從“學會”到“會學”
——以《三位數乘兩位數》教學為例

鐘 立

學會和會學，雖然僅僅是字序顛倒，但對于學生的學習結果以及學習的過程來說，意義和價值是不一樣的。學會，簡單地說就是學生通過各種方式的學習獲得知識或掌握技能，側重的是知識的獲得，即知識的增量有多大。而會學，關注的是知識獲得的過程，是指學生主動參與學習，發現知識，建構知識。陶行知先生曾經說過：“我以為好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學。”這一精辟的見解深刻地揭示了教師的責任不僅在于使學生“學會”，更重要的是讓學生“會學”。

三位數乘兩位數的計算方法與兩位數乘兩位數的計算方法，在算理和算法上都是一致的，不同的僅僅是一個因數由兩位數變成了三位數。所以，學習三位數乘兩位數應建立在學生已有知識經驗基礎上，讓學生獨立探索，將兩位數乘兩位數的方法自主遷移到三位數乘兩位數中，進而概括出多位數乘兩位數的一般計算方法。

學生在計算三位數乘兩位數時，會基于各自經驗，探索出不同計算方法，既可以采用橫式計算，也可以采用豎式計算。另一方面，整數筆算乘法，都是用一個因數個位上的數乘另一個因數，再用十位上的數乘另一個因數……以此類推，再把乘得的積相加。遵循這樣的方法，多位數的乘法總是可以進行下去，體現了算法機械化思想。機械化思想，就是解決問題時可以按照一定的程序機械地、按部就班地一步一步實施下去，經過有限步驟后就可以得到問題的解。需要特別強調的是在當今時代，算法機械化思想有著特別重要的意義，不僅可以提高計算的學習效率，而且讓學生經歷從問題出發，經過分析與綜合，形成概念與方法，并上升到理論階段，精煉成極少數一般性原理的過程，以這樣的思維經驗可進一步應用于多種多樣的不同問題。

一、理解算理，探索算法

曹培英老師在《數學課程標準》核心詞的實踐解讀中曾指出，算理與算法是構成運算能力的兩翼。在計算教學中，要實現算理與算法的有機融合，讓學生遵循著算理去發現算法與駕馭算法。

1．簡要回顧已學知識。

師：下面有兩個問題，請輕聲讀一讀，說說你打算怎么解決？

（1）王阿姨從某城市乘火車去北京用了2小時，火車每小時行145千米，該城市到北京有多少千米？

（2）丁叔叔騎摩托車一共騎行了12小時，摩托車每小時行45千米，丁叔叔一共騎行了多少千米？

生1：（直接口算出結果）145×2=290（千米）。

生 2：45×12。

師：這兩個算式分別表示什么意思？

生：第一道題求2個145千米是多少，第二道題求12個45千米是多少。

師：像這樣求幾個幾是多少，可以用乘法解決。145×2、45×12，任選一題，算一算。

師：誰來說說這兩道題是怎么算的？

生：先用因數個位上的數乘另一個因數，再用十位數上的數去乘，再把積相加就可以了。

師：看來同學們對三位數乘一位數、兩位數乘兩位數的知識掌握得很好。今天我們要學習三位數乘兩位數，你們是想自己探索，還是老師講你們聽？

生：自己探索。

2.自主探索算理算法。

師：好。先看下面的問題：如果李叔叔從某城市乘火車去北京用了12小時，火車每小時行145千米。該城市到北京有多少千米？你打算怎樣解決？

生1：可以把12拆成10加2，分別乘以145再相加。

生2：可以用豎式進行計算。

師：同學們都很會思考，說出了自己的想法。下面我們試著算一算，結果到底是多少？

生 1：145×2=290（千米），145×10=1450（千米），1450+290=1740（千米）。

師：這兩位同學怎么算的，你們看懂了嗎？誰來說說他們的計算有什么相同的地方？有什么不同的地方？

生：相同的都有 10×145=1450，2×145=290，290+1450=1740。不同的是一個是橫式計算，另一個是豎式計算。

師：是的，無論橫式計算還是豎式計算，都有 2×145=290，10×145=1450，290+1450=1740。它們都算出了相同的結果，你們有沒有發現這兩種算法之間有什么聯系呢？

