高中數學圓錐曲線定點問題解題策略

摘 要： 圓錐曲線的定值定點問題作為近些年高考的熱點話題之一，該類題型在具體解題前通常無法確定定值、定點的計算結果，這就會對解題造成一定難度。在對該類問題進行解決時，需在點的“變”中找到定值的“不變”，通常會運用特殊的探索法，對定值、定點進行確定，然后轉化成有目標、有方向的常規性證明題，以實現問題的解決。本文主要對高中數學的圓錐曲線中的定值、定點問題的解題策略進行探究。

關鍵詞： 高中數學;圓錐曲線;定點;解題策略

新課標中，首次提出專屬數學學科的核心素養，其具體包括數學抽象、數學建模、邏輯推理、直觀想象、數學運算與數據分析。同時，新課標中的課程教學目標也出現了相應的變化，并從“雙基”轉變成“四能”與“四基”，從注重學生學習數學的能力提升轉變成注重學科素養的有效培養。而圓錐曲線當中的定點、定值問題作為高考考查的熱點，其主要指某些圖形面積、幾何量線段長度、直線斜率、角的度數等大小或代數表達式的數值等與試題當中的相關參數無關，不會因為參數的變化而發生變化，而是個確定值。該類型的試題主要是解答題，其解決的思路主要是從量變過程尋求不變，也就是先通過變量表示出要求的點或量的坐標，并進行推理計算，導出的點或量的坐標與其變量無關。

一、 直線過定點問題

直線過定點的問題，其主要指直線y=kx+b，若b是常數，則存在直線會過定點（0，b）;若b/k是常量，那么直線會過定點（-b/k，0）。其常用的解題思路為：通過特殊值獲得定點，注意對定點與變量之間沒有關系進行證明，并對式子實施變形整理，通過計算與推理，實現變量消除的結果，以求得定點。對于直線過定點而言，較為常用的就是通過直線點斜式的方程進行證明。

例1：橢圓C方程是： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0），其中點P1（1，1），P2（0，1），P3 -1，? 3? 2? ，P4 1，? 3? 2? 當中的三點都在橢圓C上。

（1）求取橢圓C方程;

（2）假設直線l不過點P2，且和C相交在A，B兩點，如果直線P2A和直線P2B斜率之和為-1，則證明l過定點。

解：（1）依據橢圓具有對稱性可知，P1（1，1）與 P4 1，? 3? 2? 兩點不能同時位于橢圓上，而P3 -1，? 3? 2? ? P4 1，? 3? 2? 兩點一定都在橢圓上，由此可知，在橢圓上的三點為P2（0，1），P3 -1，? 3? 2? ，P4 1，? 3? 2? ，將其代入到方程C中，可知：b=1， 1 a2 + 3 4 =1a=2。

因此，橢圓C的方程為： x2 4 +y2=1。

（2）設直線P2A與P2B的斜率分別是k1，k2，如果l和x軸垂直，設l=t，根據題設可知t≠0，同時|t|<2，由此可得A，B的坐標為 t，? 4-t2? 2? ?t，-? 4-t2? 2? ，則k1+k2=? 4-t2 -2 2t -? 4-t2 +2 2t =-1，可得t=2，不滿足題設。因此，設l：y=kx+m（m≠1）。將y=kx+m代入到 x2 4 +y2=1中可得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，根據題設可知Δ=16（4k2-m2+1）>0。

設A（x1，y1），B（x2，y2），那么x1+x2=- 8km 4k2+1 ，x1x2= 4m2-4 4k2-1 。

同時，k1+k2=（y1-1）/x1+（y2-1）/x2=（kx1+m-1）/x1+（kx2+m-1）/x2=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）/x1x2

根據題設可知k1+k2=-1，因此，（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0。

即（2k+1）· 4m2-4 4k2-1 +（m-1）· -8km 4k2+1 =0

解得：k=-（m+1）/2。當且僅當m>-1的時候，Δ>0，即l：y=-（m+1）/2x+m，而y+1==-（m+1）/2（x-2），由此可知，直線l恒過定點（2，-1）。

