淺談高中數學教學正態分布問題

摘 要： 正態分布是高中數學學習中的最重要的一種分布問題，也是自然界中最常見的一種分布。許多實際問題中的變量，如人的身高、體重，產品的長度、寬度、重量等，測量誤差以及射擊時彈著點與靶心間的距離等都近似服從正態分布。它生活中、醫學中更是有著重要的應用，并隨著技術的發展正態分布越來越受到重視。

關鍵詞： 總體密度;正態分布;鐘形;應用

正態概率分布通常是廣義數學中所有有關概率的最重要的一種概率分布。正態高斯分布這個概念最早是在1733年由德國的英國數學家和現代天文學moivre首次提出的，但由于德國中的數學家mogaussre首次把正態高斯分布概念應用于現代天文學家們的研究，故正態高斯分布又可以叫高斯分布。后來到1837年，海根（g.hagen）在一篇學術論文中正式明確提出了這個量子學說。其實，海倫提出的正態中心分布誤差函數這種形式也具有相當大的物理局限性：他把中心誤差概率設想為分成兩只個數很多的、獨立同正態分布的“元誤差”之和，由此定理出發，按照阿狄莫佛的正態中心誤差極限分布定理，立即就可以得出這個誤差（近似自然地）完全服從正態下的分布。

拉普拉斯指出的這一點更具有重大的現實意義，在于他給具有誤差的正態數學理論一個更自然合理、更令人信服的科學解釋。拉普拉斯的哲學理論把這個已斷裂的兩個環連接起來，使之組合成為一個和諧的哲學整體，實際上有著極重大的哲學意義。

一、 總體分組密度分布曲線定義介紹

樣本總體分組密度分布曲線的基本定義我們可以簡單解釋為公式如下：就是當一個樣本的分組容量愈來越多，同時間的分組數量越多時，各組的密度分布變化頻率就越來越高而接近于樣本總體在各個分組間根據相應密度取得差值的分布概率。理想化的狀態下，假設樣本容量為無限大，各樣本分組的參數組之間距離為無限小。但是，這種理想情況下，所需要呈現的一個頻率密度直方曲線圖寬度會逐漸趨近于一條光滑的頻率曲線。

接下來，我們主要分析總體密度曲線的形狀特征、意義以及性質。從曲線圖中我們可以直接明顯看出，該高度曲線的整體形狀基本特征為中間高，兩邊低，均勻分布，成鐘形分布。使用總體密度曲線主要反映的是概率問題，即一個連續型的每個隨機變量在每個可以取得閾值點的范圍空間中的概率分布。它的主要性質有：

1. 非負性：曲線全部位于x軸的上方。

2. 定值性：曲線與x軸圍成的面積恒為1，即正態概率分布之和為1。

接下來，我們開始從概念學習正態分布。

二、 正態分布

（一）正態分布介紹

1. 正態分布

正態概率分布目前總體來看仍舊可以是目前應用最廣泛的連續概率分布。我們其實可以對圖做出一個標記，若圖中已知的頻率密度服從函數（也稱頻率密度曲線）為正態函數（曲線）則我們稱其為已知頻率曲線密度服從正態密度分布，記號值為～。其中

μ、σ2是的平均值和方差，可以把它作為兩個不同于確定值的常數，是正態常數分布的一個參數，在我們應用它來解決這個問題時，不同的常數μ、σ2，不同的值都對應不同的正態常數分布。正態曲線在左右圖中各點呈順時針型方向分布，兩頭低，中間高，左右對稱，曲線與橫坐標軸間的橫截面積和長度等于1。

正態分布函數為：

f（x）= 1? 2π σ e- （x-μ）2 2σ2 ，x∈（-∞，+∞）

2. 標準正態分布

標準正態映射分布函數標準正態映射分布函數是一種特殊的正態映射分布，即是每當正態映射分布函數

N～（μ，σ2）及其中的函數μ=0，σ=1時，這樣的正態映射分布就被稱為一種標準正態映射分布。記為：N～（0，1）。標準正態密度分布的概率密度函數基本公式可以表示如下為：

f（x）= 1? 2π? e- x2 2 ，

x∈（-∞，+∞），（σ>0）

下面我們介紹正態分布和標準正態分布兩者相同點和不同點比較：

（1）標準正態分布是正態分布的子集，所以形狀一致，都是關于μ的對稱形狀。當曲線在μ的位置時，在最高點，然后逐漸向兩側依次下降，曲線的內部形狀之可以這樣描述是因為它首先向內側下彎，再向外彎。

（2）一個正態曲線與橫坐標軸曲線相交的面積一定恒為1。

（3）正態概率分布面積曲線下標準差與固定概率的分布面積并沒有固定一個數量級的關系。所有正態函數分布都同樣可以通過z分數分布公式轉換成一個標準正態函數分布。

下面說一下不同的地方，正態密度分布指的是一元正態分布，它隨每個隨機變量的密度平均數、標準差的面積大小與計量單位不同而有不同的正態分布結構形態。而它的標準正態平均分布一般是正態平均分布的一種，其中的平均數和標準差都一般是固定的，平均數一般為0，標準差一般為1。

