基于線性自抗擾控制技術控制器設計的控制方法

白 杰，朱日興，王 偉，馬 振

(中國民航大學適航學院，民用航空器適航審定技術重點實驗室，天津 300300)

比例-積分-微分控制(PID)在控制工程中一直占據著主導地位。然而，實際中導數不能直接測量或直接測量會造成較大的代價。所以工程控制領域大部分是采用PI控制器[1]。為解決此問題，韓京清[2-3]率先提出用跟蹤微分器來提取微分信號。此后，于1998年提出自抗擾控制(ADRC)思想，即以跟蹤微分器、擴張狀態觀測器和非線性狀態反饋共同組成自抗擾控制器[4]。自抗擾控制作為一種新型的控制策略，吸取了經典PID控制精髓，且不依賴系統模型。因此，得到中外學者廣泛關注，但由于ADRC的參數個數過多導致參數整定困難，在工程應用中一直未能廣泛推廣。為此，Gao[5]于2003年提出將非線性ADRC轉化為線性ADRC(LADRC)，從而使ADRC調整參數得以簡化，物理意義更為直觀，同時LADRC又繼承了ADRC不依賴系統模型和抗干擾能力強等特性。研究表明[6]，利用LADRC技術可使系統達到兩個目標：首先，使閉環系統具有收斂性；其次，通過調整線性擴張狀態觀測器(LESO)的帶寬，使得閉環系統的動態性能逼近參考指令。

目前，LADRC在工程應用中得到良好推廣，在過程控制領域中，如冶金、化工、電廠等，同時在運動控制領域，如汽車、機電、航海、航空航天等也有涉及，這體現出LADRC良好的工程應用前景和寬廣的適應能力。例如在航空領域中，近年來采用LADRC技術的研究成果逐年增多，如直升機軌跡跟蹤[7]、艦載飛機短距起飛[8]、飛行控制系統[9]，導彈飛行制導[10]等。航空發動機設定點控制器設計，常用發動機壓比(EPR)和風扇轉速(Nf)來進行設定點控制。相比于傳統的PID控制，LADRC具有的超調小、收斂速度快、精度高和抗干擾能力強等特點[11]，特別適合航空發動機控制所要求的超調小、無穩態誤差及響應速度快的設定點控制器設計。

將LADRC控制器經參數整定后，應用到風扇轉速中進行設定點控制，同時與其他傳統的發動機控制方法所設計的控制器作對比，以突出LADRC控制器優良的控制性能。

1 線性自抗擾控制器基本結構

1.1 LADRC基本結構

LADRC基本結構如圖1所示。LADRC主要由兩部分組成：LESO和PD線性組合控制律。LESO通常是以連續狀態空間模型來呈現，LESO的輸入為對象輸出y、控制輸出u，其輸出為對象輸出y的觀測值z1、y的一階微分的觀測值z2以及總擾動f的觀測值z3。PD則是LESO觀測輸出z1、z2的線性組合，控制器輸入為z1、z2以及給定的參考輸入R，輸出為控制器輸出u。整個連續LADRC輸入為對象輸出y以及給定R，輸出為控制器輸出u。

1.2 LADRC數學模型建立

LESO是LADRC的主要結構，連續線性擴張狀態觀測器(LESO)的狀態方程為

(1)

(2)

式(2)中：uc=[uy]T是組合輸入，yc是輸出，A、B、C的取值見式(1)，L為需要設計的觀測器增益矩陣。取觀測器的增益矩陣為

(3)

使得：

λ(s)=|sI-(A-LC)|=(s+ω0)3

(4)

式(4)中：I為單位矩陣。觀測器增益矩陣與觀測器的帶寬唯一相關，使得連續LESO的設計變得簡單。采用經典的PID組合，即線性狀態誤差反饋控制律來簡化ADRC控制器設計。鑒于ESO能夠實時估計并補償外部與內部擾動，因此PID中為消除穩態誤差而采用的積分器已不再需要。控制器得以進一步簡化為PD組合的控制律設計。經過參數化，選擇：

(5)

式(5)中：ωc為控制器帶寬。使得PD控制器參數能夠唯一與控制器帶寬相聯系，進一步簡化了控制器的設計。對于常見的大部分工程對象，ωc與ω0可按ω0=(3～5)ωc的關系選擇，這進一步減少了所需整定的LADRC參數。

2 LADRC控制參數選取

2.1 參數整定的模型選取

由于最小相位系統下的階躍響應會出現負調現象，這嚴重影響系統快速性和穩定性。因此，在實際工程中，針對非最小相位系統是存在控制難點的。然而，利用自抗擾控制思想可有效解決該問題[6]。文獻[12]也通過仿真證明了自抗擾控制技術可用于不穩定對象和非最小相位系統的控制。

鑒于LADRC不依賴于系統模型且具有強抗干擾的特性。將設計的LADRC控制器在最小相位系統進行參數整定，選取合適參數，以期望在嚴苛的系統中能夠滿足較好性能的控制器，在應用到發動機模型時依舊滿足良好性能。為滿足線性化發動機模型的基本形式，設某被控對象的數學模型如式(6)所示，并以此為基礎，為LADRC控制器選取合適的控制參數。

