例談含參二次函數最值問題的求解策略

李明剛

摘要：閉區間上二次函數的已知最值求參數問題最基本的求解策略是：利用數形結合的方法，對圖像的對稱軸與自變量取值范圍的位置關系進行分類討論。借助此策略，具體解決“定范圍動軸”問題和“動范圍定軸”問題。

關鍵詞：二次函數 參數 最值 分類討論

二次函數的最值問題，尤其是閉區間上的最值問題，無論是已知二次函數求最值，還是已知最值求（二次函數中的）參數，都是中考的一個熱點。原因在于其能夠綜合的內容比較多，也足夠復雜。

對于閉區間上的二次函數y=c（x-m）2+n（a≤x≤b），已知參數求最值，較為簡單;而已知最值求參數，則讓很多學生頭疼。其實，后者（即含參二次函數的最值問題）最基本的求解策略是：利用數形結合的方法，對圖像的對稱軸與自變量取值范圍的位置關系進行分類討論。一般地，可以分對稱軸在自變量取值范圍的左側（m≤a）、中間（a

下面，對此類問題的求解策略，分“自變量的取值范圍給定（不含參），圖像的對稱軸變化（含參）”“圖像的對稱軸給定（不含參），自變量的取值范圍變化（含參）”兩種常見題型，具體舉出無現實背景和有現實背景的例子來充分說明情況。

一、“定范圍動軸”問題

例1（2018年濰坊市中考數學卷第9題改編）已知二次函數y=-（x-h）2（h為常數），當自變量x的值滿足2≤x≤5時，函數值y的最大值為-1，則h的值為。

根據上述求解策略，分三種情況討論：

（1）當h≤2時，可得當x=2時y取最大值，即有-（2-h）2=-1，解得h1=1，h2=3（舍去）;

（2）當2

（3）當h≥5時，可得當x=5時y取最大值，即有-（5-h）2=-1，解得h3=4（舍去），h4=6。

綜上，h的值為1或6。

例2（2017年揚州市中考數學卷第27題改編）農經公司以30元/千克的價格收購一批農產品進行銷售，為了得到日銷售量p（千克）與銷售價格x（元/千克）之間的關系，經過市場調查獲得部分數據如表1。若農經公司每銷售1千克這種農產品需支出a元（a>0）的相關費用，當40≤x≤45時，農經公司日獲利的最大值為2430元，求a的值。（日獲利=日銷售利潤-日支出費用）

表1

銷售價格x（元/千克）3035404550日銷售量p（千克）6004503001500解答本題，首先要根據題意，得出日獲利w與銷售價格x之間的函數關系式。為此，可以先根據表1，得到日銷售量p與銷售價格x之間的函數關系式p=-30x+1500，再根據日獲利=日銷售利潤-日支出費用，得到w=p（x-30）-pa=（-30x+1500）（x-30-a）=-30x2+（2400+30a）x-（1500a+45000）。其圖像的對稱軸方程為x=-2400+30a2×（-30）=40+12a。

接下來，根據上述求解策略，分三種情況討論：

（1）當40+12a≤40時，a≤0，與題意不符;

（2）當40<40+12a<45時，0<a<10，可得當x=40+12a時w取最大值，即有3014a2-10a+100=2430，解得a1=2，a2=38（舍去）;

（3）當40+12a≥45時，a≥10，可得當x=45時w取最大值，即有2250-150a=2430，顯然與題意不符。

綜上所述，a的值為2。

二、“動范圍定軸”問題

例3（2018年黃岡市中考數學卷第6題改編）當m≤x≤n時，函數y=x2-2x+1的最小值為1，最大值為4，求m、n的值。

根據上述求解策略，分三種情況討論：

（1）當m≥1時，可得當x=m時y取最小值，當x=n時y取最大值，即有（m-1）2=1，（n-1）2=4，解得m1=2，m2=0（舍去），n1=3，n2=-1（舍去）;

（2）當m<1

（3）當n≤1時，可得當x=m時y取最大值，當x=n時y取最小值，即有（m-1）2=4，（n-1）2=1，解得m1=-1，m2=3（舍去）;n1=0，n2=2（舍去）。

綜上，m=2，n=3或m=-1，n=0。

例4（2018年福建省中考數學A卷第23題改編）如圖2，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN。某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN。已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄。若矩形菜園ABCD面積的最大值為1200平方米，求a的值。

解答本題，首先可設AD=x m，根據題意得到矩形面積S=x100-x2=-12（x-50）2+1250（m2）。根據題意可得：

（1）若a≥100，則0

（2）若0

①當50

②當0

綜上，a=40。