生：（指著算式）橫式的第一步就是豎式計算的第一步，橫式的第二步就是豎式計算的第二步，橫式的第三步就是豎式計算的第三步。

師：看來你們都有一雙火眼金睛，找到了它們的相同點，或者說是聯系點。另外，老師想問在豎式計算時要注意什么？

生：用十位上的1乘145時，其實是用10×145，得到的積是1450。

師：所以這里的5要寫在什么位上？

生：十位上。

師：看來大家都很肯定。那老師有一個疑問，為什么我沒教，你們都會算了呢？

生：（隨口而出）方法跟前面的一樣。

師：一樣嗎？你理解嗎？誰來說說哪里一樣？

生：都是先用個位上的數去乘，再用十位數上的數去乘，再把積相加就行了。

3．縱橫比較算法遷移。

師：會算沒有什么了不起，更重要的挑戰是要找到新舊知識間的聯系。這里有兩組題，你們比較一下。

師：先看第一組，45×12、145×12，這兩個豎式計算有什么相同和不同？

生：都有12×45，不同的是第二個要多乘一個1。

師：要多乘哪位上的1？

生：百位上的1。

師：這里多了百位上的1，怎么乘呢？

生：也要乘12。

師：多出來的結果在哪里？

生：多了200，又多了1000，合起來是1200。

師：你能把200、1000圈出來嗎？（圈出了百位上的2與千位上的1）你們想的跟他一樣嗎？

生：一樣。

師：再看第二組：145×2、145×12，這兩個豎式計算有什么相同和不同？

生：都有2×145，不同的是多了十位的1也要乘145。

師：多出來的結果在哪里？請圈出來。

生：（圈一圈）多了145，從十位上寫起。

師：同學們真有辦法，能用前面學過的知識解決新的問題，看來你們真的會學會用了。誰來說說三位數乘兩位數可以怎么算？

生：三位數乘兩位數，先用因數個位上的數乘另一個因數，再用因數十位數上的數去乘另一個因數，再把積相加。

師：這與我們前面學習的三位數乘一位數、兩位數乘兩位數的計算方法相比，怎么樣呢？

生：一樣。

二、深化認知，體驗“機械化”

“所謂機械化，無非是刻板化和規格化。”這是我國著名數學家吳文俊先生對機械化思想的解釋。他認為數學中的某些腦力勞動也可以機械化，即在運算與證明過程中，每前進一步后，都要有一個確定的、必須選擇的下一步，這樣沿著一條有規律的、刻板的道路，一直達到結論。整數筆算乘法正是體現了這一點。

1．異中有同深化認識。

師：請算一算124×36、36×124。（學生計算）

師：老師看到有些同學只算了一道題，有些同學算了兩道題，你們是怎么想的？

生：124×36、36×124 只是交換了位置，結果是一樣的，不用再算了。

師：是嗎？你能舉個例子證明嗎？

生：比如，3乘2與2乘3是一樣的。

師：看來與加法交換律差不多，這是我們以后要學習的乘法交換律，交換兩個乘數的位置，它們的積不變。

師：那如果一定要計算36×124，怎么算？

生：先用4乘36，再用2乘36，最后用1乘36，再把積相加。

師：這位同學算的過程跟你說的一樣嗎？（出示豎式）

生：不對，百位上的1乘36得3600，6要寫在百位上。

師：那6寫在百位上，得到的積是4464，這樣對了嗎？

生：對了。

師：124×36與36×124相比，在計算時一個要算兩步，一個要算三步，但是有相同的地方嗎？

生1：相同的地方，都是要一個一個地去乘，再把積相加。

生2：乘到哪一位，積的末位就寫在哪一位上。

2．構建模型感悟“機械化”。

師：今天我們學習了三位數乘兩位數，在這之前我們先學習了兩位數乘一位數、兩位數乘兩位數的計算（如下圖所示），請你簡單說一說它們的計算方法。

生：都是用因數個位上的數去乘另一個因數，再用因數十位上的數乘另一個因數……這樣乘下去，再把所得的積相加。

師：今天學習了三位數乘兩位數，接下來就不再學習整數乘法了，也就是說，三位數乘三位數，或者四位數乘兩位數就不再學習了，你知道這是為什么嗎？

生：因為后面的計算方法跟今天學的差不多。

師：是嗎？145×132、1145×132，老師不教，你會算嗎？

生：會算，還是一樣的算法。

師：怎么一樣呢？

生1：先用個位上的數乘被乘數，再用十位上的數乘被乘數，接著也這樣，最后把乘得的積相加。

生2：都是先用第二個因數個位上的數去乘第一個因數，再用……最后把幾次乘得的積相加。

師：同學們說得非常好，你們都會學習了！確實就像你們所說的那樣，只要一直這樣算，就能算出結果。

三、點滴思考

運算教學的核心是在理解算理的基礎上掌握算法。本質上，三位數乘兩位數與之前學習的三位數乘一位數或兩位數乘兩位數的算理是一致的，算法也是相同的。基于這樣的知識基礎與內容特點，本課的教學體現了兩個主要的想法：一是教學目標的定位上，在使學生學會知識與掌握技能的同時，讓學生學會學習與感悟數學思想；二是教學的組織方式上，通過引導學生獨立思考、自主探索、合作交流等多種學習方式，激發學習數學的興趣，引導學生把握數學內容的本質。通過以上兩個途徑，把數學核心素養落實于具體的教學活動中。