“分數(shù)（百分數(shù)）”問題與“比（比例）”問題的對比

彭盛梅

“分數(shù)（百分數(shù)）”問題和“比（比例）”問題，是小學階段“數(shù)與代數(shù)”領域解決問題的最后兩座高峰，也是部分學生望而卻步的難題之一。其實，這兩類問題外部形態(tài)雖然不同，但其本質(zhì)卻同根同源。把“分數(shù)（百分數(shù)）”問題和“比（比例）”問題聯(lián)系起來學習，會對這兩類問題的理解更加深刻，提高學習效率。

一、問題的本質(zhì)

要把分數(shù)（百分數(shù)）”和“比（比例）”這兩類問題進行有聯(lián)系的學習，首先要弄清楚它們的數(shù)學本質(zhì)。

1.它們都是從“量”的刻畫到“率”的刻畫的演進。在客觀世界中，用“量”刻畫事物的結果，是具體的、一定的，它描述的是事物的絕對狀況;而用“率”刻畫事物的結果，是模糊的、變化的，它描述的是事物的相對狀況。既然用“量”可以反映事物的絕對狀況，何必再用“率”來描述一個相對狀況呢？舉個簡單的例子就明白了：一次動物園的意外火災中，小浣熊和大象都被燒傷了，小浣熊的皮膚燒傷面積為3.6平方分米，大象的皮膚燒傷面積為9平方分米。兩周以后，大象康復了，小浣熊卻因為嚴重燒傷而死亡。如果單從“量”的角度來考慮，就會給人大象的燒傷狀況更嚴重的錯覺;而從“率”的角度來考慮，就非常容易理解——大象皮膚的燒傷面積占皮膚總面積不足1%，而小浣熊皮膚的燒傷面積卻占到了皮膚總面積的20%以上。所以，小浣熊的燒傷程度更嚴重。因此，“分數(shù)（百分數(shù)）”和“比（比例）”這兩類問題安排在小學六年級，就是幫助學生實現(xiàn)從“量”的刻畫到“率”的刻畫的思維發(fā)展。

2.它們都是基于“標準數(shù)量”的“倍比”應用。在“分數(shù)（百分數(shù)）”問題中，“分率”的本質(zhì)是兩個數(shù)量之間基于某個共同的標準數(shù)量而互相比較的對比結果。如，蘋果有6千克，梨有4千克，把每2千克看作一份，蘋果有這樣的3份，梨有這樣的2份，我們就可以表述為：梨是蘋果的，或者蘋果是梨的。可見，在有關“分率”的兩個量的比較中，是以它們的最大公因數(shù)作為一份來進行重新計數(shù)，然后按照份數(shù)來進行比較從而得到“分率”的。“比（比例）”問題也同樣如此，它也是表示兩個數(shù)量之間的倍比關系，但是它更加簡潔，它是直接以自然數(shù)“1”作為計數(shù)標準，并且份數(shù)允許存在小數(shù)。由此看來，“分率”和“比”的本質(zhì)根源是相同的。

3.“比”更兼具“量”“率”同存的雙重身份。如，在配置一種藥水的過程中，藥與水的比是1∶90，這里的“1”和“90”，既可以看作具體的量，也可以看作一個抽象的份數(shù)。從某種程度上可以說，“比”是“率”的升級版表現(xiàn)形式，表達更為簡潔。

二、二者的區(qū)別

縱如上文所言，“率”與“比”同根同源、本質(zhì)相同，但也不能完全把它們混為一談。它們之間還是有顯著的差別：

1.“率”更側重于“數(shù)”的概念應用。在“分數(shù)（百分數(shù)）”問題中，“分率”始終是作為一個“數(shù)”而存在的，它的具體含義非常類似于整數(shù)的“倍”。于是，學生在學習這類問題的時候，才有了“求一個數(shù)的幾分之幾是多少？”與“求一個數(shù)的幾倍是多少？”相類似的自我構建思維過程。它需要先確定誰是單位“1”的量，相當于“倍數(shù)”問題中，需要先確定誰是“一倍數(shù)”。

