幾何概型教學(xué)中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問題

白帆

[摘要]新的一輪教學(xué)改革拉開了帷幕，高中階段的培養(yǎng)目標(biāo)是進(jìn)一步提升學(xué)生綜合素質(zhì)，著力發(fā)展核心素養(yǎng)，使學(xué)生具有理想信念和社會(huì)責(zé)任感，具有科學(xué)文化素養(yǎng)和終身學(xué)習(xí)能力，具有自主發(fā)展能力與溝通合作能力。將這一目標(biāo)落在實(shí)處，需要從每一節(jié)課入手，從每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)入手。文章分析了幾何概型一節(jié)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，采用問卷調(diào)查的方法對(duì)高三學(xué)生學(xué)習(xí)幾何概型的情況進(jìn)行分析，并以此節(jié)內(nèi)容分析學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展情況。

[關(guān)鍵詞]幾何概型;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);問題

[中圖分類號(hào)]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1674-6058（2020）12-0042-02

幾何概型的教學(xué)重點(diǎn)為：“體會(huì)隨機(jī)模擬中的統(tǒng)計(jì)思想，用樣本估計(jì)總體”，因此在教學(xué)中設(shè)計(jì)隨機(jī)模擬試驗(yàn)，對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析必然會(huì)涉及數(shù)據(jù)處理能力的培養(yǎng)。教學(xué)難點(diǎn)為：把求未知量的問題轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問題。

一、幾何概型教學(xué)過程中包含的核心素養(yǎng)

1.使用隨機(jī)模擬試驗(yàn)用頻率估計(jì)概率，過程中需要計(jì)算機(jī)輔助產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，對(duì)大量數(shù)據(jù)的處理需要使用公式進(jìn)行分析。比如在3米的繩子上取點(diǎn)的問題，得到隨機(jī)數(shù)后計(jì)算該點(diǎn)到繩子左右端點(diǎn)的距離，在計(jì)算機(jī)上如何操作？得到兩段繩子的長(zhǎng)度后，如何使用計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)兩段繩子長(zhǎng)度都大于1的情況？這都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的好機(jī)會(huì)。

2.將在繩子上取點(diǎn)的問題從具體的實(shí)例中抽象出來，變成了在數(shù)軸取點(diǎn)的問題，將數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)與隨機(jī)模擬試驗(yàn)可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)起來，形成試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的幾何圖形，理解幾何概型的公式需要完成為什么可以使用幾何度量的比值去表示概率值這一問題。學(xué)生在這個(gè)過程中直觀想象能力得到了培養(yǎng)，數(shù)學(xué)抽象能力得到了提高。

3.幾何概型公式中涉及長(zhǎng)度、面積、體積的問題，實(shí)際問題中還有角度等其他情況，選擇哪種幾何圖形的度量需要邏輯推理能力，比如在直角三角形內(nèi)做射線和斜邊交于一點(diǎn)，與在直角三角形斜邊上取一點(diǎn)，兩個(gè)問題為什么會(huì)得到不一樣的答案，一方面源于隨機(jī)試驗(yàn)的過程在進(jìn)行什么操作，另一方面源于對(duì)等可能性的理解——做射線與斜邊的交點(diǎn)在中間部分比較密集。

4.使用幾何概型公式判斷試驗(yàn)發(fā)生的結(jié)果所對(duì)應(yīng)的區(qū)域困難時(shí)需要引入線性規(guī)劃來解決，其中涉及數(shù)學(xué)建模能力，同一問題，設(shè)計(jì)不同的隨機(jī)試驗(yàn)，只要都是滿足等可能性且無限這兩個(gè)要求，就可以通過不同的途徑得到相同的答案。在數(shù)學(xué)試驗(yàn)課中，無論是解決估算圓周率還是估算大夫山的面積，都是學(xué)生嘗試完整解決實(shí)際問題的機(jī)會(huì)，也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的機(jī)會(huì)。

