淺談逆向思維在七年級數學教學中的應用

摘?要：七年級是小學升初中的過渡期與關鍵期，也是兒童認知水平達到形式運算階段的轉折點，此時的數學教學活動應該適當培養學生邏輯思維能力，例如有意識地在題目中開展逆向思維訓練，為八年級下學期的反證法做鋪墊，同時培養學生解決實際問題的能力。

關鍵詞：逆向思維;七年級數學;應用

一、 ?引言

在初中數學教學中，受傳統教學觀念的影響下，教師往往通過大量的重復練習，引導學生從已知條件中直接得出問題的解決方法，也就是常說的正向思維。然而這種正向思維雖然能夠解決大部分基礎練習，但是一旦遇到難度較大的應用題或幾何證明題時，學生就會出現教師一講就懂，教師不講就發懵的狀態。這也是很多七年級家長提出，孩子在小學明明成績很好，但是一到七年級成績就不如小學的問題。一方面，初中正好是兒童認知發展階段的轉折點;另一方面，從小學數學的形象思維到初中數學的抽象思維，學生需要一個轉化與吸收的過程。

為此，教師應在七年級的數學教學上加強學生逆向思維的訓練。本文就七年級數學中一些實際例題進行展開，和各位七年級數學教師共勉。

二、 逆向思維在七年級數學中的應用

（一）公式類題目中逆向思維的應用

初中數學的抽象思維體現在方方面面，其中數字到字母的轉化尤為明顯。以北師大版教材為例，七年級上期第三章《整式及其加減》中第一節字母表示數，就開始讓學生體會一個字母可以表示任何數，為七年級下學期字母表示公式打下基礎。而在含字母的公式類題目中，常常會出現公式的逆運用，這也就是一種逆向思維的應用。

（二）應用題中逆向思維的應用

應用題是很多學生從小學起就非常頭疼的題型，到了初中應用題的文字內容增多、難度增大，更是讓許多學生摸不著頭腦，主要原因有以下幾點：一是“入手難”，即應用題文字較多時，學生先入為主的排斥心理、畏難情緒就紛紛爆發了;二是“數據多”，當題目中數據較多時，學生往往很難提取出關鍵的重要的信息;三是“轉化難”，現在很多應用題與實際相結合，而七年級學生的生活經驗較少，所以很難將實際問題轉化為數學模型。針對以上問題，本文主要以逆向思維的應用，以解決學生拿到題目束手無策的情況提供一些思路，促進學生去探索新的方法解決應用題。

例3?在我國明代數學家吳敬所著的《九章算術比類大全》中，有一道數學題叫“寶塔裝燈”，內容為“遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增;共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”（倍加增是從塔的頂層到底層）。

北師大版教材七年級上冊第五章的三到六節都是應用一元一次方程解決實際問題，應用一元一次方程解決實際問題的步驟：審、找、設、列、解、驗、答，其中審題往往就是從問題出發，直接設元是設問題為未知數，再從已知條件中找到合適的數量關系以及等量關系，列出方程求解，這一過程其實就滲透了逆向思維。例3與中國古代數學相結合，在考查一元一次方程的應用的同時滲透了數學歷史美。如果設頂層有x盞燈，根據“紅燈點點倍加增”可以得出除了頂層外往下就分別是：2x盞燈、4x盞燈、8x盞燈、16x盞燈、32x盞燈、64x盞燈，再根據“共燈三百八十一”可列出方程：x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，合并同類項后得：127x=381，系數化為一得：x=3，最后作答。通過一元一次方程的應用題步驟可以看出，不同于小學應用題直接列算式解答，初中方程思想更多的是活用逆向思維，從問題出發找到未知量與已知量的數量關系與等量關系，從而列方程解決問題。

例4?某中學的實驗室買了一些試劑，第一次，實驗教師用了全部試劑的一半零半瓶;第二次，實驗教師在實驗時不小心打翻了余下試劑的一半零半瓶;而第三次，學生在教師的指導下將余下的一半零半瓶用完后，全部化學試劑都用完，請問共買了多少瓶試劑？

