化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

楊菊花 張衡山

【摘要】本文通過(guò)闡述數(shù)學(xué)思想方法中的化歸思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，旨在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)境中學(xué)生可以使用特殊與一般的轉(zhuǎn)化、直觀與抽象的轉(zhuǎn)化、數(shù)到形的轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，期望實(shí)現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展人的思維、培養(yǎng)現(xiàn)代社會(huì)學(xué)生應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的最終目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)教育 ?數(shù)學(xué)教學(xué) ?化歸思想方法

【中圖分類(lèi)號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2020）02-0127-02

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的提煉概括，是解題途徑。因此，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)以及在具體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷領(lǐng)悟，會(huì)使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)不再是零散的知識(shí)點(diǎn)，也不再是處理問(wèn)題的刻板套路和固有意識(shí)，它能幫助學(xué)生形成一條有序的知識(shí)鏈，從而使學(xué)生進(jìn)一步構(gòu)建良好的知識(shí)構(gòu)架。數(shù)學(xué)方法有許多種，而在本文中我們?cè)敿?xì)闡述的化歸思想就是其中的一種方法。史九一等指出所謂化歸思想方法從字面看亦可理解為轉(zhuǎn)化歸結(jié)之意。[1]本文闡述的化歸思想方法，我們可以把它簡(jiǎn)單的理解為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果無(wú)法直接解決當(dāng)前的問(wèn)題或者直接解決較為復(fù)雜，這時(shí)可設(shè)法通過(guò)某種特殊的轉(zhuǎn)化過(guò)程，將問(wèn)題歸結(jié)為一類(lèi)已解決的問(wèn)題或者容易解決的問(wèn)題，換言之就是通過(guò)變換更加簡(jiǎn)便快捷的將問(wèn)題解決的方法。

一、化歸思想方法引入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性

（一）促進(jìn)學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，整體把握數(shù)學(xué)邏輯

在小學(xué)教學(xué)中，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，所學(xué)知識(shí)比較繁雜，所以整體把握數(shù)學(xué)邏輯較為困難，教師通過(guò)教學(xué)技術(shù)藝術(shù)精心設(shè)計(jì)教學(xué)情境和教學(xué)過(guò)程，以具體數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，有意識(shí)的訓(xùn)練學(xué)生能提高教學(xué)效率，而化歸思想方法的作用就是使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)全面的了解，學(xué)生在遇到問(wèn)題后，可以迅速找到這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)，并利用正確的方法將其快速轉(zhuǎn)化，形成有效的解決途徑。學(xué)生在多次利用化歸思想方法后，熟能生巧的了解知識(shí)點(diǎn)存在的內(nèi)在聯(lián)系，了解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，更加系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

（二）培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維，提高學(xué)習(xí)效率

核心素養(yǎng)理論與實(shí)踐的結(jié)合標(biāo)志著我國(guó)課程改革進(jìn)入到更全面、更深刻、更科學(xué)、更系統(tǒng)的階段。[2]培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。基于自教育學(xué)家蘇格拉底起的自然教育理論及生理學(xué)理論，數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維是人類(lèi)思想的高級(jí)形態(tài)，它是教師依據(jù)一定的課程目的通過(guò)本人的教育“機(jī)智”，有價(jià)值地解決問(wèn)題的過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的智力品質(zhì)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》將課程目標(biāo)“雙基”擴(kuò)展為“四基”，進(jìn)一步提出“運(yùn)用數(shù)學(xué)思維反式進(jìn)行思考”的重要性。

（三）有利于樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀，數(shù)學(xué)教學(xué)觀

人們對(duì)數(shù)學(xué)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)即數(shù)學(xué)觀，它對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)各方面產(chǎn)生深刻的影響，所以作為教師首要任務(wù)基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的基本觀點(diǎn)不斷更新教育觀念由現(xiàn)實(shí)的、靜態(tài)的、片面的數(shù)學(xué)觀向動(dòng)態(tài)的、辯證的、模式論的教學(xué)觀轉(zhuǎn)變。數(shù)學(xué)教學(xué)觀是教師對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)以及學(xué)習(xí)過(guò)程的一種認(rèn)識(shí)，涉及獲得知識(shí)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，要求教師不斷進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和教學(xué)反思，突出顯現(xiàn)教學(xué)“雙主體”的地位。所以教師必須重視自身觀念的更新，不斷改造以赫爾巴特為代表的陳舊的、傳統(tǒng)的以教師為主體的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)教學(xué)觀，正確認(rèn)識(shí)教育教學(xué)的價(jià)值及其時(shí)代特征，充分理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)，積極客觀培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

