關注圖形規律，分類探究思考

鄧雪曉

[摘 ?要] 圖形規律探究題涉及幾何分析、猜想推理和規律總結等過程，由于題型變化多樣、知識點綜合性強等特點，學生在解題突破時很容易遇到思維障礙，文章將對該類問題進行簡要分析，結合實例講解其中四種類型題的解題思路及策略，并提出幾點教學建議.

[關鍵詞] 圖形;規律;函數;遞變;相似;學科

問題綜述

圖形規律探究題是中學數學的經典問題之一，解析時需要利用已知條件及其中的特例，通過觀察、類比、歸納來發現圖形特征或者隱含規律. 該類問題一般設計較為新穎、信息含量大、變化性強，能夠充分考查學生的圖形分析、信息提取、規律總結能力，在近幾年的中考中出現的頻次很高，因此需要學生重點掌握. 圖形規律探究題中圖形衍生的方式是多樣的，在實際探究時需要明晰其中的衍生規律，才能把握題目的變性和規律性.

分類探究

圖形規律探究題具有眾多類型，根據圖形變化規律可以分為循環規律型、相似規律型、函數遞變型、學科滲透型等，下面對其分別舉例，總結突破方法.

1. 類型一：循環規律型

循環規律型探究題的典型特點是圖形中存在角度、線段等幾何關聯條件，因此可以根據關聯條件來逐個推理不同幾何圖形中的性質特征. 在解析時需要注意把握基礎圖形的特點，結合相關幾何知識來逐步推導，總結其中的幾何通式，完成規律提煉.

例1 ?如圖1，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4的斜邊均位于直角坐標系xOy的軸上，已知∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°，OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4，…按此規律進行變化. 若點A1的坐標為（3，0），則點A2014的坐標為______.

解析 ?關注四個直角三角形的邊長特性，三角形中均含有30°角，由題意可知，在Rt△OA2C2中，OC2=OA1=3，∠A2OC2=30°，則可得OA2=OC2=3×. 同理遞推，可知在Rt△OA3C3中，OC3=OA2=3×，則OA3=·OC3=3×2;在Rt△OA4C4中，OC4=OA3=3×2，則OA4=·OC4=3×3. 進行規律總結，可知OAn=3×n-1. 根據2014=4×503+2可判定點A2014在y軸的正半軸上，且OA2014=3×2013，則該點的坐標為0，3×2013.

評注：對于圖形規律探索題，首先需把握規律變化類型，然后提煉其中的規律條件，總結變化規律. 本題目屬于圖形循環變化的規律題，需要把握圖中直角三角形的特性，利用三角函數來解析邊長關聯，確定線段長的計算通式，從而求解點坐標.

2. 類型二：相似規律型

相似規律型探究題的核心特點是圖形相似，常見的有相似三角形、相似矩形、相似正方形等，解析時就需要利用圖形的相似性質來提煉規律條件. 例如根據三角形相似的線段比來總結幾何線段的比值關系，利用相似比構建圖形面積通式等.

例2 ?正方形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖2，已知頂點坐標：A（1，0），D（0，2）. 現按照如下方式作圖：先延長CB，與坐標的x軸相交于點A1，以A1C為一邊作正方形A1B1C1C;延長C1B1，與x軸相交于點A2，以A2C1為一邊作正方形A2B2C2C1，按照這樣的規律持續作圖，則第3個正方形的面積為______;則第n個正方形的面積為______（請用含有字母n的代數式來表示）.

解析 ?上述為圖形規律探究題，題干給出了正方形ABCD相關頂點的坐標，以及后續正方形繪制的方法，因此需要根據作圖條件來提煉規律，計算圖形面積通式. 觀察圖形可知所作正方形均為相似圖形，結合坐標可推理出其中存在著相似三角形，即△AA1B∽△A1A2B1∽△A2A3B2，根據線段關系可知上述三角形的三邊比為1 ∶ 2 ∶ ，進而可求得A1B1 ∶ AB=2 ∶ 3，同理可知后續每一個正方形與前一正方形的相似比均為3 ∶ 2. 第1個正方形的面積為5，則第2個正方形的面積為5×2，第3個正方形的面積為5×4，推理可得第n個正方形的面積為5×2n-2.

評注：依托直角坐標系構建的圖形規律探究題一般會涉及“數”與“形”，因此采用數形結合的方式來突破最為有效. 上述屬于相似規律型探究題，圖中的正方形、三角形具有相似關系，因此根據相似比來提取線段關系，根據線段關系來總結面積通式是解題突破的關鍵.

