數學學習信息應從“表面化”走向“數學化”

曾嫻秋

摘要：數學學科的學習信息，應從表面化走向數學化。對《長方形和正方形的面積》一課進行觀察與分析，發現教師在處理學習信息的嘗試上有缺失：數據分析泛化，歸納類比不夠;算式因果簡化，數學含義不清;幾何直觀窄化，推導抽象不達;應用意識淡化，實踐感悟不實。教師對學習信息的處理，需重視初始信息、強化過程信息、鼓勵“學”的信息。

關鍵詞：學習信息 表面化 數學化 《長方形和正方形的面積》

數學學科的學習信息，可分為表面化信息和數學化信息。表面化信息是指學生對所學內容的表層認知，是在已有知識的基礎上對新知識的猜測、推想，是沒有經歷科學證明的信息。表面化信息亦指教師一教就會、學生一學就對的缺乏思考性的信息。表層認知往往無法深入知識本質，容易遺忘，也難以運用。數學化信息是指，學生對課堂內容從數學的角度去探索，以數學的眼光來審視，用數學的方法研究獲得的科學的數學信息。數學化信息體現了數學的實質，它是通過具體情境在客觀現實背景中抽象出的數學問題，在構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程中所產生的信息。數學化信息，是學生在充足的時間和空間中，經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程產生的。數學學科的學習信息，應從表面化走向數學化。關于數學學習信息，教學中存在哪些誤區？如何改進？我們借助課堂觀察展開研究。

一、量表編制與課例確定

學生的學習信息能否從表面化走向數學化，關鍵在于教師是如何對信息加以干預、處理的。我們將本次課堂觀察的主要內容確定為：（1）學生的初始信息;（2）教師如何處理初始信息;（3）如何更好地促使表面化信息數學化。據此，編制觀察量表（見下頁表1）。

由于處于疫情“停課”階段，我們回顧了去年Z老師執教的蘇教版小學數學三年級下冊《長方形和正方形的面積》第一課時（40分鐘），找出了當時留存的筆記和錄音。根據這些資料，對課堂教學進行匯集、整理、反思。本次課堂觀察共有8位教師參與，按不同的學習內容分配觀察內容，2位教師為一組，搜集例證，將學生的初始信息以及教師的處理過程記錄下來。

二、觀察發現與分析

從課堂上的一些例證中我們發現，Z老師努力加工、處理學生的初始信息，做了一些可貴的嘗試，但整體上仍存在缺失。下面，圍繞課堂所見，逐一分析。

（一）數據分析泛化，歸納類比不夠

教師提供了數量充足的小正方形，讓學生擺長方形，邊擺邊在學習單的表格（見表2）中記錄相關數據，再次感知小正方形個數與長方形面積之間的關系，探究長方形面積和長與寬的關系。

學生順利完成任務后，教師指名3位學生回答。教學片段如下：

生（第一位學生）我擺的長方形，它的長是用3個1平方厘米的小正方形擺的，寬是用2個1平方厘米的小正方形擺的。這個長方形用了6個小正方形，面積是6平方厘米。

師你是怎么知道這里有6個小正方形的？

生可以數一數，也可以用長乘寬來計算。

師可以用一個算式來表達嗎？

生3×2=6。

生（第二位學生）我這個長方形，寬用了2個邊長1厘米的小正方形擺，長用了5個，共有10個，面積是10平方厘米。

師也請你用一個算式來表示。

生5×2=10。

生（第三位學生）我的由7個小正方形組成，長是7厘米，寬是1厘米，面積是7平方厘米。

師小正方形的總個數用算式怎么表達？

（學生思考。）

師（出示表3）比較三組同學擺的長方形，你知道小正方形的總個數可以如何計算嗎？

生總個數=長×寬。

師這里的長和寬分別表示什么？

生長表示每排的個數，寬表示有幾排。

師小正方形的個數=每排的個數×排數。

生那就不需要一個一個地數了。

師觀察數據，你們還有什么發現？

（教師帶領學生觀察后兩列的數據。）

生有多少個小正方形，面積就是多少。

師還有什么發現嗎？

生長×寬=長方形的面積。

師（板書：小正方形的個數=每排的個數×排數=長方形的面積）長方形的面積與小正方形的個數相關，與長方形的長和寬有關。

在上述教學中，教師面對學生呈現的表面化信息，做了兩次引導：第一次，讓學生用算式來表達小正方形的個數;第二次，詢問學生有什么發現。這里，教師幫助學生梳理信息，引導學生觀察數據、用算式來描述，是將表面化信息轉化為數學化信息的一種嘗試。

教師根據學生表格中的初始信息，引導學生填寫小正方形的個數時，反復讓學生列算式表達，旨在讓學生明白：可以通過每排的個數乘排數來快速計算，而不需要一個個地數個數。此處，教師力圖將學生表面化的數格子轉向數學化的簡便計算，符合數學學習從具體到抽象的邏輯過程。但是，綜觀全班學生所擺的情況，由于學生急于擺出簡單的長方形，他們使用的小正方形個數并不多，所以，計算的便利未必勝過數一數。我們認為，學生此處的體驗并不深刻。那么，何不拋出一個數據較大的長方形呢？這樣，“用算式來表達”就不需要教師屢屢提醒了。在我們力圖更好地處理初始信息以促使其數學化的過程中，要時刻注重數學學習中的特殊性，選取更有說服力的數據來刺激學生體悟。

