改進鍵型近場動力學方法下的多裂紋板破壞分析

孫 杰, 徐業鵬

(河海大學力學與材料學院，南京 211100)

裂縫的存在通常會削弱工程結構的承載能力，甚至導致結構失效，因此含缺陷材料和結構的斷裂問題及其數值模擬一直都是計算力學的研究重點。近年來，近場動力學方法以其在模擬裂紋擴展以及分析結構斷裂方面的獨特優勢日益受到國內外學者的青睞。

近場動力學(peridynamics，PD)是基于非局部作用思想建立模型并通過求解空間積分方程來描述物質力學行為的一種方法。該方法由Silling[1]于2000年提出，隨后，為證明求解不存在裂尖應力奇異性，Silling等[2]又對PD基于鍵的理論進行更深一步的推導，成功應用于研究微彈性材料[3-4]和混凝土材料[5]中的復雜裂紋問題。常規微彈性脆性模型(prototype microelastic brittle,PMB)在應用時存在限制，為此Gerstle等[6]在開展多晶斷裂和PD斷裂模擬的同時，引入了彎矩密度概念來解除泊松比的限制，引入了雙參數微極模型。Huang等[7]、顧鑫等[8]為提高計算精度，又引入核函數修正項。黃丹等[9-10]進一步分析改進了核函數修正項對PD的作用，并開發出相應的靜力動力的算法。錢劍等[11]在此基礎上進行了動載作用下的復合型裂紋擴展模擬。

與此同時，多裂紋擴展問題中裂紋間的相互影響和連接一直都是較為復雜的難題，眾多學者針對多裂紋問題進行過大量研究。Silling[12]用沖擊物撞擊了帶有平行裂紋的圓盤，利用近場動力學成功模擬此算例，在試驗中觀察到了裂紋擴展的角度。Zhou等[13]研究了裂紋陣列對多裂紋擴展和聚結過程的影響。Zeng等[14]用擴展有限元方法，觀察脆性巖石類材料的裂紋對其彈性性能和強度的影響情況。Vazic等[15]研究了小裂紋對宏觀裂紋動力學擴展的影響，考慮了不同數量、不同位置和密度的小裂紋的各種組合，其大小取決于小裂紋的位置、密度和數量。張振南等[16]基于VMIB方法，通過對兩條不同排列的平行裂紋開裂過程的模擬，探究多裂紋之間的相互影響。基于改進后的近場動力學方法，對含雙裂紋的脆性板進行單軸拉伸破壞模擬，并將所得結果與已有文獻結果進行對比，驗證本文提出的本構模型和算法的可靠性。隨后通過模擬不同初始形態的多裂紋板的裂紋擴展路徑和分析承載能力，探究裂紋初始狀態對結構破壞型式、擴展路徑和承載能力的影響規律。

1 近場動力學基本理論

1.1 鍵型PD基本思想

近場動力學的基本思想如下：在假設物質點系統做剛體運動，保持物質系統構型不變并且物質點對之間的作用與時間無關的前提下，考慮某一個空間R內的所有物質點，領域內任意物質點x和一定范圍大小δ(近場范圍)內的其他物質點x′∈H:{|x′-x|≤δ,H∈R}存在關于位移u=u(x,t)的相互作用力f(圖1)，那么對于該物質點就有如下關系：

f=f[x,x′,u(x,t),u(x′,t),t]

(1)

(2)

式中：H為近場范圍；ρ為材料密度；b為外力密度。

圖1 物質點對之間的相互作用

對于均質材料，點對力函數可以繼續簡化為與參考構型中兩物質點的相對位置ξ=x′-x和相對位移η=u′-u相關的函數：

f=f(x′-x,u′-u)=f(ξ,η)

(3)

均勻材料的本構力函數的一般形式為

f(η,ξ)=F(ξ)(η+ξ)

(4)

根據Silling[1]以及黃丹等[17],本構力(點對力)可表示為

(5)

式(5)中：μ判斷物質點對破壞情況。

(6)

