幾何直觀，數(shù)學(xué)運算的腳手架

李小強

一、緣起

閑來，4歲的希希糾纏著我和她一起玩耍，靈機一動，我說：“那我們就來玩數(shù)學(xué)的游戲，可以嗎？”她用力地點點頭，欣然同意了。之前她有認(rèn)識20以內(nèi)數(shù)的積累，再簡單教她認(rèn)識了加號、減號和等于號后，游戲就開始了。為了能夠幫助她更快、更好地進(jìn)行加減法運算，我選擇使用水彩筆代替小棒，在數(shù)數(shù)的過程中，數(shù)出運算結(jié)果。經(jīng)過幾輪互動后，希希基本能夠借助小棒自主完成20以內(nèi)的加減法運算，幾日后也不能忘。

有學(xué)者指出，小學(xué)階段兒童的思維是以具體形象思維為主要形式，逐步過渡到抽象邏輯思維，因此在小學(xué)階段發(fā)展兒童的幾何直觀可謂是最佳時期。尚且一個4歲幼兒在沒有接觸過加減法的基礎(chǔ)上，都能夠正確利用數(shù)小棒的形象思維進(jìn)行運算，足見幾何直觀在兒童數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要性。

二、幾何直觀幫助學(xué)生理解算理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。”特別是在數(shù)學(xué)運算中，幾何直觀能夠化抽象為具體，幫助兒童加深對數(shù)學(xué)的理解，把抽象的數(shù)學(xué)意義轉(zhuǎn)換成易于理解和運用的直觀形式，引導(dǎo)兒童形成各種直觀的概念意象，幫助兒童理解算理，理解數(shù)學(xué)。

1.“數(shù)”出運算的結(jié)果。

數(shù)是“數(shù)”出來的，運算的結(jié)果也是可以“數(shù)”出來的。低年級，特別是一年級學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的運算時，會使用扳手指的方法進(jìn)行心算，而這種方式實際上可以歸結(jié)為一種借助手指進(jìn)行的數(shù)數(shù)活動，其本質(zhì)就是“數(shù)”出運算的結(jié)果，當(dāng)然，相關(guān)的運算相對比較簡單。以希希進(jìn)行的20以內(nèi)加減法運算為例：比如，在計算4+7（如圖1）的時候，首先拿出4根小棒表示4，再拿出7根小棒表示7，數(shù)出所有的小棒個數(shù)（11根）就是4+7的結(jié)果了，所以4+7=11。對于這樣的運算，一年級數(shù)學(xué)中給出的推理（即證明）形式是4+7=4+6+1= 10+1=11，但對于4歲幼兒來講很難理解“滿十進(jìn)一”的推理方式，然而，并不影響她“數(shù)”出運算結(jié)果。

再比如，計算8-3（如圖2）時，首先拿來8根小棒表示8，再去掉3根小棒，數(shù)一數(shù)剩余的5根小棒就得出了結(jié)果。這樣的運算結(jié)果不正是“數(shù)”出來的嗎？所以，對于兒童來講，數(shù)數(shù)是一種有效的運算方式。

2.“看”出運算的道理。

史寧中教授指出：“在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是‘看出來的，而不是‘證出來的，所謂的‘看是一種直接判斷，這種直接判斷是建立在長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上的。”如何能“看”出運算的道理？幾何直觀是很重要的方式之一，有助于分解運算的步驟，揭示算理的本質(zhì)。

算理的本質(zhì)是讓學(xué)生不僅知道怎么計算，還明白為什么這樣算，在數(shù)學(xué)運算中，可以借助幾何直觀，以圖為載體，巧妙地將算式與直觀圖相結(jié)合，把抽象的算理具體化、形象化，幫助學(xué)生理解算理。

如，教學(xué)“兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法”時，學(xué)生通過分小棒或豎式計算得出42÷2（如圖3）的結(jié)果，再引導(dǎo)學(xué)生將分小棒的過程與豎式聯(lián)系起來。第一步：把4捆（1捆有10根小棒）小棒平均分成2份，每份有2捆，所以在豎式計算中4÷2的商表示2個十，寫在十位上，這時4捆已經(jīng)全部分完沒有剩余。第二步：把余下的2根小棒平均分成2份，每份1根小棒，所以在豎式計算中2÷2的商表示1個一，寫在個位上，這時沒有剩余。以上過程中，分小棒與豎式同步，其中“先分整捆”有助于理解“除法從高位算起”，“再分單根”有利于學(xué)生理解“分步求商”的過程，注意數(shù)位對齊。有了對兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法算理的理解，學(xué)生可以遷移至其他類型的除法筆算，比如三位數(shù)除以一位數(shù)，除數(shù)是多位數(shù)的除法等，學(xué)以致用。

從上例可見，通過分小棒的實物直觀圖，可以清晰地幫助學(xué)生“看”出兩位數(shù)除以一位數(shù)的運算道理（即算理）。

三、慎重選擇幾何直觀圖

在小學(xué)數(shù)學(xué)中幾何直觀有四種基本形式，分別是實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀和替代物直觀。其中，低年級多以實物直觀為主，是指借助與研究對象有著一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物，借助其與研究對象之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行簡捷、形象的思考，獲得針對研究對象的深刻判斷。在實際教學(xué)中，對于實物直觀的選擇還需要慎重，合適的實物直觀圖更有助于理解算理，反之則可能適得其反。

如，教學(xué)“兩位數(shù)除以一位數(shù)的口算除法”時，教師為了引導(dǎo)學(xué)生理解36÷3的算理，要求學(xué)生借助分小棒的數(shù)學(xué)活動，在作業(yè)紙（如圖4）上圈一圈、算一算，表示出自己的分法。學(xué)生的做法大致如下：

對于小棒圖（如圖5和圖6），由于在圈之前有“分一分”的活動經(jīng)驗，學(xué)生的分法是一致且正確的（即1捆加2根）。然而，對于點子圖，學(xué)生卻出現(xiàn)了兩種不同的做法：一是3個3個地分（如圖7），即3個為一組，一共分得12組，有助于理解36除以3等于12。二是12個12個地分（如圖8），即12個一組，分為3組，顯然，這種想法是在已經(jīng)有了計算結(jié)果的情況下而產(chǎn)生的，或者說它更符合理解36除以12等于3，與原題意是相悖的，更糟糕的是這種做法的同學(xué)不在少數(shù)。所以，在除法運算中建議選擇分小棒更合適。其實，在以往學(xué)習(xí)中我們更愿意選擇小棒圖理解除法的意義和算理，選擇點子圖理解乘法的意義和算理，這樣才能事半功倍。

總之，在數(shù)學(xué)計算教學(xué)中，教師有必要為學(xué)生提供合適的、便于觀察的直觀模型，將思維“圖形化”，幫助學(xué)生正確理解算理，理解數(shù)學(xué)運算。