梳齒結構與振動梁復合的硅微諧振式加速度計非線性振動特性

劉夢霞，趙前程，崔 健

(北京大學 微電子研究所 微米/納米加工技術國家級重點實驗室，北京 100871)

1 引 言

諧振式加速度計是高精度加速度計的重要方向之一。基于石英晶體材料的諧振式加速度計以其高穩定性和可靠性等優點在過去的30年里取得了巨大的商業成功。隨著越來越多的微型化應用需求，石英諧振式傳感器在體積縮小方面面臨著一定的挑戰[1-2]。硅微諧振加速度計(Silicon Micro-Resonator Accelerometer，SRA)體積小、成本更低且易與專用集成電路(ASIC)進行集成，從而成為高精度加速度計領域的主流方向。SRA通過檢測由施加在諧振梁軸向方向的慣性負載力引起諧振梁的頻率變化來檢測外部加速度， 具有直接數字輸出，易于集成到數字系統，信號傳輸抗干擾性好和成本低等優點[3]。

隨著器件體積的不斷縮小，輸出信號中的噪聲干擾會變得非常大，通常需要增大振動幅度以提高信噪比[4]。然而，隨著振幅變大，諧振梁將進入非線性振動區域，在該區域中振幅和諧振頻率產生耦合，導致幅度噪聲轉換為頻率噪聲，降低了信噪比和穩定性[4-7]。通過對諧振梁的非線性振動仿真分析，可以快速獲得頻率與振幅的關系，有利于SRA的優化設計。振動非線性可來源于靜電負剛度效應和機械效應[4-10]。 若諧振器的驅動電容為壓膜結構，則需要同時考慮靜電負剛度效應和機械效應。若驅動電容為滑膜結構，只需要考慮機械剛度帶來的非線性效應。

本文針對課題組所設計的基于梳齒結構與振動梁復合的SRA進行了仿真與實驗分析[11-12]。通過COMSOL仿真軟件對諧振器進行模態仿真，得到諧振器的理想工作狀態下的諧振頻率。在模態仿真的基礎上，改變邊界條件對諧振梁進行進一步的非線性仿真分析，從而得出線性系數和非線性三次系數keff和k3，eff的理論值。接著進行非線性實驗測試，對設計出來的SRA進行了掃頻分析，研究其A-f(振幅與頻率關系)效應，同時得出k3，eff和keff的比值關系。仿真結果與實驗結果吻合得較好，印證了仿真方法的有效性和測試數據的可靠性。對非線性振動的研究，有利于對滑膜結構硅諧振加速度計的結構上和電路的優化。

2 原理及分析

2.1 工作原理

該SRA采用滑膜梳齒結構作為雙端固支音叉(Double-end Fixed-duty Tuning Fork，DETF)的驅動電容。圖1為DETF結構的示意圖，其尺寸參數如表1所示。相比于傳統的機翼型梳齒，這種結構有著更小的質量塊，故而有著更大的標度因子和更高的諧振頻率[11-12]。這種無附加質量塊、梳齒為滑膜結構的DETF的驅動電容與振幅的二階求導為0，即靜電剛度為0，因此本文中僅需考慮機械效應帶來的非線性影響，無需考慮靜電負剛度。該MEMS器件采用北京大學微米/納米加工技術國家級重點實驗室標準的硅-玻璃(SOG)工藝，利用陽極鍵合使得硅與玻璃結合在一起，通過深反應離子刻蝕(DRIE)對結構層進行釋放。如圖2所示，SRA主要由質量塊、DETF、微杠桿和支撐結構構成。當器件工作時，兩邊的DETF通過電容驅動使得諧振梁諧振在本征頻率下。此時，若在檢測方向上有加速度，質量塊會使得左右兩邊的DETF分別受到軸向的壓力和拉力，使工作頻率發生改變。檢測梳齒檢測到兩邊DETF的頻率差從而得出加速度的大小。當DETF工作在線性區時，振幅與驅動力成正比。然而，隨著振幅增大，諧振梁更容易受到兩端錨點所引起的軸向拉力影響，非線性三次項系數k3，eff不能被忽略，使得工作頻率受振幅影響產生偏移。

圖1 雙端固支音叉結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of double-end fixed-duty tuning fork