式(6)中：s0為物質點對的臨界伸長率，可取s0=[4πG0/(9Eδ)]1/2。

物質點對勢能與傳統應變能等效[1]求解微模量系數c，結果如下：

平面應力問題：

(7)

平面應變問題：

(8)

式中：E為彈性模量；ν為泊松比。

常規PMB模型在平面應力問題求解時受到泊松比限制，為突破該限制，Gerstle等[6]引入物質點對的轉動自由度，提出雙參數微極模型：

f(η,ξ)=D(ξ)η

(9)

令ξ=|ξ|，其中，

(10)

通過物質點對勢能與傳統應變能等效[10]，求出雙參數微極模型的參數：

(11)

為了提高計算精度，加入考慮了長程力的尺寸效應，加入核函數修正項g=[1-(ξ/δ)2]2。將原來的常規微彈性脆性模型系數修正為c(ξ)=c(0,δ)g(ξ)。

核函數修正項必須滿足長程力的變化規律：

(12)

引入核函數修正項g=[1-(ξ/δ)2]2后得到修正的微模量系數:

(13)

1.2 求解體系

在任意時刻，x由近場范圍內物質點對作用力產生的內部合力可以表示為

?x∈R,t≥0

(14)

PD是將固體離散為一系列具有信息的物質點，設物質點間距為|Δx|，則將式(2)改寫為

(15)

通常在求解時加入人工阻尼來保證獲得靜力解，基本方程如下：

(16)

采用中心差分格式

(17)

按時間順序進行離散,代入(15)化簡，得到：

(18)

由Fortran程序完成求解。

2 算例分析

2.1 模型驗證

為驗證本文本構模型和算法的正確性，首先對含雙裂紋混凝土板進行了單軸拉伸破壞模擬。具體模型如圖2所示，彈性模量E=30 GPa，泊松比ν=0.33，材料密度為ρ=2 400 kg/m3，離散為10 200個物質點，離散間距為0.000 5 m,近場尺寸δ=3Δx=0.001 5 m。在模擬過程中采用位移加載控制方式對其進行加載，每一步荷載增量為0.04 mm，迭代步長為Δt=1×10-7s。

為模擬不同裂紋初始布置下板的斷裂破壞模式，采用如下三種方案(均保持兩條裂紋平行)。

(1)方案I：2b/2a=1，即b=5 mm，α=45°。

(2)方案II：2b/2a=2，即b=10 mm，α=45°。

(3)方案III：2b/2a=1，即b=5 mm，α=60°。

模擬結果如圖3(方案I～III的裂紋擴展過程)所示，裂紋沿著最易匯合的方向擴展，一起沿水平方向開裂，在兩條裂紋之間形成破裂區，進而貫通，同時兩條裂紋也向板的兩側擴展，最后形成一條貫通性裂紋。三個方案中PD所得裂紋擴展路徑與VMIB[16]方法所得裂紋擴展路徑基本一致。

圖2 雙裂紋板模型

圖3 裂紋擴展路徑比對

2.2 含三裂紋脆性板單軸拉伸破壞分析

主要研究在含三裂紋脆性板在受到單軸拉伸荷載作用時，裂紋的初始布置是否會改變裂紋擴展的路徑以及對臨界破壞荷載是否有影響。本模型具體材料參數和2.1節一致，q=1 000 kPa，迭代時間步長Δt=1×10-7s。模型如圖4所示。

圖4 三裂紋板模型

觀察裂紋的擴展路徑主要有兩種形式，即以中心裂紋為主的開裂與以兩邊裂紋為主的開裂，最后都是沿著豎直方向擴展直到板完全破壞。以α=30°為例，當β=0°時，脆性板以兩邊裂紋為主開裂，直至破壞，當β逐漸增大后，裂紋擴展路徑開始發生變化，由以周邊裂紋為主的開裂變為以中心裂紋為主的開裂，如圖5(a)所示。

