隨機變量的期望與方差的求法初探

■湖北省黃梅縣小池濱江高級中學

隨機變量是高考的必考內容,其中離散型隨機變量的概率分布列與期望、方差是熱點,題型以解答題為主,以選填題為輔。高考對這部分內容的考查貼近生活,注重考查基礎知識和基本方法。在計算隨機變量的期望和方差時,首先要搞清其分布特征及分布列,然后要準確應用公式,只有充分利用其性質,才能避免煩瑣的運算,提高運算速度和準確度。

考點一 離散型隨機變量的期望與方差

例1在北上廣等十余所大中城市中,一款叫“一度用車”的共享汽車給市民們提供了一種新型的出行方式。2020年,黃岡市也將出現共享汽車,用戶每次租車時按行駛里程(1元/km)加用車時間(0.1元/min)收費。李先生家離上班地點10 km,每天租用共享汽車上下班,由于堵車原因,每次路上開車花費的時間是一個隨機變量,根據一段時間統計40 次路上開車花費時間在各時間段內的情況得到表1：

表1

視各時間段發生的頻率為概率,假設把每次路上開車花費的時間視為用車時間,范圍為[15,65]min。

(1)若李先生上下班時租用一次共享汽車路上開車不超過45 min,便是所有可選擇的交通工具中的一次最優選擇,設ξ是4 次使用共享汽車中最優選擇的次數,求ξ的分布列和期望;

(2)若李先生每天上下班使用共享汽車2次,一個月(以20天計算)平均用車費用大約是多少(同一時段,用該區間的中點值作代表)?

解析：(1)李先生每次租用共享汽車為最優選擇的概率P=。

依題意ξ的值可能為0,1,2,3,4,且ξ～,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=。

故ξ的分布列如表2：

表2

(2)每次用車路上平均花的時間：

每次租車的費用約為10+35.5×0.1=13.55(元)。

一個月的平均用車費用約為13.55×20×2=542(元)。

點評：二項分布解決的問題是獨立重復試驗,“重復”的意思是每次事件發生的概率相等,也可以在若干次的放回抽樣中求概率,每一次抽樣結果都有兩個：發生或不發生,而且事件發生與否的概率在每一次獨立試驗中都保持不變,即每次是等概率的,前一次不影響后一次的概率。若放回或不放回較難區分時,一般可通過數量來區分,從總體中抽取或數量較多時抽取一般為二項分布。

例2自由購是一種通過自助結算的購物形式。某大型超市為調查顧客自由購的使用情況,隨機抽取了100人,調查結果整理得到表3：

表3

(1)現隨機抽取1名顧客,試估計該顧客年齡在[30,50)且未使用自由購的概率。

(2)從被抽取的年齡在[50,70]使用自由購的顧客中,隨機抽取3人進一步了解情況,用X表示這3 人中年齡在[50,60)的人數,求隨機變量X的分布列及數學期望。

(3)為鼓勵顧客使用自由購,該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環保購物袋。若某日該超市預計有5 000 人購物,試估計該超市當天至少應準備多少個環保購物袋。

解析：(1)隨機抽取的100 名顧客中,年齡在[30,50)且未使用自由購的有3+14=17(人),故隨機抽取1名顧客,該顧客年齡在[30,50)且未參加自由購的概率估計為P=。

(2)X所有的可能取值為1,2,3。

故X的分布列如表4：

表4

則E(X)==2。

(3)隨機抽取的100名顧客中,使用自由購的有3+12+17+6+4+2=44(人),則該超市當天至少應準備環保購物袋的個數為×5 000=2 200。

點評：超幾何分布是知道總體的個數N的一種不放回抽樣中求概率情形,其抽樣中每一次抽樣結果有兩個：發生或不發生,但每次的概率是不相等的,前一次會影響后一次的概率。一般在數目不是很大的情況下,利用二項分布和超幾何分布公式計算期望值會不同,但抽取對象數目較大時,兩者計算的期望值會近似相等。另外,當總體的數量很大時,應用超幾何分布解決問題時計算量會非常大,所以當總體的數量很大時,在誤差允許的范圍內,我們可以用二項分布來代替超幾何分布。

考點二 獨立事件的期望與方差

例3電影公司隨機收集了電影的有關數據,經分類整理得到表5：

表5

好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值。假設所有電影是否獲得好評相互獨立。

(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;

(2)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等,用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡,“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6),寫出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小關系。

解析：(1)由題意知,樣本中電影的總部數是140+50+300+200+800+510=2 000。

第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25=50,故概率P==0.025。

(2)由題意知,定義隨機變量如下,ξk=

則ξk～(0,1)服從兩點分布,則六類電影的分布列及方差計算如下：

第一類電影,E(ξ1)=1×0.4+0×0.6=0.4,D(ξ1)=(1-0.4)2×0.4+(0-0.4)2×0.6=0.24;