表1 雙端固支音叉尺寸參數
Tab.1 Dimensional parameters of double-end fixed-duty tuning fork

參 數數 值諧振梁長度L/μm600諧振梁寬度w/μm5.5結構厚度h/μm60梳齒寬度wc/μm5梳齒長度lc/μm50質量塊面積S/mm249.1

圖2 諧振加速度計示意圖Fig.2 Schematic diagram of resonant accelerometer

2.2 模態分析

DETF工作在非線性時頻率的變化與本征頻率和非線性系數有關。首先用仿真軟件對DETF進行模態分析，求得工作模態下的理想本征頻率。根據版圖尺寸在COMSOL軟件進行DETF模擬，研究SRA的模態與特征頻率，其仿真結果如圖3(a)～3(f)所示。表2為各個模態所對應的特征頻率。其中，第一和第二階分別為平面內同向和反向的橫向振動。第三和第四階分別為平面內同向和反向的扭動振動。第五和第六階分別為同向和反向的離面扭動振動。本文選取第二階振動模態作為工作模態，其特征頻率為92 791 Hz。

(a)第一階模態，頻率為92 629 Hz(a)First mode with characteristic frequency of 92 629 Hz

(b)第二階模態，頻率為92 791 Hz(b)Second mode with characteristic frequency of 92 791 Hz

(c)第三階模態，頻率為259.58 kHz(c)Third mode with characteristic frequency of 259.58 kHz

(d)第四階模態，頻率為262.39 kHz(d)Forth mode with characteristic frequency of 262.39 kHz

(e)第五階模態，頻率為500.09 kHz(e)Fifth mode with characteristic frequency of 262.39 kHz

(f)第六階模態，頻率為500.74 kHz(f)Sixth mode with characteristic frequency of 500.74 kHz圖3 雙端固支音叉的第一到第六階模態Fig.3 First mode to sixth mode of double-end fixed-duty tuning fork

表2 各模態對應的特征頻率Tab.2 Characteristic frequency corresponding to each mode

2.3 非線性分析

在獲得理想的本振頻率后，本文進一步仿真以獲得理想的線性系數keff和非線性三次項k3，eff的值。在非線性區，當考慮非線性三次項k3，eff，驅動力P與位移x的關系如下：

P=keffx+k3，effx3.

(1)

基于式(1)，用施加靜載荷的方法對諧振梁進行仿真分析。 此方法通過施加靜載荷于諧振梁的振動方向，可以快速有效地得出位移與靜力的關系，從而得出keff和k3，eff的值。如上節所述對模態仿真分析后，改變DETF的邊界條件，勾選軟件中的非線性條件，計算位移與驅動力之間的關系。仿真分析的總體步驟如圖4所示。

圖4 COMSOL仿真流程Fig.4 Flow chart for COMSOL simulation

圖5為非線性仿真結果，從中可以得出驅動力與位移的關系。keff和k3，eff的仿真值分別是231.60 N/m 和4.94×1012N/m3，計算得出k3，eff和keff的比值為2.13×1010m-2。

圖5 仿真結果中驅動力與位移的關系

Fig.5 Relationship between driving force and displacement in simulation

在工作模式處于線性振動時，驅動電容驅動梳齒，使諧振梁在諧振狀態下工作。在忽略阻尼時，可以得到：

(2)

當考慮非線性三次項k3，eff時， 振動方程可用杜芬方程描述[13]：

(3)

假設方程的解為：

x(t)=x0+x1cosωt+x2cos 2ωt+x3cos 3ωt+x4cos 4ωt+….

(4)

結合式(2)～式(4)可以得到：

(5)

因為式(5)中第二項為小量，故而可以近似為[13-15]：

(6)

如式(6)所示， 頻率與位移呈非線性關系，頻率受振幅影響發生偏移。

3 實 驗

圖6為SRA結構的電鏡圖像，測試電路如圖7所示，其中測試圖的上方為幅值變化圖，下方為相位變化圖。CH1，CH2，CH3，CH4分別為左右兩端的信號輸入和信號輸出接口，PCB板的尺寸為50 mm×55 mm。諧振加速度計為器件級真空封裝。先后對硅諧振加速度計左右兩邊的諧振梁進行頻率掃描，頻率分別為93 070～93 110 Hz和92 810～92 850 Hz，掃描結果如圖8所示。圖8(a)是硅諧振加速度計左側的諧振梁掃頻結果，圖8(b)是硅諧振加速度計右側的諧振梁掃頻結果。圖中驅動電壓分別為0.6，1.8，3.0，4.0，5.0 mV。從掃描結果可以看出，對于左側諧振梁，工作頻率約為93 087 Hz；對于右側諧振梁，工作頻率約為92 830 Hz。當驅動電壓為0.6 mV時，兩邊的諧振梁都工作在線性區；而當驅動電壓分別為1.8，3.0，4.0，5 mV時，兩邊的諧振梁都已經工作在非線性區域，諧振頻率發生偏移。并且可以看出，驅動電壓增大，頻率偏移量也隨著增大。

