基于擴展卡爾曼濾波的二維彈道修正彈制導算法研究

何子達，王亞飛，王海川

(江蘇自動化研究所，江蘇 連云港 222006)

0 引 言

隨著現代戰爭在遠程精確打擊方面的需要，將彈道探測及控制技術應用于常規炮彈的彈道修正彈應運而生。固定鴨舵二維彈道修正彈作為介于榴彈炮和導彈之間的一種制導炮彈，比榴彈炮射程遠、命中精度高，比導彈成本低，在現代化戰爭中扮演著越來越重要的角色。

落點預測是彈道修正控制技術研究的重點部分，文獻[1]采用擴展卡爾曼濾波對攻角修正系數進行評估，并根據攻角修正系數確定了四自由度彈道模型；文獻[2]基于模糊控制理論和動態徑向基函數(RBF)神經網絡在線辨識理論，提出落點預測導引律；文獻[3]給出了一種綜合拋物線擬合、最小二乘法、非線性濾波等算法的落點預測方案；文獻[4]以修正機構縱橫向最大修正能力之比為比例因子，改進了滾轉角的計算；文獻[5]基于攝動理論和逐次逼近優化方法，建立了參考彈道和發射條件的快速求解方法；文獻[6]研究影響落點預測精度主要因素；文獻[7]剔除異常值提高落點預測精度。

之前的研究人員在對彈道積分初始點做濾波估計時，往往考慮的是使用無控彈道模型濾波估計。而二維彈道修正能力較弱，在大部分情況下都是處于有控狀態飛行，這時如果依舊利用無控彈道方程濾波估計會帶來一定的誤差。本文基于有控質點彈道模型，利用擴展卡爾曼濾波算法，對一條有噪聲的彈道進行濾波估計，得到當前時刻的狀態估計值，選取快速積分算法，以濾波估計值作為積分初始點，外推彈道得到預測落點，并依據預測落點得到指導指令，最后通過仿真實驗驗證該算法的可行性。

1 固定舵二維彈道修正彈制導流程

圖1 二維彈道修正彈制導控制流程圖

2 數學模型

2.1 彈道模型

由固定鴨舵二維彈道修正彈的工作原理可知，在彈道修正指令計算的過程中，彈道濾波、落點預測及指令解算環節均發揮著重要的作用，而彈道模型是進行彈道濾波及落點預測的基礎。二維彈道修正彈的控制對制導指令解算的快速性和實時性具有較高的要求，現階段彈載計算機運算能力有限，難以滿足快速解算七自由度剛體彈道的需求，而常規的質點彈道模型又忽視修正組件控制效果的影響，無法對有控彈道進行解算。故本文在常規無控質點彈道濾波方程基礎上引入控制量，建立二維彈道修正彈有控濾波模型[8]：

(1)

(2)

(3)

bx*=(bx-kxd)/cosθ0

(4)

選取狀態量為地面坐標系下的位置、速度分量：

X=[x,y,z,vx,vy,vz]T

(5)

可以得到狀態方程：

(6)

2.2 GPS量測模型

二維彈道修正彈在飛行中是通過彈載計算機GPS接收模塊接收衛星信號，從而得到彈丸當前的位置、速度信息。因此可選取衛導測量得位置速度等信息構建觀測矢量[10]：

那如果孩子覺得被欺負了，怎么辦？對于學齡孩子可以參考我們之前發表過的一篇文章（《怎樣的孩子容易被霸凌，怎樣的會霸凌人？》）的建議，而對于學齡前的寶寶，你需要給他選擇一些簡單的做法，而不是像那種“打得過就打，打不過就跑”這種粗糙模糊的建議，對于他們這過于復雜了。

y=h(X)+ν=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]+ν

(7)

式中：ν為GPS量測噪聲誤差，ν～N(0,R)。

2.3 擴展卡爾曼濾波算法

擴展卡爾曼濾波算法的原理是：對非線性狀態方程以及觀測方程進行局部泰勒展開，得到近似線性方程，然后利用傳統的離散型卡爾曼濾波方程遞推狀態估計量。

對式(6)利用泰勒展開得到線性化后的離散方程：

(8)

擴展卡爾曼濾波的遞推方法如下：

(1) 一步狀態預測方程：

(9)

(2) 一部預測均方誤差：

(10)

(3) 濾波增益矩陣：

(11)