二、化歸思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用討論

化歸思想方法在小學(xué)教學(xué)中有著非常重要的作用，運(yùn)用化歸方法，解決小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題如下：

（一）特殊與一般的轉(zhuǎn)化

如所知“從特殊到一般”與“由一般到特殊”乃是人類(lèi)認(rèn)識(shí)客觀世界的一個(gè)普遍規(guī)律，而在人類(lèi)探索世界奧秘的奮斗中誕生和發(fā)展起來(lái)的任何一門(mén)學(xué)科，都將受到這一規(guī)律的制約。[1]運(yùn)用化歸法，可以使需要求解的具有一般性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊形式的問(wèn)題來(lái)解決，相反亦可以通過(guò)解決一般性問(wèn)題而使特殊問(wèn)題得以解決。

數(shù)的性質(zhì)、四則運(yùn)算法則及定律的教學(xué)，經(jīng)常運(yùn)用不完全歸納法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊的算式，通過(guò)計(jì)算分析比較，最后歸納出具有一般性的結(jié)論。利用“特殊值法”解答問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是一般向特殊的轉(zhuǎn)化，用這種方法尋找解決思路時(shí)，把有些所求未知量相關(guān)的量賦予特殊值法使其列式或計(jì)算簡(jiǎn)便，或者在數(shù)學(xué)問(wèn)題中適當(dāng)選取單位“1”（一份），使題中其他已知量或未知量“整數(shù)化”簡(jiǎn)單化的過(guò)程。

【例1】人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第30頁(yè)計(jì)算解：

115+132+118+85=（115+85）+（132+118）=200+250=450

觀察算式115+85和132+118可湊成整數(shù)，本題通過(guò)運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律化難為易運(yùn)算結(jié)果不變，學(xué)生通過(guò)掌握、理解運(yùn)算法則，在解題過(guò)程中可運(yùn)用化歸思想。

（二）直觀與抽象的轉(zhuǎn)化

抽象性是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要特征之一。根據(jù)心理學(xué)家皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論小學(xué)生身體、心理發(fā)展處在具體運(yùn)算階段（7-11歲），兒童思維仍需要具體事物的支持不能進(jìn)行抽象思維。所以采用直觀教學(xué)法使抽象的問(wèn)題直觀化，有利于提高教學(xué)效率。對(duì)于性質(zhì)、概念、公式等知識(shí)的教學(xué)，常通過(guò)演示實(shí)物教具、動(dòng)手操作的手段把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題形象直觀化，也可以幫助學(xué)生積累豐富的感知材料，在教法則、定律時(shí)，一般都以應(yīng)用題引人對(duì)抽象的算式賦予實(shí)際意義，有利于學(xué)生理解運(yùn)算法則。

應(yīng)用題教學(xué)常用繪制線(xiàn)段弄清題目的條件、問(wèn)題、以及數(shù)量關(guān)系，線(xiàn)段舍棄了實(shí)際意義與情景是直觀到抽象的轉(zhuǎn)化，而它有一定的抽象性，所以低年級(jí)使用較少，線(xiàn)段又能形象直觀的反應(yīng)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，是應(yīng)用題中實(shí)際事物數(shù)量方面的“表象”。

【例 2】小東買(mǎi)了4千克蘋(píng)果和3千克梨，共用去了31.8元，已知每千克蘋(píng)果比梨貴0.6元，求蘋(píng)果和梨的單價(jià)。

本題化歸的對(duì)象是每千克蘋(píng)果比梨貴0.6元，實(shí)施化歸的途徑是蘋(píng)果和梨作為1個(gè)整體。化歸的目標(biāo)則是4千克的梨此4千克蘋(píng)果少用4×0.6元，7千克梨共用31.8-2.4=29.4元，這樣就可以解出梨和蘋(píng)果的單價(jià)。