(6)

2.2 LADRC中各參數的控制影響

根據上述LADRC控制器設計，參考文獻[13]對LADRC參數調整的方法，為加快調節速度及減小偏差，以期望得到更好的控制性能，將控制器的增益作了如下調整。

(7)

式(7)中：系數K為待優化的動態調整系數。因此，LADRC控制系統的閉環傳遞函數只需調整三個參數，分別為控制器帶寬ωc、控制器的控制增益b0和動態調整系數K。式(7)為被控對象的數學模型，將所設計的LADRC控制器應用于該系統中，以研究控制器參數ωc、b0和K對系統輸出性能的影響，圖2為控制器各參數變化后輸出的曲線變化。

如圖2所示是各參數變化后對LADRC控制性能的影響變化曲線圖。可以看出在圖2(a)中，控制器帶寬ωc和動態調整系數K保持不變，即取ωc=1，取K=10。而控制器的控制增益b0在5～10范圍進行調整，以判斷b0對該系統控制性能的影響。仿真結果表明，當b0取值相對較小時，如取b0=8時控制輸出會出現小幅度的超調現象，隨著b0取減小，負調的幅度增大。當取b0=10時則無超調，且負調最小，但調節時間延長。在圖2(b)中ωc和b0保持不變，即取ωc=1、b0=10，K=4～5，從而判斷K對系統控制性能的影響。結果表明，K取值較大時，系統響應速度更快。在圖2(c)中，保持K與b0不變，即取K=1、b0=10、ωc=1.5～2，以判斷ωc對系統控制性能的影響。仿真結果展示，ωc取值越大，系統響應的快速性明顯更快，但負調的幅度也相對較大。從圖2可看出，參數ωc、b0、K相互影響，只有當三個參數配合得當才能達到良好的控制效果。依照三個參數選擇對系統控制效果影響的規律，取值合適的控制參數用于LADRC控制器以控制風扇轉速設定點控制中。

3 仿真研究

3.1 風扇轉速設定點算例

目前，通常使用EPR或Nf作為表征推力測量的替代變量。實質上，控制器可依據ΔNf或ΔEPR所給定的設定點信息概況進行設計。因此，ΔWF到ΔNf的傳遞函數可從適當飛行條件的線性化發動機模型中獲取，其形式為

(8)

分子系數在式(8)中沒有任何假設，使得傳遞函數零點具有正實部(非最小相位零點)成為可能[14]。根據文獻[14]在FC01飛行條件下，采用CMAPSS-1 90K級發動機模型進行控制器設計，可由狀態空間模型矩陣得到ΔWF(磅/s)到ΔNf(r/min)的傳遞函數：

(9)

FC08飛行條件下的發動機模型，同樣可得到傳遞函數為

(10)

選取了三種經典單輸入單輸出設計方法，分別為根軌跡、頻域回路成形及模型匹配方法，將其與經參數整定后的LADRC控制器作對比。要求設計的控制器需滿足風扇轉速增加100 r/min，并同時達到以下要求：穩態誤差為零；超調量小于5%；調節時間1 s左右。根據文獻[14]，根軌跡法、頻域回路法及模型匹配法設計的控制器分別為

(11)

(12)

(13)

3.2 系統仿真

為了驗證LADRC控制器具有優良的控制性能，采用經參數整定后的線性自抗擾控制器與上述經典設計方法所設計的控制器作對比，分別應用于完全不同的兩種飛行條件中(FC01與FC08)。如圖3所示為在FC01飛行條件下，其在風扇轉速增加100 r/min后，采用LADRC、根軌跡、頻域回路成形及模型匹配等方法設計的控制器的階躍響應比較。

由圖3可知，在滿足相同的燃油流量情況下，相比于其他經典方法設計的控制器均有較小超調的出現，LADRC控制器響應速度快且無超調發生。如圖3所示，為將FC01飛行條件下設計的控制器應用到完全不同的FC08飛行條件中。

由圖4所示，在滿足相同的燃油流量的控制作用條件下，根軌跡法、頻域回路成形法及模型匹配法所設計的控制器，在完全不同的FC08飛行條件下都出現了不同程度的控制性能變差，超調量明顯加劇。然而LADRC控制器依舊表現出良好的控制性能，幾乎無超調產生。通過上述的仿真分析可知，相較于經典的發動機控制方法，LADRC控制具有良好的控制性能。

圖4 在FC08條件下各控制器的階躍響應比較

4 結論

利用LADRC技術進行航空發動機的設定點控制器設計，并對比經典的發動機控制方法，通過仿真最終得出以下結論。

(1)采用LADRC技術進行設定點控制器設計，控制器經選取合適參數后，應用于兩種完全不同飛行條件下的發動機模型。仿真結果表明LADRC設定點控制器依舊滿足無穩態誤差、無超調且調節時間小于1 s。

(2)相比于根軌跡、頻域回路成形、模型匹配等傳統設計方法所設計的設定點控制器，在滿足同等燃油流量控制的基礎上，LADRC控制器明顯擁有更好的控制性能。