從二次函數(shù)角度理解函數(shù)恒成立和存在性問(wèn)題

摘要：高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)一直是教學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，尤其是函數(shù)中的恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題.很多看似復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，都可以通過(guò)分析，轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題或者存在性問(wèn)題. 本問(wèn)題以我們熟悉的二次函數(shù)為例，來(lái)分析恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題，理解恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)而研究更為復(fù)雜和隱含的函數(shù)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：高中函數(shù) 恒成立問(wèn)題 存在性問(wèn)題

高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)一直是教學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，尤其是函數(shù)中的恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題. 我們從高二下學(xué)期開(kāi)始接函數(shù)中的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容，利用導(dǎo)數(shù)工具來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，特別是一些復(fù)雜的函數(shù)，如超越函數(shù). 在實(shí)際教學(xué)中，如果題目中只讓求函數(shù)的單調(diào)性，最值，即使是比較復(fù)雜的函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)工具，我們是可以完成的. 可是，函數(shù)問(wèn)題通常需要將問(wèn)題等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化成求利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題，例如函數(shù)中的恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題，這才是難點(diǎn)和痛點(diǎn). 如何突破呢？函數(shù)貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，對(duì)于函數(shù)中的恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題，能否從高一就開(kāi)始滲透它的思想方法，慢慢突破呢？其實(shí)，這個(gè)問(wèn)題，高一就有涉及. 下面，以熟悉的二次函數(shù)為例，從二次函數(shù)角度出發(fā)，理解函數(shù)中的恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題.

一、函數(shù)中的恒成立問(wèn)題

例1 一元二次不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

本題出自新教材課本必修一58頁(yè)的練習(xí)題6.

分析 首先我們把問(wèn)題歸類(lèi)，這是數(shù)學(xué)中的哪一類(lèi)問(wèn)題？從不同的角度出發(fā)，導(dǎo)致解法不一樣. 本題有兩個(gè)思路：一是一元二次不等式問(wèn)題，二是函數(shù)中的恒成立問(wèn)題.

思路一 一元二次不等式問(wèn)題

分析 借助于二次函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，解一元二次不等式. 題目中要求一元二次不等式的解集為，因此，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象需滿足開(kāi)口朝下，與x軸無(wú)交點(diǎn).

分析 從函數(shù)的函數(shù)值角度理解不等式問(wèn)題，的解集為，即對(duì)任意，函數(shù)的函數(shù)值小于0恒成立. 要求所有的函數(shù)值都小于0，顯然無(wú)法實(shí)現(xiàn)把所有的函數(shù)值都算出來(lái)，讓其都小于0的操作. 怎么辦呢？仔細(xì)分析，我們只需讓函數(shù)的最大值小于0即可. 因此，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，且最大值小于0.

從函數(shù)的函數(shù)值角度理解例1，它是函數(shù)中的恒成立問(wèn)題，以例1為例，函數(shù)中的恒成立問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題. 我們也可將題目中的的范圍縮小，例如，任意，一元二次不等式恒成立. 此題如果按照思路一的解法，從一元二次不等式角度理解，問(wèn)題不容易解決. 如果按照思路二的解法，從函數(shù)的恒成立問(wèn)題理解，則問(wèn)題比較容易解. 題變理不變，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上，函數(shù)的最大值問(wèn)題.

從我們熟悉的二次函數(shù)入手，理解函數(shù)中的恒成立問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問(wèn)題. 因此只要會(huì)求函數(shù)的最值，恒成立問(wèn)題就可以解決. 函數(shù)的恒成立問(wèn)題，涉及數(shù)學(xué)中的“無(wú)窮”問(wèn)題，通過(guò)上述轉(zhuǎn)化，我們將無(wú)窮問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體可操作的有限過(guò)程，這就是數(shù)學(xué)的力量.

二、函數(shù)中的存在性問(wèn)題

例2 若存在，使得關(guān)于的不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

從函數(shù)角度理解例2，它是函數(shù)中的存在性問(wèn)題，以例2為例，函數(shù)中的存在性問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.

從我們熟悉的二次函數(shù)入手，理解函數(shù)中的存在性問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問(wèn)題. 因此只要會(huì)求函數(shù)的最值，存在性問(wèn)題就可以解決.

上述問(wèn)題中的例1和例2是函數(shù)中的恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題，以我們熟悉的二次函數(shù)為載體，通過(guò)分析，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，便于理解與接受. 希望通過(guò)這樣的分析，為后續(xù)遇到的復(fù)雜函數(shù)的恒成立問(wèn)題和存在問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

東北師范大學(xué)附屬中學(xué)朝陽(yáng)學(xué)校， 肖志偉 北京