數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)障礙的表現(xiàn)與突破

林志華　溫碧洪

摘? ? 要? 數(shù)學(xué)概念是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。然而學(xué)生在概念學(xué)習(xí)時存在語言能力障礙、邏輯能力障礙、抽象能力障礙，影響了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握，突破數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)障礙的路徑包括概念形成、概念同化和概念運用。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)概念 學(xué)習(xí)障礙 概念形成 概念同化 概念運用

中小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)兩種情形：其一是學(xué)生對數(shù)學(xué)語言理解模糊不清，認(rèn)知結(jié)構(gòu)混亂，無法準(zhǔn)確區(qū)分概念間的不同，適用條件不準(zhǔn)確;其二是學(xué)生對基本概念只會死記硬背，機械化記憶，而不去真正分析對比、理解掌握，常常混淆新舊概念，久而久之，會嚴(yán)重影響對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解運用，打擊學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性與自信心。只有突破數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)障礙，正確理解、掌握基本概念，才能夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能，增強學(xué)習(xí)信心。因此，如何有針對性地幫助學(xué)生正確理解和掌握概念，對過往錯誤概念進行修正，建立科學(xué)的概念學(xué)習(xí)方式，便顯得十分重要[1]。

一、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)障礙的具體表現(xiàn)

概念教學(xué)是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，因為數(shù)學(xué)概念是計算、判斷、推導(dǎo)的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確地理解概念是正確解題、運用的前提。反之，假若不能正確地理解數(shù)學(xué)中的各種概念，那么相關(guān)的公式、定理、法則的理解就會更加困難，應(yīng)用所學(xué)知識去解決實際問題就會張冠李戴、漏洞百出。然而，數(shù)學(xué)概念具有抽象性、邏輯性特點，加之中小學(xué)生年齡小、生活經(jīng)驗不足、智力發(fā)展參差不齊等方面的原因，在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中常常出現(xiàn)各種不同的學(xué)習(xí)障礙，我們要結(jié)合學(xué)生身心發(fā)展特點去分析他們產(chǎn)生概念學(xué)習(xí)障礙的根源，才能更好地進行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。

1.語言能力障礙

由于數(shù)學(xué)概念要通過數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，數(shù)學(xué)語言缺失是學(xué)生概念學(xué)習(xí)障礙的常見問題，數(shù)學(xué)語言能力的障礙表現(xiàn)為：對數(shù)學(xué)語言符號的不理解，不能抽取數(shù)學(xué)語言的特征信息，不能清晰準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)概念，不能完整準(zhǔn)確地書寫數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)概念。在課前復(fù)習(xí)概念的提問中，有的學(xué)生知道概念的含義，但不能用自己的語言表達(dá)出來，表達(dá)不規(guī)范、不清晰，數(shù)學(xué)語言薄弱;有的學(xué)生喜歡死記硬背，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時總是重述教材中的定義，但不理解概念的內(nèi)涵，不會用自己的語言進行表述[2]。

2.邏輯能力障礙

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)障礙還體現(xiàn)為邏輯能力薄弱。邏輯思維的強弱直接影響到學(xué)生透過表象認(rèn)知本質(zhì)、通過具體認(rèn)知抽象的能力，影響認(rèn)知的關(guān)聯(lián)性和合理性，影響到新舊概念的重新建構(gòu)。邏輯能力障礙主要表現(xiàn)在邏輯能力缺失、邏輯思維混亂、邏輯不嚴(yán)謹(jǐn)。邏輯能力的缺失、邏輯思維混亂，常導(dǎo)致學(xué)生用虛假命題推導(dǎo)，或用違反正常思維的方式去理解概念，對概念的理解學(xué)習(xí)只能按照自己的思維進行，對概念學(xué)習(xí)產(chǎn)生極大誤導(dǎo)。邏輯的不嚴(yán)謹(jǐn)常使學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過程中考慮不周全，管中窺豹，影響對概念的準(zhǔn)確理解判斷[3]。