(4) 狀態估計方程：

(12)

(5) 估計均方誤差方程：

(13)

2.4 制導指令的解算

根據擴展卡爾曼濾波算法，得到彈道的狀態估計值后，即可以此為起始點，利用彈道積分算法外推無控彈道，得到預測的無控落點(xP,zP)。基于質點彈道模型的無控彈道快速積分算法在多篇文獻中已有闡述，本文不再贅述。根據無控落點與目標點(xT,zT)的距離偏差，即可進行控制指令的解算。

(1) 若Δd≤D

此時，無控落點與目標點位置較為接近，無需對彈道進行修正控制，即可得到較高的落點精度。因此，該情況下可使執行機構保持自由滾轉狀態，直至下一個預測周期。

(2) 若Δd>D

此時無控彈道落點與目標點偏差較大，須對彈道進行修正控制。由式(14)可知，修正落點相對于無控落點的方位角與控制角度的相位差約為180°，因此，固定舵滾轉角指令可通過下式進行計算[11]：

(14)

3 仿真結果

3.1 擴展卡爾曼濾波仿真

對固定舵二維彈道修正彈進行彈道仿真，為使仿真結果和實際飛行情況盡量一致，結合實彈飛行試驗結果，對彈藥的氣動力系數及力矩系數進行了離線辨識。為了模擬初速、射角、射向、氣動力參數、風速等因素對彈道的影響，在七自由度彈藥仿真中疊加了多類正態分布的隨機誤差，主要誤差取值范圍如表1所示。

表1 隨機擾動數值

仿真條件為：初速度850 m/s，射角48°，衛星導航數據率為10 Hz，令固定舵自飛行15 s后，始終保持固定舵修正機構滾轉角為45°的施控狀態，直到彈丸落地，對全彈道濾波，選取15 s～25 s，如圖2～圖4所示。

圖2 X向位置估計誤差

圖3 Y向位置估計誤差

圖4 Z向位置估計誤差

由圖2～圖4可以看出，估計誤差基本在3 s內完成了收斂，說明基于擴展卡爾曼濾波的有控彈道濾波精度高、收斂快，適用于彈道參數估計。據此可選取濾波時間長度為3 s，進行落點預測及控制指令解算。對1條有噪聲的彈道進行濾波估計，結果如表2所示。

表2 噪聲與濾波結果對比

從表2可以看出，速度估計誤差大部分可以保持在0.2 m/s以內，位置估計誤差基本保持在3 m以內，說明基于有控彈道模型的擴展卡爾曼濾波估計精度高，適用于二維彈道修正彈飛行過程中的參數估計。

3.2 制導控制仿真驗證

在40°射角，從彈丸出炮口15 s開始修正，每隔5 s進行1次落點預測，按照表1誤差條件進行仿真，以目標點坐標為(22 950,600)m為例，某條件下無控落點實際坐標為(23 099，671)m，其射程方向與目標點相比偏差遠149 m，側偏方向偏左71 m。對于該算例，制導系統在15 s開始起控，每隔3 s解算1次落點并計算滾轉角指令，將彈藥不斷向目標點引導。圖5～圖6分別為該過程中預測落點及控制指令的變化曲線。從圖5可以看出，落點的射程偏差從149 m縮減至14 m，側偏從71 m縮減至2 m，表明本文制導算法具有良好的制導精度。

圖5 預測落點坐標變化曲線

圖6 控制指令變化曲線

為了進一步驗證制導控制系統的導引精度，采用了蒙特卡洛打靶方法，在射角40°、目標點位于(22 950,600)m情況下進行仿真，結果如圖7所示。仿真結果表明，通過二維彈道修正，可以顯著降低無控彈藥落點的散布范圍，并可以將大部分彈藥修正至目標點附近位置。在40°射角情況下，圓概率誤差(CEP)約為28 m。

圖7 48°射角條件下二維修正彈落點散布圖

4 結束語

本文提出了一種基于擴展卡爾曼濾波的有控彈道濾波估計及制導控制指令解算方法。與傳統的無控彈道濾波算法相比，在濾波狀態模型中引入了控制量，通過對有控彈道進行濾波，獲取彈藥的狀態估計值。仿真結果表明，該方法有效地減小了衛導測量精度引起的誤差，提高了落點預測精度，通過閉環制導控制，可以顯著降低落點散布范圍，提高彈藥的落點密集度。