（三）數(shù)到形的轉(zhuǎn)化

1628年，笛卡爾發(fā)表《指導(dǎo)思維的規(guī)則》一書(shū)，利用橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的依存關(guān)系，明顯地反映出用代數(shù)把握幾何，使“數(shù)、形同質(zhì)”必須引進(jìn)單位數(shù)的思想。這一思想的影響“他將代數(shù)運(yùn)算和幾何畫(huà)圖放置于一個(gè)幾乎完全平行的位置，開(kāi)創(chuàng)了用代數(shù)方法研究幾何曲線(xiàn)，搭建起代數(shù)和幾何之間的橋梁。使我們能方便地把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題，或把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題。”在一定條件下數(shù)形相互轉(zhuǎn)化，利用這種轉(zhuǎn)化，有利于數(shù)學(xué)問(wèn)題化難為易，此法在小學(xué)各年級(jí)的教學(xué)中應(yīng)用廣泛。

一年級(jí)“十以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”教材，結(jié)合每一個(gè)數(shù)的教學(xué)編入了一些簡(jiǎn)單的幾何圖形，既能使學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單的幾何圖形有著初步感知，有利用圖形的形象直觀，幫助學(xué)生理解數(shù)的大小、意義、順序。五年級(jí)的數(shù)學(xué)關(guān)于“分?jǐn)?shù)的意義”的學(xué)習(xí)，還利用圓、正方形以及線(xiàn)段圖等簡(jiǎn)單的平面幾何圖形進(jìn)行平均分的演示，通過(guò)這些不同的形狀，不同分割方法的圖形，使學(xué)生形象直觀的感知分?jǐn)?shù)概念中的“單位‘1”“平均分”的意義，將抽象的分?jǐn)?shù)問(wèn)題具體化，化難為易。

【例3】一塊面包，小明第一次吃了半個(gè)，第二次又吃了剩下的二分之一，就這樣每次都吃上一次剩下的一半。小明五次一共吃了多少面包？

（四）整體與局部的轉(zhuǎn)化

整體與局部的轉(zhuǎn)化是化歸思想方法的形式之一。運(yùn)用分解與組合法可將較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分解，轉(zhuǎn)化為多個(gè)較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)求解，這些解的組合便是問(wèn)題的解，小學(xué)數(shù)學(xué)中的口算運(yùn)算就是這樣來(lái)計(jì)算的。同時(shí)也可以將問(wèn)題的部分或者某些因數(shù)值適當(dāng)變換轉(zhuǎn)化為新問(wèn)題來(lái)求解，這兩種變化的目的都是用分解來(lái)化歸。把待解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題與其它問(wèn)題進(jìn)行結(jié)合研究，又或者通過(guò)地方課程或者校本課程，運(yùn)用學(xué)生身邊的現(xiàn)象來(lái)舉例，進(jìn)而使原問(wèn)題得以解決，這樣的變換就是用組合實(shí)現(xiàn)化歸，分解與組合都是研究問(wèn)題的關(guān)系，在研究方法領(lǐng)域也可以稱(chēng)為歸納、演繹，結(jié)構(gòu)發(fā)生的變換以創(chuàng)設(shè)實(shí)現(xiàn)化歸的條件。小學(xué)數(shù)學(xué)中，復(fù)合應(yīng)用題的解法，就是把復(fù)合的應(yīng)用題分解為幾個(gè)連續(xù)簡(jiǎn)單的應(yīng)用題并依次求解，最后綜合這些簡(jiǎn)單應(yīng)用題解就是復(fù)合應(yīng)用題的解。

綜上所述，教師應(yīng)在自己重視化歸思想方法的基礎(chǔ)上使學(xué)生也重視此思想的應(yīng)用，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識(shí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)化歸，同時(shí)重視化歸思想方法與其他思想方法的結(jié)合，使學(xué)生更好地鞏固新知識(shí)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的水平，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，改變?nèi)S目標(biāo)分離的教學(xué)情況，提高學(xué)習(xí)效率和教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]史九一，朱梧槚.化歸與歸納·類(lèi)比·聯(lián)想[M].大連理工大學(xué)出版社，2008.4

[2]張勇.高考金刊·文科版[J].華東師范大學(xué)，2011

作者簡(jiǎn)介：

楊菊花（1995-），女，白族，云南大理人，云南民族大學(xué)教育學(xué)院18級(jí)教育學(xué)原理專(zhuān)業(yè)在讀研究生，研究方向：教育人類(lèi)學(xué)。

張衡山（1993-），男，漢族，云南騰沖人，云南民族大學(xué)教育學(xué)院17級(jí)教育學(xué)原理專(zhuān)業(yè)在讀研究生，研究方向：教育人類(lèi)學(xué)。