3. 類型三：函數遞變型

函數遞變型探究題的顯著特點是依托函數圖像來構建幾何圖形，因此圖形衍生必然與對應函數有著緊密關聯. 突破的關鍵是利用函數特性來計算點坐標、推理線段或面積關系，從而建立幾何量之間的代數關聯.

例3 ?如圖3，在x軸的正半軸上依次截取OA1=A1A2= A2A3=A3A4=A4A5，然后分別以點A1，A2，A3，A4，A5為垂足作x軸的垂線，與反比例函數y=（x≠0）的圖像分別相交于點P1，P2，P3，P4，P5，從而得到直角三角形△OP1A1，△A1P2A2，△A2P3A3，△A3P4A4，△A4P5A5，并將上述五個三角形的面積依次設為S1，S2，S3，S4，S5，則S5的值為______.

解析 ?本題目依托反比例函數構建了三角形，因此解析時需要結合函數來分析圖形，把握圖形特點，從中提煉幾何條件. 根據題干條件可知所構直角三角形的其中一個頂點位于反比例函數y=上，而底邊與x軸相重合. 根據反比例函數中k的幾何意義可知△OP1A1的面積為定值，即S1=k=1，結合反比例函數性質可知三角形之間的面積關系為：S2=S1=，S3=S1=，S4=·S1=，S5=S1=，即S5的值為.

評注：上述屬于函數遞變型探究題，由于第一個三角形的位置特殊，根據反比例函數的幾何意義就可直接確定該三角形的面積為定值，后續就可根據函數的遞變性質來建立相應的面積關系. 函數遞變型問題的核心內容是函數性質與圖形特征的關聯，解析時應重點關注.

4. 類型四：學科滲透型

學科滲透型探究題指的是將幾何圖形與其他學科知識相結合命制的圖形規律題，最常見的是綜合物理知識. 解析時需要根據物理規律來分析圖形變化，然后結合數學幾何總結規律.

例4 ?如圖4，一彈性球從點P（0，3）出發，沿著圖中所示方向進行運動，碰到矩形OABC的邊時會發生反彈（反射角與入射角相等），設小球第一次碰到矩形邊上的點為P1，第二次碰到矩形邊上的點為P2，……，第n次碰到的點為Pn（假設碰撞過程無能量損失，可持續運動下去），則點P3的坐標為______，P2014的坐標為______.

解析 ?本題目中涉及小球的碰撞反彈，根據物理知識可知反彈與光的反射類似，則反彈前后反射角與入射角相等，根據該規律可在網格中作出相應的運動軌跡，如圖5所示，可求出P3的坐標為（8，3）. 進一步分析可知小球運動碰撞過程中每6次碰撞反彈為一個循環周期，可回到起點P，對于2014有2014÷6=335……4，即第2014次碰撞時為第336個循環組的第4次反彈，分析可知碰撞點的坐標為（5，0），所以P2014的坐標為（5，0）.

評注：學科滲透型考題對學生的學科知識綜合能力有著較高的要求，例4就是將物理中的碰撞運動與數學幾何相綜合，考查其中的圖形變化和規律. 對于該類型問題需要學生掌握學科綜合的分析方法，善用作圖來輔助思考.

教學思考

上述是圖形規律探究題中的常見類型，其解析思路和方法策略具有一定的代表性，而在實際教學中提出以下幾點建議.

1. 重視信息整合

圖形規律探究題生成的核心是圖形變化和幾何條件，需要通過幾何量的計算來推理圖形關聯，這就離不開對數據信息的整合，包括點的坐標、線段長、幾何角度等. 因此教學中需要重視學生信息整合能力的提升，可通過教學微設計的方式，通過設問引導來使學生掌握信息整合的技巧，積累經驗，提升信息處理能力.

2. 重視數形結合

本文對四大類圖形規律題進行了探究，分析可知大多數問題中均涉及幾何量的計算和圖形特征的解析，其解題過程實際上就是對數形結合法的應用. 通過數形結合可以揭示圖形特征，提取規律通式，教學中需要引導學生掌握該種方法，合理利用分析步驟來構建思路，即根據題干信息來理解圖形，結合圖形特征及變化進行推理計算，總結通式.

3. 滲透數學思想

圖形規律探究題的教學目的有兩個：一是使學生掌握幾何、函數、方程等知識，二是使學生掌握數學思想，提升思維水平. 其中后者是教學的關鍵，開展思想方法教學需要借助具體的內容，以知識講解、思想滲透的方式進行. 以上述問題類型為例，開展圖形規律探究需要使學生關注圖形特點，總結規律，該過程中可以逐步滲透數形結合思想和化歸思想，對于較為復雜的圖形則可以滲透模型思想，使學生深刻感悟其思想內涵.