（二）正態分布的曲線特性

從正態分布曲線的特征以及與μ、σ之間的關系，我們可以得出以下幾點內容。

（1）所有的正態曲線都是左右對稱，呈鐘形。

（2）正態分布曲線懸在橫軸上方。

（3）當x=μ時，曲線是最大的。

（4）當x<0時，曲線呈上升狀態，而當x>0時，曲線呈下降狀態。當正無窮或者負無窮時，曲線接近于0。

（5）μ一定時，曲線整體形狀由σ確定，具體是σ越大，曲線越扁平，總體分布越分散;σ越小，曲線越高聳，總體分布越集中。

（三）正態分布特征

了解了正態分布之后，都會知道μ、σ的關鍵性，關于正態分布可以從以下幾點入手：

（1）集中性：一個正態曲線的函數高峰起點位于正曲線中央，即其平均數高峰所在的集中位置。

（2）均勻方向變動性：一個正態曲線由兩個均數基點所在中心處的點開始，分別向左右兩側逐漸均勻方向下降。

（3）對稱性：一條正態曲線以兩個均數交點為曲線中心，左右對稱，曲線兩端永遠不與任何橫或縱軸曲線相交。

（4）正態曲線分布函數有兩個基本參數，即兩個均數中的μ和μ與標準差σ，可以被記作為在N～（μ，σ2）中：兩個均數μ和σ可以決定一個正態曲線的每個中心節點位置;μ和標準差σ可以決定一個正態曲線的陡峭或扁平變化程度。σ越小，曲線越陡峭;σ越大，曲線越扁平。

（5）為了充分便于理論描述和實際應用，常將正態變量變換作為對數據值的轉換。μ是正態趨勢分布的一個位置測量參數，描述的是正態趨勢分布的每個集中點在趨勢中的位置。正態時間分布以x=μ為對稱時間軸，左右完全互相對稱。正態函數分布的值與均數、中位數、眾數相同，均等于μ。

三、 應用

應用對于現代數學而言，本身就是針對性地解決我們的在現實生活中可能存在的許多問題。而正態分布同樣不可能停留在數學層面，應用于生活才是數學本身的意義。

（一）學生身高

我們在統計學生身高并觀察分布情況時，可以采用正態分布的方法來觀察。首先需要做的步驟就是統計所有的數據并畫出直方圖，把身高的最大和最小的找出來并在之間分若干個組別，之后計算每一組的身高人數以及頻率大小。以橫坐標代表你的身高進行分組，縱坐標為頻率/組合的距離，再來看圖畫直方曲線圖，這樣才好看，每個矩形面積就是頻率。

之后我們就可以直接從圖中看出身高的分布。從頻率分布直方圖中我們可以看到，綜合呈現“中間高，兩邊低”的特點。在所有統計的男生中，超過1.85米和低于1.5米的人數都非常少，而大部分人的都分布在1.6米至1.75米之間。因此，雖然每個人的身高具有隨機性，但同一年齡同一性別的人群身高分布是有規律的，整體和正態分布非常相似。

（二）醫學

除了學生身高的統計外，在醫學上，依舊有它的用處，醫生可以應用正態分布的特點來對人體一些指標進行估計從而給出一些對策。比如利用正態分布去估計白細胞數目，一般正常情況下，白細胞正態數在正常年齡人群中近似于或服從正態數的分布。我們可以制訂一個上限和下限，比如95 % 的人在正常范圍之內，而超出這一范圍的人，我們就認為需要對其進行特殊關注。

四、 教學思考

（一）教學定位的把握

在數學層面上講，正態分布是高中數學教材中唯一一個對連續性隨機變量分析的內容。對于連續型隨機變量的重要性，相信與離散型變量相比，很容易能區分出來。從應用層面我們也能進行比較，生活中連續型變量要偏多，比如上文提到的學生身高以及醫學應用都能看出正態分布的影子。所以教師應對正態分布的教學做深刻的教材分析和入微的學情分析，然后給學生呈現一個比較好的結果。

（二）數學素養的提升

怎么理解數學素養？數學素養定義為一個數學思考邏輯，就是學生在漫長的數學學習過程中學習的數學思想、數學規律。而高中已經是學生有自主思考能力的一個階段，所以教師要充分把握高中階段學生的心理以及應用能力，早一點普及給學生重要的、更具有現實意義的知識，讓學生在學習中挖掘自己的數學能力、數學思考邏輯。

總而言之，作為教育工作者的高中教師群體，應該掌握重點的教授，無論介入的深或淺，我們都應充分挖掘數學教學素材，尤其是正態分布知識的信息價值，真正以整合達到相長的目的，讓學生能夠在短暫時間學習到更多知識。

五、 結論

現在的教學過程中，相當一部分數學教師對正態分布的教學沒有提起重視，可能原因在于高考未把正態分布納入主要知識點，這也是教學重點定位的失誤，本文從整體介紹了正態分布的學習內容、函數公式、特征、意義以及應用在生活中的方面。重點在與學習正態分布的方法，能為學生在之后的發展以及學習奠定一定基礎。因此，教師一定要充分認識到正態分布的重要性，并能以更加簡潔易懂的方式為學生介紹，同時能夠從整體以及未來風向把握，讓學生充分學習到正態分布的好處。

參考文獻：

[1]王強，韓葉飛.正態分布N（μ，σ2）的標準方差的兩個漸近正態估計[J].淮陰師范學院學報（自然科學版），2005（4）：29-31.

[2]吳煥云.正態分布及其在教學研究中的應用[J].湖北教育學院學報，1995（4）：33-36.

作者簡介：? 馬宏酉，福建省漳州市，廈門雙十中學漳州校區。