“勾股定理（1）”教學設計及教后反思

常冬琴

[摘 ?要] 在數學教學中，引導學生發現問題，讓學生能自主地提出一個有價值的問題，比解決一個問題更有意義. 在課堂上，通過創設情境引發思考、猜想，通過動手操作驗證猜想、解決問題，能讓學生在數學學習中自主產生“問題意識”，進而催生“問題解決”的強烈愿望，從而培養學生的數學核心素養.

[關鍵詞] 教學設計;設計理念;數學活動

教材簡解

學生通過小學數學的學習，對直角三角形已有初步認識，能從角的角度分析直角三角形的特征. 蘇教版八年級上冊第一章“全等三角形”中直角三角形全等的判定揭示了直角三角形三邊之間的關系，即直角三角形中知任意兩條邊的長，那這個直角三角形的形狀就確定了，于是第三邊的長也隨之確定. 本節課將在此基礎上引發學生猜想—發現—驗證. 學生通過對勾股定理的學習，可以在原有的基礎上對直角三角形有進一步的認識和理解. 勾股定理是數形結合的典范，它把三角形有一個直角——“形”的特點轉化為了三邊之間“數”的關系. 在實際應用中，常利用勾股定理建立相等關系，從而解決直角三角形中的計算問題，因此，本節課在教材中有著非常重要的地位.

目標預設

（1）通過畫圖操作，初步感受直角三角形的三邊存在特殊關系.

（2）通過計算正方形的面積，猜想直角三角形的三邊存在的等量關系.？搖

（3）通過在方格紙上操作、實驗，引導學生將正方形的面積與直角三角形三邊的長建立聯系.

（4）能靈活運用勾股定理求直角三角形中未知邊的長.

（5）經歷“操作—猜想—發現—驗證”等操作活動，感受從特殊到一般、數形結合、歸納、轉化等思想方法.

教學重難點

教學重點：（1）發現、探索勾股定理的過程.

（2）在操作、猜想、發現、驗證等活動過程中，培養學生發現問題和提出問題的能力.

教學難點：如何引導學生發現勾股定理以及驗證勾股定理.

設計理念

通過動手操作，讓學生經歷知識的發生、發展、運用過程，將數學問題逐級展開，讓學生在“做”和“思考”的過程中積累經驗，學會由淺入深、由特殊到一般地研究問題，形成數學能力、數學觀點和數學素養.

設計思路

引導學生回顧直角三角形全等的條件，畫直角三角形，感受直角三角形三邊之間存在著特殊的關系;通過計算以直角三角形三邊為邊長的正方形面積，猜想直角三角形三邊存在等量關系;再通過在方格紙上操作、實驗，引導學生將正方形的面積與直角三角形三邊的長建立聯系，從而驗證猜想;最后靈活運用勾股定理求直角三角形中未知邊的長.

教學過程

（課前準備：直角三角板，圓規，邊長為1 cm的正方形方格紙）

1. 活動1：畫圖，感悟直角三角形三邊的關系

問題1：前面我們講了三角形全等的條件，那判定直角三角形全等的條件有哪些？

設計意圖 ？搖通過回顧判定直角三角形全等的條件，引導學生發現直角三角形中任意兩邊長度確定，直角三角形的形狀也就確定了，于是第三邊的長隨之確定.

操作1：如圖1，已知線段a，b，c.

（1）求作直角三角形ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b;

（2）求作直角三角形ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AB=c.

（互相交流，并用圓規或直尺度量、比較第三邊的長）

設計意圖？搖 學生通過作圖、度量、比較，能更直觀地感悟到直角三角形的三邊存在特殊關系，這便為發現勾股定理做了鋪墊.

2. 活動2：操作，猜想直角三角形三邊的關系

操作2：在小正方形邊長為1 cm的方格紙上畫直角邊的長分別為3 cm和4 cm的直角三角形，以及直角邊的長分別為5 cm和12 cm的直角三角形，并度量斜邊的長，得到表1（單位：cm）.

問題2：觀察表1中的數據，你能找到直角三角形三邊之間存在何種等量關系嗎？

發現：32+42=52，52+122=132.

猜想歸納：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

設計意圖？搖 在活動1發現直角三角形三邊存在等量關系后，進一步通過在方格紙中畫圖、度量，得到三邊的具體長度，通過對數據之間關系的探索，追問“存在何種等量關系”，從而引出“勾股定理”.

3. 活動3：計算，驗證直角三角形三邊的關系

問題3：在以上活動過程中我們發現了，在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，如何驗證這一猜想呢？

設計意圖？搖 經歷操作、猜想之后，應該進入驗證、證明環節. 應啟發學生根據等式的結構特征，嘗試通過計算以直角三角形各邊為邊長的正方形面積來驗證這個猜想.