3.抽象能力障礙

抽象概括能力是對事物由感性認(rèn)知提升到理性認(rèn)知的能力。通常情況下，須要從事物或現(xiàn)象的外部特征觀察開始，對不同事物進行比較，找到它們的共同點，并對這些共同點加以抽象概括，解釋某一類事物或現(xiàn)象的本質(zhì)特征，抽象概括的深度廣度、準(zhǔn)確性、完整性都會關(guān)系到概念的認(rèn)知。抽象概括能力是隨著知識的積累而不斷提高的，是對客觀事物觀察后的高度總結(jié)。中小學(xué)生的思維暫時處于發(fā)展階段，抽象能力障礙使得學(xué)生看待問題只停留于表面，不能從事物的本質(zhì)方面、主要方面提取，將本質(zhì)與非本質(zhì)的東西混淆，加大了數(shù)學(xué)概念理解的難度[4]。

二、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)障礙的突破路徑

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)向來不是一個簡單的教師向?qū)W生傳遞的過程，而是學(xué)生感性認(rèn)知、逐步理解和建構(gòu)的過程。心理學(xué)家皮亞杰的同化和順應(yīng)理論認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是一個由感性到理性、由低級到高級的不斷拓展、加深的過程。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)也要歷經(jīng)概念形成與概念同化，并在實際運用中驗證強化，才能逐步建構(gòu)清晰完整的數(shù)學(xué)概念體系。

1.概念的形成

概念形成[5]是學(xué)習(xí)者對同類事物的各種實例進行分析，對比它們與其他事物的區(qū)別，從而發(fā)現(xiàn)這類事物的共同特征。具體過程如下：辨別刺激模式—分化刺激模式的屬性—抽象刺激模式的共同屬性—檢驗假設(shè)、確認(rèn)關(guān)鍵屬性—概括并形成概念—推廣關(guān)鍵屬性—表示新概念。

在概念形成過程中，辨析刺激模式、本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性的分化這兩步是關(guān)鍵。首先要選用直觀形象的刺激物引入。數(shù)學(xué)概念具有抽象性和邏輯性，小學(xué)生的思維特點仍以感性思維為主，正處在從感性具體的形象思維向理性抽象的邏輯思維發(fā)展階段。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)要遵循小學(xué)生思維發(fā)展特點，要循序漸進，從簡單到復(fù)雜，從感性到理想，特別是遇到一些遠(yuǎn)離學(xué)生實際經(jīng)驗的概念時，更應(yīng)注意直觀形象。比如長方形概念的教學(xué)，可以讓學(xué)生觀察身邊熟悉的桌面、墻面、黑板面等事物，進而引入長方形概念。

其次是重視本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性的分化。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，概念本質(zhì)屬性的抽取是數(shù)學(xué)概念掌握的關(guān)鍵，應(yīng)從事物的整體、本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，分離出概念的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，重點強調(diào)其本質(zhì)屬性，促進學(xué)生對概念的理解掌握。例如分?jǐn)?shù)知識點的教學(xué)，分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)屬性是“單位1”和平均分，也就是讓學(xué)生掌握平均分的對象和平均分的方法，通過分圓、修道路等學(xué)生熟悉的實例用分?jǐn)?shù)表示，詳述怎樣把一個事物平均分成若干等份。

2.概念的同化

概念同化是揭示同類事物的關(guān)鍵屬性并用數(shù)學(xué)語言方式進行表述，利用頭腦中已經(jīng)掌握的概念去接受一個新的從屬概念。具體過程如下：揭示概念的關(guān)鍵屬性—突出概念的本質(zhì)特征—建立新舊概念聯(lián)系—肯定與否定案例辨析新舊概念—同化新概念。

