基于測地線擬合的改進STFT目標檢測方法

張朝星，趙興剛，韓曉軍

(1.解放軍32137部隊，河北 張家口 075000；2.解放軍66136部隊，北京 100042；3.解放軍31675部隊，河北 張家口 075000)

0 引 言

時頻分析[1]通過將一維時域信號轉換為二維時頻域圖像，從而提取有效的圖像特征來判斷有無目標，是實現海雜波背景下目標檢測[2]的一種有效方法。短時傅里葉變換(STFT)作為一種常用的時頻分布[3]，其基本思想是用一個確定寬度的窗函數沿時間軸逐段對信號進行傅里葉分析，得到信號的譜圖。STFT具有許多優點，然而也有其缺點和不足，根據不確定性原理[4]，其時間分辨率與頻率分辨率的乘積恒定，不能同時提高，并且窗的寬度不能根據不同頻率實現自適應調整，時頻分辨力較低，導致使用STFT方法對海雜波背景下的弱小目標進行檢測時效果較差。

曲線擬合選擇一條合適的曲線來最佳地擬合觀測數據，在歐式空間中，常見的曲線類型有二維直線、拋物線、橢圓等。在功率譜的信息幾何理論[5]中，所有功率譜的集合可以看做一個黎曼流形[6]，則對回波數據進行STFT處理后所得到的不同時間點的功率譜就對應了流形上的若干點。類比于歐式空間中的曲線擬合，本文提出了一種使用流形上的距離和測地線[7]對不同時間點的功率譜進行曲線擬合以提高其時頻分辨力的方法。由于STFT是一種線性變換，我們選擇歐式空間中的直線在流形上的推廣(即測地線)對不同點的功率譜進行擬合。在具體的實現過程中，歐式空間使得給定數據與所選擇曲線對應點的歐式距離總的平方和最小(最小二乘法)[8]。轉換到流形上以后，實現方法不變，但歐式距離要替換為兩功率譜間的距離。我們選擇M-K運輸問題[9]中的運輸距離作為兩功率譜之間的差異度量，得到了相應的黎曼度規，對STFT后的譜圖實現了測地線擬合。擬合后的譜圖對于單一點的功率譜進行了重構，使其更加平滑和準確。其次擬合所用測地線對不同時間點的功率譜實現了時域上的平滑，時間分辨率也得到提高，進而整體提高了譜圖的時頻分辨力，STFT的檢測性能得到改善。

1 基于信息幾何的功率譜曲線擬合

1.1 運輸距離及測地線

在上節中已提到，具體實現流形上的擬合時，要將最小二乘法中的歐式距離替換為2個不同時間點功率譜之間的距離，且該距離除了滿足對稱性和三角不等式等距離的一般性質外，還必須要滿足弱連續性[10]，以使得功率譜能夠收斂，即隨著2個功率譜的“靠近”或“遠離”，該距離能相應地減小或增大。因此，我們選用了M-K運輸問題中的運輸距離來度量兩功率譜之間的差異，對于2個歸一化的密度函數f0和f1，其運輸距離定義如下[9]：

(1)

式中：X=[-π,π]；ψ(x)為一個f0和f1之間的保測度映射，即：|detψ(x)|f1(ψ(x))=f0(x)。

在一般情況下，ψ(x)可通過下式計算得到[9]：

F0(θ)=F1(ψ(θ))

(2)

(3)

當f1是f0的一個小的增量時，可由運輸距離得到一個黎曼度規，并稱之為運輸度規[11]：

(4)

(5)

定義了流形上的度規，就可得到f0和f1之間由梯度流決定的測地線[12]：

Fτ((1-τ)θ+τψ(θ))=F0(θ)

(6)

式中：ψ(θ)可以通過式(2)計算；Fτ為fτ的積累函數。

1.2 流形上的曲線擬合

有了2個功率譜之間的距離和測地線，我們就可以在流形上對功率譜進行曲線擬合。假設給定一個功率譜序列：G={gτi(θ):θ∈[-π,π],i=0,1,…,n}，其中τi是一個指代時間的歸一化序列，且τ0=0,τn=1。這些功率譜通常可以通過對觀測數據進行短時傅里葉變換(STFT)得到，τi(i=0,1,…,n)可看做STFT中對應時間窗的中點。令d代表兩功率譜之間的距離，則曲線擬合的過程就是尋找一條測地線fτ,τ∈[0,1]，使得下式取得最小值：

(7)

利用運輸距離及其相應的測地線來實現該過程，則整個測地線擬合的目標就是要確定一條測地線fτ,τ∈[0,1]，使得下式取得最小值：

(8)

任意一條測地線都可以完全由兩“點”確定，在這里就是指f0和f1。另外，它也可以根據式(2)和式(6)中的Ψ確定。f0,f1和Ψ是根據STFT處理后得到的功率譜G來確定的，根據式(3),有：

(9)

