：除了剛才的方法，你能再想一種更簡捷的方法嗎？

（生面面相覷）

師：（PPT演示）：廣告公司做這樣“L”形的宣傳展板，是先把原材料做成長方形，然后裁去多余的部分。

你會用這種方法重新把這個圖形縮小嗎？

（生用第二種方法操作、匯報）

師：這種方法比剛才的方法……

生（齊）：快多了。

師：是的。復雜問題往往都是從簡單問題變化而來的。我們學過的簡單圖形有長方形、正方形、三角形等，遇到復雜圖形，我們可以請“基本形”幫忙，這樣就容易多了。來，試一試！

（在方格紙上按要求作圖：三角形各邊放大到原來的2倍）

（生不知所措）

師：一塊長方形木板怎樣可以剛好裝下這個三角形？

（生畫一畫，然后小組交流展示）

師：先把這個長方形的各條邊擴大到原來2倍，會嗎？

生（齊）：會！（動手操作）

師：接下來我們在里面畫三角形。三個頂點中，哪兩個是特別容易確定的？

生：下面兩個。

師：不容易確定的是哪一個？

生：上面一個頂點。

師：我們來觀察：它原來距離右上角多少格？

生：距離一格。

師：也就是從右上角往左走一格就是原來的頂點，對吧？

生（齊）：對！

師：那現在該往左走幾格呢？

生（齊）：兩格。

師：這下問題解決了吧？

生（齊）：解決了。

（學生動手操作，畫出三角形，然后展示）

師：現在難度又增加了。還會解決嗎？

把三角形的各邊擴大到原來的3倍。

生（不知所措）。

師：還是先畫“外框”啊。

（有一部分學生反應過來了，畫出“外框”。其余學生模仿）

……

四、回歸生活

師（PPT出示）：與原字比較，哪個臨摹得更像一些？并說說為什么？

（生完成后匯報）：第二個更像一些，它“出界”的筆畫更少一些。

師：我們都說中國字是“方塊字”。其實，在漢字中，真正的方塊字只占10%左右，大部分漢字的外輪廓是梯形、三角形，甚至還有圓形、菱形、五邊形等。

五、小結

師：通過今天的學習，來說說你學到了什么？

生1：我明白了圖形的放大或縮小是怎么回事了。

生2：我知道了復雜圖形的變化可以用簡單圖形做基礎。

【評析】

西師大版的“圖形放大或縮小”是撇開比例依托“倍數”來進行學習的。沒有了比例尺和比例作為支撐，“怎樣在直觀形象的活動體驗中讓學生逐步理解圖形放大、縮小的本質？”是這節課必須解決的難題。尹老師通過引導學生觀察、比較、操作體驗，不但完全掌握了圖形放大或縮小的方法，還學以致用，解決了生活中的“難題”。

回顧這節課的學習歷程，有以下幾點值得我們借鑒與思考：

1.直觀感受是深入理解的基礎。通過圖片的比較，學生很容易直觀判斷哪些圖形是放大了，哪些圖形是縮小了。圖形的放大和縮小，都是只改變了大小，而沒有改變形狀。這些淺顯的經驗，就算是低齡的兒童也能發現，似乎不足為奇。但這卻是學習本節課的重要基礎。作為六年級的學生來講，要把他們的生活經驗逐步轉化為數學能力，把學生的注意力從表象感知逐步引導到對事物內部屬性的深刻理解上來。所以，感知部分既是一個不可缺少的環節，但又不是這節課的終極目標。既要激發學生的學習興趣，又要避免淺嘗輒止。對老師熟練駕馭課堂的能力提出了較高的要求。

2.“相似”是圖形縮放的本質。放大或縮小以后的圖形與原來的圖形之間的關系，其實就是“相似圖形”。相似圖形之間對應邊的比值相等，對應邊相互平行，相鄰兩邊之間的夾角與原圖形相等。這些“專業知識”不可能出現在小學數學課堂教學中，但還是要讓學生有所體會。怎么辦呢？尹老師通過引導學生比較變換前后的圖形，用口語化、兒童化的語言進行了歸納：圖形放大或縮小，只是改變了圖形的大小，而不改變圖形的形狀。這樣，就把圖形縮放的本質——“相似”清楚地表達了出來。所以，變化或縮小后的圖形與原圖形之間每條邊都相似。這就要求我們把一個圖形放大或縮小的時候，每條邊都放大或縮小相同的倍數。

3.復雜圖形其實是簡單圖形的一部分。簡單圖形的放大或縮小，對學生來說并不難。但復雜圖形的縮放，就具有很大挑戰性了。尹老師遵循“大道至簡”的原則，在復雜圖形的外面加了一個簡單圖形作為“邊框”，通過“邊框”的縮放來實現內部復雜圖形的縮放，收到了化難為易、化繁為簡的教學效果。能把簡單問題看得復雜的，是精明;能把復雜問題看得簡單的，是高明。以簡馭繁，往往事半功倍。

4.生活問題其實是數學問題的外顯。漢字結構分析，是正確且美觀書寫漢字的重要基礎。在我們大多數人的印象里，漢字就是方方正正的“方塊字”。通過尹老師的這節課“書法診所”的環節，相信很多學生都恍然大悟了：原來很多漢字都不是標準長方形或正方形的“方塊字”，這也正是他們一直不能很好掌握漢字結構的一個重要原因。可見，很多時候數學問題是生活問題的本質，而生活問題則是數學問題的外顯。從生活問題中看到數學問題，思維才深邃;從數學問題中還原生活問題，表達才豐富。

不依靠比例知識和生澀的數學術語，也仍然要讓學生深刻體驗圖形放大或縮小的本質，是西師大版“圖形放大或縮小”的價值所在。事實證明，只要老師課前深入理解了數學知識的本質，再通過形式豐富、新穎有趣的活動體驗，就能帶領學生到達勝利的彼岸。