2.“比”更側重于數(shù)量之間的關系應用。它不需要確定以誰為“標準”，只要兩種量在不同具體情況中的比較具有相似性，就可以利用這種關系來解決實際問題。如，用3千克甘蔗可以榨出1.8千克糖，照這樣計算，4.5噸甘蔗可以榨出多少噸糖？我們不需要確定以誰為“標準”——也就是甘蔗的量和糖的量中，不存在主從關系，甚至不需要統(tǒng)一單位就能解決問題。解：設可以榨出噸（千克）糖1.8∶3=x∶4.5、3∶1.8=4.5∶x、1.8∶3=x∶4500（4.5噸=4500千克）都可以解決實際問題。

三、二者的相通之處

“分數(shù)（百分數(shù)）”和“比（比例）”這兩類問題盡管外在形態(tài)各異，本質(zhì)卻相同。因此，在實際運用中把這兩類問題聯(lián)系起來學習，就能收到事半功倍之效。

1.兩類問題的互相轉(zhuǎn)換。既然“分數(shù)（百分數(shù)）”和“比（比例）”這兩類問題本質(zhì)相同，就可以在解決實際問題當中互相轉(zhuǎn)換，一題多解。

如，清河鄉(xiāng)今年植樹400棵，比去年多植。去年植樹多少棵？

分數(shù)解法：400÷（1+）=320（棵）。

比例解法：由題目可知，今年與去年植樹的棵數(shù)比為5∶4。

解：設去年植樹x棵。

400∶x=5∶4，解得x=320。

或x∶400=4∶5，解得x=320。

受到比例解法中不需要確定誰為“標準”的啟發(fā)，其實分數(shù)解法中也可以任意切換單位“1”。如果把今年的植樹棵數(shù)看作單位“1”，題目也可以轉(zhuǎn)換為“去年比今年少植”。

解為：400×（1-）=320（棵）。

2.兩種解法的恰當選擇。從上面的例子可以看出，“分數(shù)（百分數(shù)）”和“比（比例）”這兩類問題的解法是相通的，可以互相轉(zhuǎn)換。所以，在遇到具體問題的時候，教師可以隨機應變，恰當選擇解題的方法，提高解題效率。如，山羊和綿羊共有210只，其中山羊的只數(shù)是綿羊的，山羊和綿羊各有多少只？

分數(shù)解法一：把綿羊只數(shù)看作單位“1”。

解：設綿羊有x只。x+x=210，解得x=120，210-120=90（只）。

分數(shù)解法二：把山羊只數(shù)看作單位“1”。

解：設山羊有x只。x+x=210，解得x=90，210-90=120（只）。

分數(shù)解法三：把總只數(shù)看作單位“1”。

4+3=7，山羊：210×=90（只），綿羊：210×=120（只）。

比例解法：由題意可知山羊與綿羊的數(shù)量比為3∶4。

比例解法一：

解：設綿羊有x只。3∶4=（210-x）∶x，解得：x=120，210-120 =90（只）。

比例解法二：

解：設山羊有x只。3∶4=x∶（210-x），解得：x=90，210-90 =120（只）。

比例解法三：

解：設綿羊有x只。4∶（3+4）=x∶210，解得：x=120，210-120 =90（只）。

比例解法四：

解：設山羊有x只。3∶（3+4）=x∶210，解得：x=90，210-90 =120（只）。

綜上所述，“分數(shù)（百分數(shù)）”和“比（比例）”這兩類問題形態(tài)各異，但本質(zhì)相通。在解答具體問題的時候，可以進行互相轉(zhuǎn)換。把兩類問題聯(lián)系起來一起學習，不但能提高效率，而且能幫助學生加深對這兩類問題的理解、溝通，提高學生的思維品質(zhì)。