5.數(shù)學(xué)運(yùn)算過程由于其特點(diǎn)分布在解決問題的很多環(huán)節(jié)，在幾何概型中，使用公式計(jì)算面積、體積等都涉及一些比較巧妙的做法，如通過相似求面積，通過積分求面積等。

6.概率幾何概型知識(shí)本身概率思想蘊(yùn)含的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和人文價(jià)值，都對(duì)學(xué)生的人生觀、價(jià)值觀等有重要的影響作用，如小概率事件是否發(fā)生，概率為零的事件是否發(fā)生，頻率是否可以當(dāng)作概率等問題，對(duì)其深入討論可以幫助學(xué)生形成正確的概率觀念和培養(yǎng)堅(jiān)持不懈的精神。

二、用習(xí)題問卷調(diào)查（見文后附錄）對(duì)幾何概型問題中反映的學(xué)生核心素養(yǎng)問題進(jìn)行分析

（一）知識(shí)理解上仍然存在錯(cuò)誤

與古典概型混淆、測(cè)度選擇錯(cuò)誤的問題仍然存在，第5題中有15名學(xué)生使用古典概型來解答，但是當(dāng)和他們談?wù)摓槭裁催x擇古典概型時(shí)，大部分學(xué)生的回答是沒看清題目要求x∈R。就幾何概型知識(shí)點(diǎn)來說，與古典概型的區(qū)別和測(cè)度的選擇的確重要，但是僅僅強(qiáng)調(diào)這兩方面有區(qū)別，從概念上區(qū)分或者通過例題演示，效果并不是很理想，學(xué)生仍然容易出錯(cuò)。

（二）直觀想象能力有待提升

（五）數(shù)學(xué)運(yùn)算能力急需加強(qiáng)

以第7題為例，這是一個(gè)很實(shí)際的問題，計(jì)算安全距離。需要根據(jù)題中“到各邊距離不低于1個(gè)單位”這句話建立出兩個(gè)相似三角形的模型，此題有26名學(xué)生正確畫出了圖形，但僅有7人計(jì)算正確，其他學(xué)生已經(jīng)正確畫出了圖形，也標(biāo)明了事件發(fā)生所占的區(qū)域，但是卻沒有找到求解相似三角形面積的方法。教師通過這次調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)題目都有學(xué)生因?yàn)橛?jì)算出錯(cuò)，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)貫穿著整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程，教師在本次調(diào)查中發(fā)現(xiàn)粗心大意是學(xué)生在學(xué)習(xí)中的壞朋友。如有的學(xué)生將第5題集合的范圍從符號(hào)語言[1，10]轉(zhuǎn)化到圖形語言時(shí)在數(shù)軸上標(biāo)注成[0，10]，這反映的不僅僅是學(xué)生運(yùn)算能力不足的問題，更是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不高的綜合表現(xiàn)。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分成六個(gè)要素，但是這六個(gè)要素并不是孤立的，某一節(jié)課也不能僅僅以培養(yǎng)某一方面的素養(yǎng)為目的。從幾何概型的內(nèi)容可以看出，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)反映學(xué)生各個(gè)方面素養(yǎng)存在的問題，因此教師在備課和上課過程中都必須有意識(shí)地去思考這樣可以對(duì)學(xué)生的核心素養(yǎng)有什么作用，不能僅僅學(xué)習(xí)知識(shí)和學(xué)會(huì)解題方法。

7.在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，一只小螞蟻從AABC的內(nèi)切圓的圓心處開始隨機(jī)爬行，當(dāng)螞蟻（在三角形內(nèi)部）與△ABC各邊距離不低于1個(gè)單位時(shí)其行動(dòng)是安全的，則這只小螞蟻在△ABC內(nèi)任意行動(dòng)時(shí)安全的概率是__。

8.關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)π的值：先請(qǐng)200名同學(xué)，每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)（x，y），再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y）的個(gè)數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m來估計(jì)π的值，假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=56，那么可以估計(jì)π的值為__。（用分?jǐn)?shù)表示）