緊扣特征 提高乘法分配律教學有效性的思考

吳小輝

《數學課程標準》指出：運算能力主要指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力，培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。運用規律進行合理計算，對于發展學生的數學思維和提高他們的計算能力，有著非常重要的作用。在小學階段的運算律中，乘法分配律是教學的重點和難點，其算式特征以及規律特點，與加法、乘法的交換律和結合律相比，有著明顯的區別，教學時需要采取科學的方法、豐富的活動來幫助學生理解規律、運用規律。

一、數形結合，直觀描述

運用數形結合的思想可以將抽象的數學規律、數量關系與直觀的幾何圖形結合，將抽象思維與形象思維結合起來，從而看“形”思“數”，見“數”想“形”。對于乘法分配律這一抽象的運算規律，可以尋找、構造恰當的圖形來展示，以形象的圖形直觀地描述規律，豐富學生的認知與體驗。

在乘法分配律的教學中，通常以解決圖形承載的實際問題引入，通過算式的比較揭示乘法分配律。這樣的安排有助于激活學生已有的經驗，但也容易導致學生更多地關注問題本身，淡化圖形的表征作用和描述規律的作用。相比較而言，在探究、描述出規律后，指導學生試著用圖形（如點子圖、長方形示意圖等）來描述乘法分配律則更加具有挑戰性。面對已經揭示的乘法分配律，如果學生能夠主動地以圖形的方式展示自己個性化的理解，表明學生已經比較準確地理解了乘法分配律的算式特點，也體現了學生的思維進階。

二、規范表達，直觀描述

教材重視用字母表示乘法分配律，這樣的安排可以幫助學生感受符號化的數學思想，便于學生用更加簡便的方式來記憶、表達乘法分配律。在實際教學中，盡管學生普遍能夠用字母來描述乘法分配律，但是往往停留在表層記憶中，效果并不理想。對于規律的掌握僅僅依靠模仿和記憶是遠遠不夠的，涉及具體的練習（特別是變式練習）時便出現各類錯誤。究其原因，還是在于對乘法分配律的內化理解不到位。

語言是思維的外殼，思維的內在條理性可以通過語言的外顯描述呈現出來，數學語言的正確表達又可以促進思維條理性的形成，對于發展思維的嚴謹性也是非常有利的。因此，用符號表示乘法分配律的同時，不能忽視語言表達的作用。教師要組織學生開展嘗試描述、科學表達、有序復述等活動，通過規范的語言表達，幫助學生加深對乘法分配律的理解。學生如果能夠描述出乘法分配律就是“兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們分別與這個數相乘，再相加，得數不變”，就為乘法分配律的具體應用打下扎實的基礎。

三、建構模型，掌握本質

在研究乘法分配律的過程中，教師往往會組織學生仿寫類似的算式來驗證規律。毫無疑問，這一活動可以使學生獲得更充分的體驗，感受研究規律的一般過程。但是受到原有算式的影響，學生所寫的算式基本類似于原有算式，固定的算式結構反而固化了學生的思維。

模型的建立是一個循序漸進的科學過程。第一，在例題中結合實際問題滲透規律的感悟;第二，在舉例驗證中加深對規律普遍性的認識;第三，回顧已有學習經驗中的相關案例，感受規律的應用性;第四，將規律的符號化表達，上升到理性思維;第五，在運用中豐富模型。在整個模型建立的過程中，教師必須重視通過例題、練習、描述等活動，幫助學生在觀察、分析、概括中提煉乘法分配律的內在本質，建立正確的模型。這種模型既是形式的，更是本質的。建立乘法分配律的數學模型時，要重視科學的模型建立，即在兩數之和乘一個數時，強調乘數位置在括號的外面，而與前后順序無關;表示為兩數分別乘這個數時，兩個乘法中都應該包含這個乘數。

四、強化變式，靈活運用

結合算式特點，運用運算律靈活計算是學生具有較強運算能力的具體表現之一。正確運用運算律的前提就是感知算式的具體特點。在教學時，教師要重視學生正確掌握符合乘法分配律的算式特點。考慮到學生運用乘法分配律時容易出現的錯誤，除了加強數形結合、建立模型和語言內化外，還要指導學生科學地進行觀察，看清數字、符號以及算式結構等特點，在此基礎上進行變式練習。這也是幫助學生加深理解與熟練運用乘法分配律的有效策略。

（一）改變位置

在乘法分配律運用中，常見的錯誤就是數字前后順序的思維定式，特別是對于（a+b）×c和a×c+b×c之類結構的習題能熟練掌握，但是對于c×（a+b）之類的習題往往會出現錯誤。如：

25×（40+3）

=25×40+3

=1000+3

=1003

以上錯誤說明學生并沒有真正掌握乘法分配律，對于乘法分配律的本質結構不清晰。作為教師，應該充分考慮到此類典型錯誤，提供針對性的變式練習，幫助學生把握算式特點，避免因為數字前后順序顛倒的干擾而出現錯誤。

（二）改變結構

對于25×99與25×99+25之類的計算，部分學生也存在一定的困難。究其原因，在于學生僅僅將目光聚焦在了25×99，眼中只有部分而沒有整體，沒有從思維的角度去厘清到底是多少個25。要解決這樣的問題，教師必須引導學生從算式的意義去理解，并用語言合理描述。在此基礎上，以合適的方式構建合理的算式結構，并通過簡便計算求出準確答案。解題之后，還需安排回顧與反思的過程，嘗試去解釋算法的合理性，從而對比99個25與100個25此類習題的區別，科學地區分算式結構，準確地建構算法思路，幫助學生提高計算的正確率。

（三）逆向思考

考查學生是否能夠合理地運用乘法分配律進行簡便計算，教師還可以安排補缺式的練習，這樣可以在更高的思維狀態中考查學生的理解力。

例如：在下面的括號內填入合適的數，使算式可以運用乘法分配律進行簡便計算。

48×55+48×（????）、29×35+（?????）×（????）、39×54+（????）

在以上三題中，第一小題有比較明顯的特征，只需要考慮填入的數與55相加，比較簡單;第二小題可以從不同的角度去觀察，從而填寫不同的數字;第三小題還要充分考慮兩個數字本身的特征以及合理取舍才能正確填寫。因此，逆向思考式的變式練習非常有助于提高學生靈活運用乘法分配律的能力。

（四）同類推廣

乘法分配律的練習，不僅要見樹木更要見森林。在具體練習時要注意將類似練習進行轉換與比較。例如：（40+4）×25、25×（40+4）、25×40+4×25、44×25、（40-4）×25、25×（40-4）、25×40-4×25、36×25等。通過以上習題的對比，可以使學生從整體上感受乘法分配律各類算式的特點，幫助學生在變化中尋找到不變的本質。