直覺模糊可退化的加權Bonferroni幾何平均算子及其在多屬性決策中的應用

李曉然，劉曉婉，岳 芹

(皖西學院 金融與數學學院，安徽 六安 237012)

隨著社會的發展，人們在決策過程中遇到的對象越來越復雜，所面臨的決策信息往往具有較大的模糊性和不確定性。在這種新形勢下，為了更好地利用決策信息進行建模，學者們在模糊集理論基礎上，提出了區間模糊集，type-2 模糊集，直覺模糊集等理論。由于直覺模糊集在實際決策中表現出的靈活性和有效性，使其倍受關注，相關理論也得到進一步的豐富和完善，并被廣泛應用于工程技術、經濟管理和軍事等領域[1-4]。

集結算子作為信息融合的一種重要工具，一直是決策科學研究的熱點。目前關于直覺模糊集的集結算子研究已取得豐碩成果，例如：文獻[5]定義了直覺模糊加權平均(IFWA)算子以及直覺模糊有序加權平均(IFOWA：intuitionistic fuzzy ordered weighted averaging)算子，用于直覺模糊信息集結；文獻[6]提出直覺模糊加權幾何平均(IFWG)算子以及直覺模糊有序加權幾何平均(IFOWG)算子，求解多屬性決策問題；文獻[7]給出直覺模糊連續有序加權幾何平均(IFC-OWG)算子，用于解決直覺模糊和區間直覺模糊的決策問題；文獻[8]定義了直覺模糊愛因斯坦Choquet平均(IFCAε)算子以及直覺模糊愛因斯坦Choquet幾何平均(IFCGε)算子。

1 預備知識

1.1 直覺模糊集

定義1[1]設X是一給定論域，則X上的一個直覺模糊集A為

其中μA(x):X→[0,1]和υA(x):X→[0,1]分別代表A的隸屬函數和非隸屬函數，并且?x∈X有0≤μA(x)+υA(x)≤1。

為便于討論，將直覺模糊集中的元素用有序區間對α=(μα,υα)表示，并稱為直覺模糊數。設αi=(μαi,υαi)(i=1,2)，α=(μα,υα)是三個直覺模糊數，規定如下的運算法則：

1)α1⊕α2=(μα1+μα2-μα1μα2,υα1υα2)；

2)α1?α2=(μα1μα2,υα1+υα2-υα1υα2)；

現有的文獻中較常見的一種直覺模糊數排序方式，是由徐澤水等人所定義，具體如下。

定義2[4]設α=(μα,υα)為直覺模糊數，稱sα=μα-υα為α的得分函數，hα=μα+υα

為α的精度。設α1=(μα1,υα1)和α2=(μα2,υα2)為2個直覺模糊數，則有：

· 若sα1>sα2，則α1>α2;

· 若sα1=sα2，則

(ⅰ) 若hα1=hα2，則α1=α2；

(ⅱ) 若hα1>hα2，則α1>α2；

(ⅲ) 若hα1

1.2 Bonferroni幾何平均算子

定義3[9,10]設p，q，ai(i=1,2,…,n)為非負實數，若

則稱Bp,q為Bonferroni平均算子， GBp,q為Bonferroni幾何平均算子。

由于Bonferroni平均算子具有優良的性質，引起很多學者研究興趣，嘗試給出其加權形式，并推廣到不同的模糊環境中。但這些加權算子都不具有退化性，為解決這一問題，Zhou給出如下的定義。

定義4[14]設p，q，ai(i=1,2,…,n)為非負實數，若

則稱IWBp,q為可退化的加權Bonferroni平均算子。

定義5設p，q，ai(i=1,2,…,n)為非負實數，若

則稱GBMp,q為Bonferroni幾何平均算子。

易證GBMp,q滿足下列性質：

(1) GBMp,q(0,0,…,0)=0；

(2) 若ai=a(i=1,2,…,n)，則有GBMp,q(a,a,…,a)=a；

(3) 若ai≥di(i=1,2,…,n)，則有GBMp,q(a1,a2,…,an)≥GBMp,q(d1,d2,…,dn)；

在定義5的基礎上，可得如下具有退化性的加權Bonferroni幾何平均算子。

則稱IWGBMp,q為可退化的加權Bonferroni幾何平均(IWGBM)算子。

下面將IWGBM算子引入直覺模糊環境中，并討論其相關性質。

2 直覺模糊IWGBM算子

則稱IFIWGBMp,q為直覺模糊可退化的加權Bonferroni幾何平均(IFIWGBM)算子。

從而有

由此可得

因此有

下證，由IFIWGBM算子所得出的集結值是直覺模糊數。

顯然有

又

綜上，隨著αi為直覺模糊數的變化，可得：

性質1(1)αi(i=1,2,…,n)為直覺模糊數，若α1=α2=…=αn=α，則有

(2)αi(i=1,2,…,n)為直覺模糊數，若α′1,α′2,…,α′n是α1,α2,…,αn的一個任意的排列，則有

(3)αi=(μαi,υαi)，βi=(μβi,υβi)(i=1,2,…,n)為直覺模糊數，若μαi≤μβi，υαi≥υβi(i=1,2,…,n)，則有

證明(1)