二、 動圓過定點問題

圓錐曲線當中的定點問題一般和圓錐曲線當中的“常數”有直接關系，例如橢圓雙半軸的長、焦點坐標、雙曲線的實虛軸長等，都可以通過直接計算獲得，也可通過“曲線系法”“特殊位置法”進行求解。動圓過定點的問題，如果沒給出方程，求解的時候，就需對變化量實施正確的表述，也可通過引進參數，如點坐標、直線斜率、直線截距等對變化量進行表述，然后按照題目設條件，列出相應的關系式，對相應動態的曲線方程進行表示，并將曲線方程轉化為f（x，y）+λg（x，y）=0，即λ∈ R 的時候，曲線恒過定點為f（x，y）=0和g（x，y）=0兩條直線的交點。

例2：如圖可知，橢圓C方程是： x2 4 + y2 3 =1，其左右兩個頂點分別是A，B，右準線上有兩個動點為M，N，同時，向量AM與向量BN的乘積為0，那么以MN作為直徑的圓能否會過定點，如果是，請求取定點坐標;如果不是，請說出理由。

解：由題設可知A（-2，0），B（2，0），其右準線的方程是x=4。

設M（4，m），N（4，n），則AM =（6，m），BN =（2，n）。

由AM ·BN =0可得6×2+mn=0，那么mn=-12。

將MN作為直徑的圓的方程則是：（x-4）（x-4）+（y-m）（y-n）=0

即（x-4）2+y2-（m+n）y+mn=0，由此可得：（x-4）2+y2-（m+n）y-12=0

若y=0，則（x-4）2-12=0，即x=4±2 3

因此，將MN作為直徑的圓過的定點為（4±2 3 ，0）。

由上可知，在對該類型的試題進行解決時，需注意M，N為右準線上的兩個動點，且注重AM ·BN =0的有效利用。動圓是M，N所引起的，因此，通過M，N的坐標對“動因的量”進行表示，由于其涉及兩個參數，就會聯想到兩個參數之間的關系。

三、 求定值問題

定值問題通常是于運動變化過程中尋找出不變量問題，其基本思想就是通過參數對需要解決的問題進行表示，并證明需解決的問題和參數沒有關系。該類試題當中，最關鍵的就是消元的選擇方向。對定值有關問題進行解決的時候，通常包含兩種思路，即（1）根據符合題意的狀況找出特殊狀況，并計算出需求取的值。之后，在知道最后的答案的狀況下，對所求值和標量之間無關進行證明。例如，在對三角形面積進行計算時，通常是在符合題意的狀況下，假設三角形是直角三角形等類似的特殊三角形，對其面積進行計算，然后再進行面積的計算。（2）直接根據題意，對條件進行轉化，并計算出求取的值，最后通過化簡變形，設求取的值和變量沒有關系。

例3：已知曲線C方程是： x2 4 + y2 3 =1，A是曲線C上的一個點，其坐標是（1，3/2），E，F為曲線C的動點，若存有KEF+KAE=0，求證：EF斜率是個常數，且求出該常數的實際值。

解：設直線AE方程是：y=k（x-1）+ 3 2 （k≠0），

由 x2 4 + y2 3 =1與y=k（x-1）+ 3 2 相聯立，消去y后可得：

（4k2+3）x2+（12k-8k2）+4? 3 2 -k 2-12=0，則可知xE= 4（ 3 2 -k）2-12 （4k2+3）xA = 4k2-12k-3 4k2+3? ①

將式①當中的k替換成-k，可得：xF= 4k2+12k-3 4k2+3? ②

因此，kEF=（yF-yE）/（xF-xE）=-k（xF+xE）+2k/（xF-xE）

將式①，②代入到kEF=（yF-yE）/（xF-xE）=-k（xF+xE）+2k/（xF-xE）當中，可得kEF=1/2，因此，EF斜率是個常數。定值問題主要是在運動與變化過程中找出不變量，其基本思路主要是運用參數對需要解決的問題進行表示，并證明需解決的問題和參數毫無關系。

四、 結語

綜上所述，對定點、定值問題進行解決的方式需通過對特殊值、極端位置進行考查，探索出具體“定值”，然后再開展一般性的計算或者證明;另外的方法則是將問題所涉及的幾何式轉變成三角形式或者代數式，并對該式為恒定的進行證明。如果類似的試題是通過客觀題的形式呈現，通常更適用于特殊的方法進行解決。

參考文獻：

[1]秦宜菊，楊會.有關圓錐曲線一類定值及定點問題的再研究[J].中學數學教學參考，2019（16）：52-53.

[2]孟弦.圓錐曲線中一類定點問題的探究[J].中學數學研究（華南師范大學版），2019（9）：42-43.

作者簡介：

葉偉飛，浙江省臨海市，浙江省臨海市大田中學。