培養高中數學核心素養的教學實踐研究

胡媛媛

摘要：以“等比數列”為例，探究在數學教學中如何將數學核心素養的培養融入課堂的各個環節，合理設計教學過程，讓學生體會等差與等比的異同，并取得較為理想的教學效果。

關鍵詞：核心素養 ?等比數列 ?情境

一、研究背景

教育部明確要求各個學校要結合學生的特點與實際情況，把核心素養的培養落實到教學過程中。《普通高中數學課程標準》中明確定義了數學學科核心素養的概念，指出了其組成要素及其之間的聯系。目前，此方面研究方興未艾，章建躍從教材編寫一般規律的角度，探討核心素養的落實;孫成成討論了數學核心素養的發展路徑。這些豐碩的研究成果，極大地推動了學科發展。而把數學核心素養融合于教學活動中，有利于學生的全面發展。

二、剖析內容，梳理難點

等比數列是教材中的第二個特殊數列，如何在核心素養的視角下設計教學過程？筆者遇到了下面的幾個困惑：

（1）如何合理設計情境，引導學生發現規律，自然地引出概念，培養學生數學建模與抽象的能力？

（2）能否用一個數學情境貫穿始終，使課堂形成一個整體？

（3）如何設計教學活動，連接教學內容，使教學過程銜接自然，培養學生邏輯推理與直觀想象的能力？

（4）如何設計例題與練習，加深內容理解并鞏固掌握，培養學生數學運算與分析的能力？

三、科學設計，提升素養

1.創設情境，引入新課

探究：如果能將一張厚度為0.1毫米的《大江晚報》第一次對折，第二次對折，第三次對折，……（假設可以一直折下去），那么，對折30次后，你覺得這時報紙的厚度更接近于（ ??）。

A.《新華字典》的厚度（3厘米）

B.迪拜塔的塔高（828米）

C.合肥市區到蕪湖市區的直線距離（約122千米）

D.地球與月球之間的平均距離（約38萬千米）

【設計意圖】通過對報紙對折后厚度的猜測，引起學生探究問題的興趣，發生思維碰撞，激發學生問題再探的興趣。

通過對對折后報紙的層數變化及面積變化的研究，抽象出如下四個數列：

師：請同學們仔細觀察上面的四個數列并認真思考，上面敘述的數列有哪些共同的特征？

生：相鄰兩項的比是一樣的。

師：我們在等差數列里面是不是也得到過類似的關系？那么，相鄰兩項的比是一樣的數列，我們是不是也可以給它一個新的稱呼？

生：等比數列。

【設計意圖】從一個實際問題中抽象出了四個等比數列，這里既有時間上的考慮，也有對不同公比等比數列的展示，培養了學生核心素養中數學建模的能力。

2.探究新課，理解概念

師：你能參考我們之前學習過的等差數列，嘗試寫出等比數列的定義嗎？

（1）定義：一般的，如果一個數列從第2項起，……

師：你能嘗試用符號語言來定義等比數列嗎？

【設計意圖】類比是本節課中運用的主要思想，所以在等比數列定義的歸納與整理部分采用了這一思想。類比思想的滲透，提升了學生數學抽象的核心素養。

（2）等比中項

師：兩項能構成等比數列嗎？

生：不能。

師：那最簡單的等比數列至少需要幾項？

生：三項。

師：如果一個等比數列的第一項是1，第三項是9，你能求出第二項G嗎？

生：3，或者-3。

師：你是如何得到第二項的呢？

師：一般的，如果a、G、b是等比數列，那么G叫作a與b的等比中項。

師：你能寫出G與a、b的關系嗎？

師：那么，這時對a、b有什么要求？

生：同號。

【設計意圖】從最簡單的等比數列出發，有意識地引導學生形成從簡單到復雜，從特殊到一般的思維方式。引導的過程，著力使學生感受知識的形成過程是自然的，在求解過程中追本溯源，引導學生找到問題的根本。