(2)

(3) 由μαi≤μβi，υαi≥υβi(i=1,2,…,n)可得

因此

類似可得

從而有

記直覺模糊元素IFIWGBMp,q(α1,α2,…,αn)和IFIWGBMp,q(β1,β2,…,βn)的得分函數為sα、sβ，精度為hα、hβ，則由上式可得sβ≥sα。

1) 若sβ>sα，則由定義2直接可得

2) 若sα=sβ，又μαi≤μβi，υαi≥υβi(i=1,2,…,n)，因此

且

從而有hα=hβ，則由定義2可得

由1)和2)可得(3)成立。

(4)由(3)和(1)直接可得。

綜上，性質1得證。

隨著參數p,q的變化，我們可得IFIWGBM算子的一些特例。

情形1若q→0, 則有

稱之為廣義直覺模糊加權幾何平均算子[6]。

情形2若p=1,q→0, 則有

稱之為直覺模糊加權幾何平均算子[6]。

情形3若p=2,q→0，則有

稱為直覺模糊加權平方幾何平均算子[3]。

情形4若p=1,q=1，則有

稱為直覺模糊可退化的加權平方幾何平均算子。

3 直覺模糊多屬性決策方法

針對上述多屬性決策問題，利用前文所定義的算子，給出如下的求解步驟。

步驟3利用方案xi的綜合屬性值αi，i=1,2,…,n，對決策方案進行排序并選擇最優方案。

4 實例分析

例1[15]某市打算建一個大型圖書館，經過研討，決定從以下3個方面(對應的權重為w=(0.3,0.5,0.2)T)，來對參與競標的5個品牌空調廠商xi(i=1,2,…,5)進行排序。

圖書館建設管理委員會聘請評估專家對上述5家空調廠商進行測評，評估專家給出了如表1所示的直覺模糊決策矩陣。

表1 直覺模糊決策矩陣

下面用本文的決策方法，為空調供應商進行排序。

步驟1本題涉及的3個屬性都是效益型指標，因此不需要進行規范化。

步驟2利用IFIWGBM集結算子對候選方案的綜合屬性值進行集結，結果如表2所示。

表2 IFIWGBM算子集結結果

步驟3利用方案xi的綜合屬性值對決策方案進行排序(如表3所示)，并選擇最優方案。

從表3可見對于上述決策問題，在不同的p，q取值下，盡管都一致認為x2廠商的空調是最佳選擇，但空調廠商的排序不全相同。這意味著IFIWGBM算子給出的排序方案依賴于p，q的取值。前面我們已經討論了當參數趨于0時，IFIWGBM算子可退化為直覺加權幾何平均算子等形式，但這些算子沒有考慮變量和余下變量整體間的關聯性，無法體現Bonferroni算子的主要優勢。同時考慮到計算復雜性的因素，建議在決策時取p=q=1。

5 比較分析

下面我們將本文方法同已有的直覺模糊多屬性決策方法進行對比，這里我們有代表性的選取：基于直覺模糊加權Bonferroni平均(IFWBM)算子的決策方法[15]、基于直覺模糊加權Bonferroni幾何平均(IFWGBM)算子的決策方法[10]、基于直覺模糊優化加權Bonferroni幾何平均(IFOWGBM)算子的決策方法[11]進行對比，具體結果如表4所示。

表3 排序結果

表4 方法比對結果

由表4可知四種方法主要區別在于決策途徑，即采用的集結算子不同。文獻[15]所使用的Bonferroni平均算子，主要依據算術平均設計，而其他三種算子是幾何平均。文獻[10]采用的算子僅考慮變量間的關聯性，文獻[11]則在文獻[10]的基礎上進行改進，進一步考慮了變量和余下變量整體間的關聯性。但文獻[10]和[11]在權重相等時無法退化為GB算子。本文方法綜合考慮了變量間的相關性以及變量和余下變量整體間的相關性，同時在權重相等時可退化為“原形”——GBM算子。由于不同的算子側重點不同，導致得到的排序也可能不同。因此在決策中要依據實際需求，選擇恰當的決策方法。

6 結論

在可退化Bonferroni加權平均算子的啟發下，本文對Bonferroni幾何平均算子進行重新設計，在此基礎上給出了可退化的加權Bonferroni幾何平均算子，并將其推廣至直覺模糊環境，提出了可退化的直覺模糊加權Bonferroni幾何平均算子，探討了其相關性質和特例。本文還給出了直覺模糊多屬性決策方法，理論分析與仿真算例表明了方法的可行性和有效性。