根據式(6)，由ψ(θ)可得f0和f1之間測地線fτ的具體表達式為：

F0(θ)=F1(ψ(θ))=Fτi((1-τi)θ+τiψ(θ))

(10)

(11)

將式(11)代入式(9)，則目標函數可寫為：

(12)

(13)

(14)

所以Jg(f0,f1)可以通過以下的求和式進行近似：

(15)

所以，功率譜的測地線擬合就轉化為了以式(15)為目標函數的最優化問題，其線性約束為：

(16)

圖1 功率譜測地線擬合示意圖

2 仿真實驗

本節采用加拿大McMaster大學提供的IPIX雷達#320號數據[14]對本文所提方法的檢測性能進行驗證，該數據文件包含14個距離單元，每個單元由131 072個采樣樣本構成，其中第7個單元為主目標單元，第6、8、9單元為次目標單元，其余為純雜波單元。

首先將第1個距離單元的采樣數據作為雜波背景，通過STFT分析海雜波本身的譜特性。取觀測數據樣本長度為256，窗函數寬度為32，時間窗重疊區域寬度為16，脈沖重復頻率fr=1 000 Hz，可得第1個距離單元的海雜波二維譜圖，如圖2所示。

圖2 第1個距離單元的海雜波二維譜圖

從圖2中可以看出，海雜波譜是非對稱的，由于海浪的移動，使得譜的主瓣偏離零頻，雜波能量主要集中在[-200 Hz,0 Hz]這個區間內，下面將仿真目標信號加到第1個單元的純海雜波數據中，設雷達在該距離單元觀測的復包絡信號為：

x(n)=s(n)+v(n),n=1,…,N

(17)

式中：s(n)=aej(2πfdn/fr)，a為信號幅度，fd為目標多普勒頻率。

令信噪比分別取0 dB和4 dB,目標多普勒頻率分別取-100 Hz(主雜波譜區)和100 Hz(非主雜波譜區),分別給出相應的STFT變換后的譜圖，如圖3所示。

圖3 海雜波加仿真信號后STFT三維譜圖

從圖3(a)和圖3(c)中可以看出，當目標頻率處于非主雜波區(fd=100 Hz)時,可以非常輕易地從STFT變換后的時頻圖像中判斷目標的存在。但當目標頻率處于主雜波區(fd=-100 Hz)時，如圖3(b)和圖3(d)所示，信噪比較高時，還可以從譜圖中對目標進行辨別；但在低信噪比(SNR=0 dB)時，目標被雜波淹沒，受譜圖分辨力的限制，很難判斷目標的存在。

然后就可以用Matlab中的最優化工具箱對該問題進行求解。對應圖2中的4種情況，擬合得到的4條測地線的2個端點如圖4所示。

圖4 擬合得到的測地線端點圖

圖5 擬合處理后的譜圖

從圖4中單個時間點的功率譜已經可以初步判斷各個情況下目標的存在，但當目標處于主雜波區時，還不夠明顯。根據式(11)，有了2個端點就可以確定一條測地線，進而就得到了測地線上各個時刻的功率譜，如圖5所示。

從圖5中可以看出，當目標處于主雜波區(fd=-100 Hz)并且信噪比較低時(SNR=0 dB)，與圖3(d)相比，圖5(d)中可以明顯地看到一條凸出的“山脊”，其所在頻率位置與目標多普勒頻率相近，進而就可以較容易地判斷目標的存在。

以上結果都是將仿真目標信號加到純雜波數據上進行處理的，下面直接對實際有目標的第7個距離單元數據進行STFT變換，并進一步進行測地線擬合，給出處理結果如圖6所示。

圖6 第7個單元(主目標單元)STFT+測地線擬合處理后的譜圖

IPIX實測數據是由雷達對漂浮于海面直徑約1 m的金屬球持續照射得到的，該金屬球會隨著海浪的波動進行漂移，但其運動速度與海浪運動速度相比相對較小，因而體現在功率譜上即其能量主要集中在零頻附近，且其運動是無規律的，目標RCS和速度都會隨著時間推移而發生變化，因而其功率譜也會隨時間變化。從圖5中可以非常明顯地看到，在零頻附近有一條凸出的脊線，而且這條脊線并不像加仿真目標信號時形狀比較規則，而是在時域上有一定起伏和變化，這與實際目標狀況是相符的，因而就可以判斷目標的存在。

3 結束語

本文根據功率譜的信息幾何理論，提出利用流形上的距離和測地線對STFT變換后的不同時間點的功率譜實現曲線擬合，以提高其時頻分辨力；并通過推導,將該擬合過程轉換為可用數值方法解決的具有線性約束的最優化問題，使其容易求解；最后在仿真實驗中，分別利用IPIX實測純海雜波數據加仿真目標信號和本身帶目標的海雜波數據2種方式對所提方法的性能進行了測試，驗證了本文方法的有效性。