操作3：分別以直角三角形（∠ACB=90°）的三邊BC，AC，AB為邊長向外作正方形p，q，r，如圖2.

交流：怎樣求出正方形r的面積？

（學生小組合作，交流方法，實物投影，匯報結果. 運用“割”或“補”的方法計算正方形r的面積）

問題4：是不是所有的直角三角形都有這一特點？

操作4：在方格紙上任意畫一個頂點都在格點的直角三角形，并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向三角形外作正方形，仿照上面的方法計算各正方形的面積.

問題5：上面研究的都是頂點在格點上的直角三角形，我們能得到S+S=S. 如果頂點不在格點上，這個結論還成立嗎？

操作5：利用“幾何畫板”的度量工具，依然可以得到S+S=S .

設計意圖？搖 學生在方格紙上操作、實驗，利用幾何畫板驗證，經歷從特殊到一般的過程，主動將正方形的面積與直角三角形三邊的長建立聯系，提供歸納、驗證的依據.

歸納：勾股定理.

4. 活動4：整理，本節課的收獲

（1）通過本節課的學習，你對直角三角形有什么新的認識？

（2）我們是如何發現勾股定理的？又是如何驗證的？

（3）你能證明勾股定理嗎？

設計意圖？搖 通過對本節課學習重點（探究過程）的回顧，引導學生發現探究問題的方法和所用到的數學思想，培養學生分析問題、解決問題的能力，以及語言表達能力.

“你能證明勾股定理嗎？”這句話強調了一個命題的正確性僅僅是猜想、操作、驗證還不夠，還需要經過嚴謹的推理證明，這便為下一節課做了鋪墊.

5. 活動5：訓練，鞏固所學知識

（1）必做題：課本P79-80第1、2、3題.

（2）選做題：如圖3所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7 cm，則正方形a，b，c，d的面積之和為______cm2.

設計意圖？搖 選做題有一定的難度，學生可根據自己的能力自主選做，這樣就能實現 《課程標準》中所要求的“讓不同層次的學生得到不同的發展”.

教后反思

波利亞曾經說過：“學習任何知識的最佳途徑就是由自己去發現和解決. ”《新課程標準》要求，通過實踐、思考、探索、交流獲得知識，所以在教學過程中，筆者力圖通過學生動手操作、動眼觀察、動口交流去發現問題并解決問題，使得學生的自主探究能力和合作學習能力在課堂教學中得到進一步加強. 通過本節課的教學，筆者總結成功之處主要有如下幾點.

（1）真正放手將課堂交給學生. 學生自己動手操作、觀察、歸納猜想、驗證，親歷這一系列過程，會對直角三角形的三邊關系有充分的認識.

（2）引導學生發現問題的答案而不是直接告訴學生答案. 本節課以問題為引領，問題的設計旨在啟發學生思維，適合學生探究，在學生自主思考、討論交流的基礎上，師生進行有針對性的交流和歸納. 比如，讓學生在邊長為1 cm的正方形方格紙上畫直角三角形，意在引導學生通過特殊數據的結果自主發現直角三角形三邊之間存在的特殊數量關系.

（3）尊重學生的思維，以學生的思維方向為主導. 大多數情況下，教師希望課堂教學以自己的意志為主導，希望學生的思維順著教師設計的流程方向發展，所以很多時候，當學生的表現跟教師的預設不一致時，大多數教師會引導學生轉換觀念，用“你的意思是不是……”“我們是不是應該這樣想……”等語句幫助學生“糾正”. 長此以往，會限制學生的思維，會讓學生思考問題時更多地以迎合教師的觀點為主. 比如，要求學生在方格紙上任意畫一個直角三角形并驗證其是否仍然滿足猜想時，有學生畫的圖形與筆者預設的情形不同，有的學生畫的三角形三邊都不在格線上，這便給問題的開展增加了難度. 當時，筆者沒有要求他畫出筆者預設的情形，而是現場將問題交給全班同學共同討論，并得到妥善解決. 這樣既尊重了學生的發現，又巧妙地化解了難題.

同時，筆者也感覺到本節課的設計有不妥之處. 例如，留給學生練習的時間少了些，課堂節奏把握得不夠好，整節課前松后緊，課堂小結比較匆忙，沒有達到預期的效果.

總之，一個有價值的數學課堂不僅是幫助學生解決問題，更重要的是引導學生發現問題，不僅要掌握本節課的知識點，更重要的是學會探究問題的方式方法;一個完整的數學活動應該包括數學問題、學生活動、課堂組織等內容，問題設計應當具備開放性，課堂組織中，教師要留給學生足夠多的時間和空間，讓學生進行充分的思考和交流，教師的提問和追問應為后續學習提供經驗和方法.