觀察有無周邊裂紋時臨界破壞荷載，如“β=0°且無周邊裂紋”與“β=α=0°”對比可得，周邊裂紋的出現明顯削弱了板的承載能力，但同時對比“β=15°且無周邊裂紋”與“α=0°，β=15°”，板承載能力又有稍許提升，可見裂紋的增加對板的承載能力存在復雜的影響。進一步觀察圖5(b)可知，臨界破壞荷載隨著中心裂紋角度與周邊裂紋角度的增加而減小。當三條裂紋角度都在0°時，板的承載能力最強，即此時板處在最穩定的狀態，而當有一條裂紋達到90°時，臨界破壞荷載達到最小值。在周邊裂紋角度值一定的情況下，板的承載能力隨著中心裂紋角度的增加而減小。同樣，在中心裂紋角度一定的情況下。臨界破壞荷載值也隨著α的增大而減小。即板整體承載能力隨著中心裂紋角度與周邊裂紋角度的增加而減小。

圖5 PD模擬結果

2.3 含多裂紋脆性板單軸拉伸破壞分析

含初始裂紋板的破壞問題[18-20]在實際工程與航空航天領域都有重要的作用，在文獻[21]中，由于航空事故對航空問題中的鋁板進行了裂紋破壞問題分析，而該類問題在脆性板中也具有深遠研究意義。采用的模型如圖6所示，由于初始裂紋布置對板的承載能力有著不可忽略的影響，通過改變角度α與中心裂紋角度β，觀察初始裂紋布置對臨界破壞荷載的影響。材料數據如下：彈性模量E=0.69 GPa，泊松比ν=0.3，材料密度為ρ=2 400 kg/m3，取物質點間距為0.001 m，物質點總數為30 200，近場尺寸δ=3Δx=0.003 m。對其進行均布拉伸，q=1 000 kPa，迭代步長為Δt=1×10-7s。具體模型如圖6所示。

圖6 多裂紋板模型

由圖7易知，在α與β同時達到90°時，臨界破壞荷載達到最大值，幾乎接近板的抗拉強度。而在α=β=0°時，臨界破壞荷載最小，即板處在最脆弱的狀態。

在角度β不變的情況下，臨界破壞荷載隨著周邊裂紋角度α的增加而增加，同樣，在α不變的情況下，臨界破壞荷載也幾乎隨著β的增加而增加，僅在β=45°時，α由15°～30°時臨界破壞荷載出現了較為明顯的下降，整體規律為隨著α與β的增大，臨界破壞荷載越大，即板的承載能力越強，越穩定。反之當α與β的越小，臨界破壞荷載越小，即板越易破壞。

此外，在不同階段，臨界破壞荷載隨裂紋角度變化幅度也有差異。在中心裂紋角度β<45°的時候，板的承載能力受周邊裂紋角度α影響較小，例如在β=15°時，圖7中折線較為平穩，即臨界破壞荷載隨角度α變化波動不大，當β>45°的情況，整體折線相對較陡，即臨界破壞荷載隨角度α變化波動較為明顯。

圖7 臨界破壞荷載示意圖

3 結論

(1)傳統鍵型PD理論在處理裂紋問題時具有獨特的優勢，在常規微彈脆性近場動力學本構模型中引入表征非局部長程作用力強度尺寸效應的核函數修正項，構建雙參數微彈脆性近場動力學本構模型，對含雙裂紋脆性板進行拉伸破壞模擬，將所得結果與VMIB方法所得結果進行對比，證明該模型與方法的可行性。

(2)對于含中心裂紋的三裂紋板，裂紋的初始角度對裂紋擴展路徑與臨界破壞荷載有一定影響。臨界破壞荷載隨著中心裂紋角度與周邊裂紋角度的增加而減小，當三條裂紋角度都在0°時，板的承載能力最強，即此時板處在最穩定的狀態，而當有一條裂紋達到90°時，臨界破壞荷載達到最小。

(3)多裂紋板算例中，在α與β同時到達90°時，臨界破壞荷載達到最大，幾乎接近板的抗拉強度。而在α=β=0°時，臨界破壞荷載最小，即板處在最脆弱的狀態。在中心裂紋角度β<45°的時候，板的承載能力受周邊裂紋角度α影響較小，反之影響較大。