按照慣性思維也就是正向思維思考，設共買了x瓶試劑，那么第一次就用試劑12x+12，那么第二次用量較復雜，可分步引導，第一次用后還剩下的試劑為x-12x+12，其一半為12x-12x+12，所以第二次共用了12x-12x+12+12，當學生分析到此時，已經感覺到計算量較大，畏難情緒難免又會跑出來，并且哪怕繼續分析下去沒有邏輯問題，但是解方程的計算量大，容易出錯并且費時費力。所以此題可換一種思路，利用逆向思維分析問題，換一個突破口讓計算更加簡便，如設第二次剩下x瓶試劑，則根據第三次全部用完可列出方程：12x-12=0，解得x=1，再設第一次剩下y瓶試劑，則根據第二次使用情況可列出方程：12y-12=1，解得y=3，最后設最初共買了z瓶試劑，則根據第一次使用情況可得：12z-12=3，解得z=7，這樣得出最后結論共買了7瓶試劑。通過這題我們不難看出，當直接設未知數計算量較大或者等量關系難以找到時，我們不妨改變一下我們的思路，利用逆向思維先求出第二次或者第三次的試劑數量從而得出最終答案，這就要求教師在遇到這類題型時需要引導學生多方位思考，除了正向思維以外多利用逆向思維思考并探索更多的方法。

（三）幾何證明題中逆向思維的應用

關于幾何證明題，以北師大版教材為例，其中七年級下冊第二章就介紹了相交線與平行線，第四章從認識三角形到證明三角形的全等都是幾何證明題。對于小學從來沒接觸過證明題的七年級學生來講，幾何證明題是一大難點，當然也是教學的關鍵點。教師應引導學生梳理自己的邏輯思維，并用規定的證明題符號進行書寫，而此時逆向思維的訓練也是必不可少的，它能幫助學生更好地梳理自己的思路，從而書寫更加有邏輯性，也是拓展思維的好方法。

例5?如圖1所示，已知：M、N、P、Q在同一直線上，并且MN=PQ，MF∥EQ，EN∥PF，證明：MF=EQ，EN=PF。

例5中已知條件既有線段相等又有直線平行，對于七年級學生來講，平行線的性質不難，但是選取簡單的條件能推導出結論的人并不多，所以教師在講授此類型題目時應著重思維的訓練。如果用逆向思維思考，要證明MF=EQ，EN=PF需證明△MFP≌△QEN，根據全等三角形的判定，要證明△MFP≌△QEN，需要找角相等和邊相等，再結合條件MN=PQ得出MP=NQ，所以兩個平行只需要證明角相等即可。通過此題不難看出活用逆向思維能讓思路更清晰，在書寫時只需要按正向邏輯順序書寫，保證幾何證明題的書寫不重不亂。

例6?如圖2所示，已知BCE、BAG、AFE是直線，其中AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。

求證：AD∥BE。

此題是平行線的判定與性質的綜合性題目，學生往往慣性思維是根據題目條件分析，找到角的相等從而判定兩直線平行，但是往往由于七年級學生剛剛接觸幾何證明題，思維上的跳脫，書寫上的不規范都容易讓此題的解答過程千奇百怪，甚至跳步驟漏步驟被扣分的情形也比比皆是。所以教師可以引導學生利用逆向思維先想清楚自己到底要利用平行線的判定哪一條，再逆向的去找所需要的條件，讓思路更加清晰。平行線判定有三條，簡稱為：內錯角相等，兩直線平行;同位角相等，兩直線平行;同旁內角互補，兩直線平行。

例6可分別從這三方面求證：

證明1：要證∠2=∠E，且已知∠1=∠2，只需證∠E=∠1，而根據條件中∠3=∠4，所以只需證∠B=∠5即可。

證明2：要證∠B=∠6，且因為AB∥CD可知∠6=∠D，只需證∠B=∠D，又因為∠1=∠2，∠3=∠4，可利用三角形內角和以及對頂角相等即∠4=∠7，得證∠B=∠D。

證明3：要證∠B+∠BAD=180°，即證明∠B+∠1+∠8+∠2=180°，而由三角形內角和可知∠B+∠1+∠3=180°，所以只需證∠3=∠8+∠2，根據三角形外角和性質可知∠3=∠8+∠E，由證明1可證∠2=∠E，從而得證。

綜上所述，通過逆向思維七年級學生能開拓自己的思維，不會被一兩種方法所限制，并且能夠選擇最簡單的證明過程書寫，這樣也提高了幾何題書寫混亂、跳步驟、漏步驟等難題。

三、 結語

逆向思維是七年級學生在解決數學題目中必不可少的思維素質，作為教師必須注意培養學生的逆向思維能力，鼓勵學生在解題過程中從別的角度出發，不要僅限于書本上的一種固定方法，以此突破學生在解題中的思維定式，解決正向思維無法解決的困難，促進學生的思維發展，為初中階段八九年級以及高中階段的數學思維做好鋪墊。

參考文獻：

[1]付瑞艷.逆向思維在初中數學解題教學中的應用[J].數學大世界，2019（4）.

[2]曹斌.逆向思維在初中數學解題教學中的應用[J].新課程，2019（4）.

作者簡介：王鈺琪，四川省成都市，四川大學附屬中學新城分校。