讓學生自己列舉出一些等比數列的例子，并抽出部分進行點評。

師：同學們列舉的數列很豐富，數列中的項有正數，也有負數，但是沒有零，那么，零可以作為等比數列的項嗎？

生：不能。因為不滿足定義，所以等比數列的任何項都不能為零。

師：這里我們還看到了非零常數列，它是等比數列嗎？公比是多少？

生：是的，q=1。而且，非零常數列是一類特殊的既等差又等比的數列。

【設計意圖】學生自己舉例，感受等比數列的特性，再通過問題引導幫助學生更好地理解等比數列的定義，同時用投影顯示學生舉例，規范數列的寫法。

師：你是怎樣得到這個數列的？

生：先確定首項，再確定公比。

師：此數列的第85項是多少？有沒有更便捷的方式能直接得到數列中的項呢？

生：利用通項公式。

師：如果我們已知等比數列中{an}，首項為a1，公比為q，你能類比等差數列，獲得等比數列的通項公式嗎？（學生自主推導）

【設計意圖】從學生舉的例子出發，通過問題引導學生一步步地歸納出確定等比數列的首項與公比，讓學生自己去類比、歸納和推導，發現并理解，提升邏輯推理的核心素養。

（4）圖像

引導學生從解析式和圖像兩個角度研究等比數列和與其對應的指數型函數的關系。從圖像上看，表示數列中各項的點都在與其對應的指數型函數圖像上，它們是函數圖像上的一些孤立的點。因為數列是以正整數集或其有限子集為定義域的特殊函數。

【設計意圖】讓學生從數（結構特征）與形（圖像）上進一步認識到等比數列的通項公式與指數型函數之間的關系，培養學生直觀想象的能力。

3.講解例題，加深理解

例1：一個等比數列的第2項和第3項分別是8和12，求它的第1項和第4項。

例2：一個等比數列的第1項和第3項分別是2和4，求它的第2項。

變式練習：一個等比數列的第1項和第5項分別是2和4，則它的第3項是 ???。

思考：（1）在等比數列{an}中，每隔k項取出一項組成一個新的數列，這個新數列是等比數列嗎？

【設計意圖】讓學生熟悉概念與公式，加深對本節內容的理解，并培養學生數學運算、數據分析的核心素養，同時引出下一節課的探究內容，為第二課時埋下伏筆。

4.課堂小結，類比歸納

師：你能類比已學過的等差數列的知識，回顧今天所學習的內容嗎？

【設計意圖】列出表格，對比聯系，清楚直觀。

5.情境回顧，前后呼應

師：我們現實生活中，有很多等比數列的模型，你能想到哪些？（設置討論）

師：從數學的角度抽象了現實生活中與等比數列相關的模型，那我們今天最開始的時候，是不是也有一個等比數列的模型？現在，你的選擇有改變嗎？

生：由于對折后報紙的層數是a31=230，所以對折后報紙的厚度是0.1×230毫米，約等于107千米，所以應該選C。

師：很好。所以，我們現實生活中很多問題需要進行精準的數學分析。

【設計意圖】從實際問題中來，再回到實際問題中去，用一個數學情境貫穿始終，使課堂成為一個整體，激發學生數學學習的興趣，并回歸認識現實生活中的數學現象。

四、教學思考

本節教學融合了類比、歸納、數形結合教學思想，實現了“現實情境—數學模型—回歸實際問題”的遞進過程，注意了數學知識的內在聯系，并側重培養了學生的數學核心素養，但在通項公式與方程思想的滲透上稍有欠缺。就課堂反饋情況來看，教學引導比較合理，講解較為透徹，實現了重點突出、前后呼應的效果，師生互動良好而有效，課堂氣氛融洽，收到了預期的教學效果。

參考文獻：

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[5]中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·數學·必修5[M].北京：人民教育出版社，2007.

責任編輯：黃大燦