圖6 SRA結構電鏡圖像Fig.6 SEM image of SRA structure

圖7 真空封裝SRA測試電路Fig.7 Test circuit for vacuum sealed SRA

(a)左邊諧振梁在不同驅動電壓下的掃頻曲線

(a)Frequency sweep curve of left resonant beam at different driving voltages

(b)右邊諧振梁在不同驅動電壓下的掃頻曲線

(b)Frequency sweep curve of right resonant beam at different driving voltages

圖8 掃頻測試結果 Fig.8 Result of frequency sweeping 表3 左邊諧振梁實驗測試數據Tab.3 Experimental test data of left resonant beam

表4 右邊諧振梁實驗測試數據Tab.4 Experimental test data of right resonant beam

表3和表4分別為左右兩邊諧振梁閉環測試數據。改變諧振器不同的輸入電壓得到不同的工作頻率和輸出電壓，利用輸出電壓可算得諧振梁的振幅。將諧振梁的工作頻率和振幅關系繪制成二維圖，如圖9所示。其中，圖中實點為實驗數據，曲線為擬合結果。如圖所示，當增加驅動電壓，也就意味著增大振幅Xm，工作頻率也會增大，這是由于Xm增大時k3，eff不能夠再被忽略。圖9(a)和圖9(b)分別為左右兩邊諧振器工作頻率與振幅的關系曲線。通過使用多項式最小二乘擬合法擬合實驗數據，得到兩邊k3，eff和keff的比值分別為 2.24×1010m-2和2.19×1010m-2。

(a)左邊諧振梁 (a)Left resonant beam

(b)右邊諧振梁 (b)Right resonant beam圖9 諧振梁工作頻率隨振幅的變化Fig.9 Characteristic frequency of resonant beams varies with amplitude

4 對比分析

(a)左邊諧振梁 (a)Left resonant beam

(b)右邊諧振梁 (b)Right resonant beam圖10 實驗與仿真數據曲線Fig.10 Experimental and simulation curves

通過上述實驗及仿真，可以得出諧振器的線性工作范圍在35.4 nm以下。為了提高器件的性噪比，需要增大DETF的線性振動區。為探討DETF幾何尺寸對結構非線性的影響，使用上文所描述的施加靜力載荷的方法，改變DETF的長度L和寬度w，對DETF進行非線性仿真分析，結果如圖11所示。在圖11(a)中，當諧振梁的梁長L由600 μm增大到800 μm，工作頻率下降，非線性三次項系數k3，eff與線性系數keff的比值由2.13×1010m-2降低到1.87×1010m-2，非線性得到一定的改善。如圖11(b)所示，當增大諧振梁的寬度w時，其工作頻率會增大，k3，eff與keff的比值呈下降趨勢，由2.13×1010m-2下降到1.23×1010m-2，非線性得到一定的改善。圖11(c)則是同時改變長度L和寬度w時的A-f關系曲線。可以看出，當L為600 μm，w為5.5 μm時，非線性效應最為明顯；而當L為800 μm，w為7.5 μm時，非線性效應最不明顯，此時兩系數的比值為1.10×1010m-2。上述仿真工作有助于優化諧振梁結構，以減弱非線性效應。

(a)增大長度L時的A-f關系曲線 (a)A-f curves with length L values increasing

(b)增大寬度w時的A-f關系曲線 (b)A-f curves with width w values increasing

(c)不同L和w下的A-f關系曲線 (c)A-f curves with different lengths and widths圖11 不同尺寸諧振梁振幅與位移的仿真結果Fig.11 Simulation results of vibration amplitude and displacement of resonant beams in different sizes

5 結 論

由于硅諧振加速度計驅動電容采用的是滑膜結構，電容對位移的一次求導為常數，靜電剛度為0，因此對于此種結構的諧振加速度計并不需要考慮靜電效應對非線性的影響。首先，使用有限元軟件對諧振梁進行建模仿真分析，得出非線性三次項k3，eff與線性項keff的理論值。進一步基于杜克方程對諧振器進行了數值分析，從公式推導上得出頻率與振幅的非線性關系。同時對制備出來的硅諧振加速度計進行了掃頻實驗測試，實驗和仿真的誤差分別是5.2%和 2.8%。實驗曲線與仿真結果吻合得較好，這印證了仿真方法的有效性和測試數據的可靠性。改變諧振梁的結構幾何參數，用本文中的施加靜載荷仿真方法，可以快速地看出尺寸對非線性效應的影響。上述對非線性特性的分析有助于優化器件的結構和電路。