在概念同化過程中，辨析新舊概念與同化新概念是關(guān)鍵。首先要注重辨析新舊概念。數(shù)學(xué)中新概念常會與舊概念產(chǎn)生混淆，教學(xué)中可用對比的方法進行辨析，厘清它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。例如互質(zhì)數(shù)與質(zhì)數(shù)的概念容易混淆，所以在學(xué)完互質(zhì)數(shù)的概念后，要及時對兩個概念進行比較：互質(zhì)數(shù)是表示兩個數(shù)的關(guān)系，而不能把一個數(shù)稱為互質(zhì)數(shù)，如果a與b的公約數(shù)只有1，我們稱作a與b是互質(zhì)數(shù)。例如3與4的公約數(shù)只有1，就稱3與4是互質(zhì)數(shù)，若單獨把3叫做互質(zhì)數(shù)，或者把4叫做互質(zhì)數(shù)都是不正確的。而質(zhì)數(shù)只針對一個數(shù)，取決于這個數(shù)本身具有的性質(zhì)。如5的約數(shù)只有1和5本身，所以5是質(zhì)數(shù)。因此，讓學(xué)生明確一個數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，與其他的數(shù)無關(guān);而兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，與這兩個數(shù)是否是質(zhì)數(shù)無關(guān)，如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)可能都為質(zhì)數(shù)、也可能一個數(shù)是質(zhì)數(shù)一個數(shù)是合數(shù)，還可能兩個數(shù)都為合數(shù)，例如8與9是互質(zhì)數(shù)，但8與9都是合數(shù)[6]。

其次重視新舊概念聯(lián)系，同化新概念。認(rèn)知心理學(xué)家布魯納和奧蘇伯爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和再組織，把新概念納入原有概念知識體系，新舊概念發(fā)生相互作用，新概念才能在學(xué)生的頭腦中獲得意義。例如學(xué)習(xí)梯形概念后，要將所有學(xué)過的四邊形進行概括分類，整理成圖1：

這樣學(xué)生就能對所有學(xué)過的四邊形有個清晰的認(rèn)知，四邊形的概念結(jié)構(gòu)也更加完備。

3.概念的運用

數(shù)學(xué)課程目標(biāo)不僅要求學(xué)生了解概念產(chǎn)生的背景，理解基本數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，還要求學(xué)生具備運用數(shù)學(xué)概念分析解決問題的能力。靈活運用概念能力是理解掌握概念的重要標(biāo)志。概念的運用聯(lián)系，一方面可以鞏固新概念并加深理解概念的本質(zhì)，另一方面有利于建立數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，擴大概念知識的網(wǎng)絡(luò)。例如，學(xué)習(xí)完分?jǐn)?shù)的乘法與除法概念后，用下面的例子進一步鞏固[7]。

2.王兵看一本書，第一天看了全書的，第二天看了剩下的，還剩下全書的幾分之幾？

通過例子的練習(xí)，使學(xué)生及時鞏固分?jǐn)?shù)乘法和除法概念以及對應(yīng)的運算法則，熟練分?jǐn)?shù)運算的求解要點，在運用分?jǐn)?shù)乘法和除法概念解決問題的過程中進一步鞏固分?jǐn)?shù)乘除的概念。

參考文獻

[1] 杜成智.數(shù)學(xué)理解在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運用[J].教學(xué)與管理，2019（10）.

[2] 何紫嫦.培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言能力促進學(xué)生思維發(fā)展[J].教育導(dǎo)刊，2010（05）.

[3] 張孝玉.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生初步的邏輯思維能力[J].山東教育科研，1997（03）.

[4] 李昌官.數(shù)學(xué)抽象及其教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017，26（04）.

[5] 林志華. 冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的教學(xué)調(diào)查研究[D].福州：福建師范大學(xué)，2017.

[6] 呂程，王凌.概念域：數(shù)學(xué)概念教學(xué)的應(yīng)有視角[J].教學(xué)與管理，2019（08）.

[7] 陳濤清.小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的優(yōu)化策略[J].教學(xué)與管理，2015（26）.

[責(zé)任編輯：陳國慶]