（二）算式因果簡化，數學含義不清

在上述片段中，我們在未被指名回答的學生中還發現了關于算式位置的不同信息（圖1、圖2是兩個典型示例）。

學生所寫的算式位置錯誤或不明確，這樣的學習信息也應該被重視。教師可以組織學生探討，如算式的意義是什么、寫在何處更合適，從而厘清長方形面積公式的推導過程：因為長方形的面積和小正方形的個數有關，個數可以通過每排的個數乘排數來計算，所以，長方形的面積“才可以”用長乘寬來計算。從這幾個算式透露的表面化信息來看，教師應當讓學生用數學化的語言來表達其背后的意義。

（三）幾何直觀窄化，推導抽象不達

教師請學生用小正方形來測量兩個長方形的面積。在測量第一個長方形的面積時，學生展示了兩種方法：

學生展示擺法（如圖3），并介紹：“我每排擺了4個，擺了3排，一共有12個小正方形。所以面積是12平方厘米。”在教師的提示下，學生列出算式：4×3=12。

學生展示擺法（如圖4），并介紹：“我直接把第一排，也就是長這邊擺了4個，又把寬這邊擺了3個。一共是12個?！苯處煛百|疑”：“哦，你并沒有全部鋪滿呀！那你怎么知道是12平方厘米？”學生解釋：“因為我們可以直接算4×3=12。”“也就是說，你直接想到了這個算式?！?/p>

從學生生成的初始信息中，我們能夠發現，部分學生對客觀世界持謹慎態度，他們相信眼見為實;而部分學生的抽象能力較強，他們在具象操作的過程中，已經知道如何利用數學化的手段進行簡化。

我們觀察到，教師在處理這些表面化信息時，反復提醒學生用算式來計算。可見，教師迫切希望學生明白：在之后的學習中，我們不能一直用正方形來擺，必須學會通過更簡潔的計算來解決問題，需要用數學的方法來解決問題。可是，教師屢次灌輸式地“讓學生列算式”，并未讓學生真正產生用計算的方法來解決問題的內驅力。

那么，如何才能更好地優化這些初始信息呢？不妨嘗試讓學生對兩種方法展開“辯論”，讓兩種方法的支持者各自說說所支持方法的優勢。相信學生通過探討，會看到第二種方法的簡捷性。學生在擺的時候，力圖快速、簡潔。那么，如果不擺呢？能解決嗎？支持第一種方法的學生自然而然地就能理解支持第二種方法的學生所說的“我們可以直接算4×3=12”了。倘若還是有學生固執己見，教師可再呈現一個長和寬的長度都更長的長方形，讓其擺一擺，定能激發學生“偷懶”的想法，最終信服。

（四）應用意識淡化，實踐感悟不實

當教師問“如果想知道課桌面面積大小，需要什么條件”時，學生回答：“需要1平方分米的正方形，要知道1平方分米的正方形內有多少個1平方厘米的小正方形。”教師認為，1平方分米=100平方厘米并非此題要點，便忽略了這一信息。

教師在遇到信息不知道該如何處理時，應當多給予學生機會，讓其具體說說想法。我們之所以問及課桌面面積大小如何測量，是希望學生能夠根據具體事物選擇相對應的面積單位，明白具體問題具體分析。如果教師能抓住學生這一看似無用的信息，“將計就計”，故意“為難”一下學生，讓其用1平方厘米的正方形擺一擺或畫一畫，學生必然能感受到：選擇1平方分米的計量單位更為合適。

三、思考與啟示

教師如何對學習信息加以處理，促進其從表面化向數學化邁進？如何避免那些看似專業實則不當的誤區呢？結合對本節課的觀察，我們有以下思考與啟示：

（一）需重視初始信息

教師在備課時，不僅會備學習內容，還經常會預設學生的學習情況。上課時，如果學生的回答“正中下懷”，教師往往不勝歡喜;如果學生的回答差別甚遠，教師往往會掉入誤區，生搬硬套自己的觀點，甚至直接屏蔽學生的初始信息。例如，本節課一開始，教師提問：長方形的面積和什么有關？學生回答：和長與寬有關。此時教師由于只想得到長方形的面積與單位面積小正方形的個數有關，便忽略了這一學習信息，直接進入了預設內容。

重視初始信息的前提是發現初始信息，這就需要教師學會傾聽，在傾聽的基礎上，分析學生對所學內容的思考和理解。真正的傾聽，其標志是：教師聽后所講的與學生所述的是息息相關的。在學生回答之后，教師的講，應該是順水推舟的“接著說”，而不是另起爐灶的“重新說”。專業的“發現”，是基于學生的想法又能提升學生的想法。

（二）需強化過程信息

在教學中，每節課的每個環節，都會設定目標。例如，本節課中，教師先讓學生知曉，要求任意圖形的面積只需知道其含有多少個單位面積;再讓學生明白，正方形的個數=每排的個數×排數;最后，完善結論：正方形的個數=長方形的面積=長×寬。每一個環節似乎都滴水不漏，層層推進。但整節課，教師扶得太多太細，目標過于清晰，過于想要學生給出這些結果信息。

我們面對的是鮮活的個體，如果把每一個結果都框定了，就無法暴露學生真實的學習信息，尤其是過程信息。學生唯有在不斷經歷試錯、思考、改進、再思考的過程中，才能形成數學化的思維。

（三）需鼓勵“學”的信息

很多時候，教師對課堂的原有認知根深蒂固，無法解放學生，習慣了滔滔不絕、不斷去“教”。例如，本節課中，在測量長方形的面積時，教師時不時提醒學生用計算的方法來測量。這樣的“教”容易說、容易記，卻沒有發現，學生的記憶始終停留在頭腦表層，并不穩固。

我們應當讓學生通過比較，自己發現測量方法的優劣。只有自己“學”，用自己分析的證據、依據說服自己，才能從內心認可這種方法，在遇到同類問題時，才會選擇這一方法。而教師，應當鼓勵學生去“學”，去探索，去感悟。如此，這些“學”來的信息才能達到它的最優值。