第二類電影,E(ξ2)=1×0.2+0×0.8=0.2,D(ξ2)=(1-0.2)2×0.2+(0-0.2)2×0.8=0.16;

第三類電影,E(ξ3)=1×0.15+0×0.85=0.15,D(ξ3)=(1-0.15)2×0.15+(0-0.15)2×0.85=0.127 5;

第四類電影,E(ξ4)=1×0.25+0×0.75=0.25,D(ξ4)=(1-0.25)2×0.25+(0-0.25)2×0.75=0.187 5;

第五類電影,E(ξ5)=1×0.2+0×0.8=0.2,D(ξ5)=(1-0.2)2×0.2+(0-0.2)2×0.8=0.16;

第六類電影,E(ξ6)=1×0.1+0×0.9=0.1,D(ξ6)=(1-0.1)2×0.1+(0-0.1)2×0.9=0.09。

故D(ξ1)＞D(ξ4)＞D(ξ2)=D(ξ5)＞D(ξ3)＞D(ξ6)。

點評：第一問用古典概型的概率計算公式直接求解,第二問先判斷ξk～(0,1)服從兩點分布,再利用離散型隨機變量的期望和方差公式,分別求出這6個隨機變量的期望與方差。

考點三 連續型隨機變量的期望

例4某地區將一種新品種小麥在一塊試驗田進行試種。從試驗田中抽取500株小麥,測量這些小麥的生長指標值,由測量結果得到頻數分布表(表6)：

表6

(2)由直方圖可以認為,這種小麥的生長指標值Z服從正態分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數,σ2近似為樣本方差s2。

①利用該正態分布,求P(187.8＜Z＜212.2) ;

②若從試驗田中抽取100株小麥,記X表示這100 株小麥中生長指標值位于區間(187.8,212.2)的小麥株數(四舍五入),利用①的結果,求E(X)。

解析：(1)抽取小麥的生長指標的樣本平均數和樣本方差s2分別為：

(2)①由上知Z～N(200,150),故P(187.8＜Z＜212.2)=P(200-12.2＜Z＜200+12.2)=0.682 6。

②由①知,一株小麥的生長指標值位于區間(187.8,212.2)的概率為0.682 6,依題意知X～B(100,0.682 6),所以E(X)=100×0.682 6=68.26≈68。

例5從某企業生產的某種產品中抽取100件,測量這些產品的質量指標值,由測量結果得到如圖1 所示的頻率分布直方圖,質量指標值落在區間[55,65],[65,75],[75,85]內的頻率之比為4∶2∶1。

(1)求這些產品質量指標值落在區間[75,85]內的頻率;

(2)若將頻率視為概率,從該企業生產的這種產品中隨機抽取3件,記這3件產品中質量指標值位于區間[45,75]內的產品件數為X,求X的分布列與數學期望。

解析：(1)設落在區間[75,85]內的頻率為x,則落在區間[55,65],[65,75]內的頻率分別為4x,2x,依題意得(0.004+0.012+0.019+0.03)×10+4x+2x+x=1,解得x=0.05。落在區間[75,85]內的頻率為0.05。

(2)從該企業生產的該種產品中隨機抽取3件,相當于進行了3次獨立重復試驗,所以X服從二項分布B(n,p),其中n=3。由(1)得,落在區間[45,75]內的頻率為0.3+0.2+0.1=0.6,將頻率視為概率得p=0.6。

因為X的所有可能取值為0,1,2,3,且P(X=0)=×0.60×0.43=0.064,P(X=1)=×0.61×0.42=0.288,P(X=2)=×0.62×0.41=0.432,P(X=3)=×0.63×0.40=0.216。

所以X的分布列如表7：

表7

所以X的數學期望為E(X)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8。

也可直接根據二項分布的均值公式得到E(X)=np=3×0.6=1.8。

點評：每一個條形圖的面積對應的就是該段產品的頻率,若獨立重復試驗結果服從二項分布,可以直接由公式得出數學期望。

總結歸納：

1.求離散型隨機變量的均值與方差的步驟：(1)確定隨機變量ξ的所有可能值;(2)寫出每一個隨機變量所對應的概率;(3)列出隨機變量的概率分布列;(4)根據定義求出均值E(ξ)和方差D(ξ);(5)由均值、方差進一步分析判斷,得出結論。

2.要注意觀察隨機變量的概率分布特征,若如果ξ～B(n,p),則用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大減少計算量。有些隨機變量雖不服從二項分布,但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布,可以綜合應用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及D(aξ+b)=a2D(ξ)。

3.預計2020年將會考查：①離散型隨機變量的期望與方差,通過設置密切貼近現實生活的情形,考查概率思想的應用意識和創新意識;②正態分布的考查,尤其是正態總體在某一區間內的概率。此類題型為解答題中的一問,試題難度不會太大,屬中檔題型。