初中數學教材理解的視角分析

孫凱 耿恒考

【摘 要】數學教材是學生數學學習活動的載體，理解教材是教師上好課的前提。新入職教師表現出“不讀”和“淺讀”教材的現象，導致課堂教學“低效”?；诶斫饨滩牡囊暯窃u析“有理數加法”同課異構活動，提出從整體布局、內容設置、聯系發展、隱性知識、方法策略等視角理解教材，提升教學水平，促進新入職教師的專業發展。

【關鍵詞】專業發展;理解教材;有理數的加法;對比評析

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2020）19-0036-05

【作者簡介】1.孫凱，江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校（江蘇蘇州，215151）教師，高級教師;2.耿恒考，江蘇省蘇州中學園區校（江蘇蘇州，215000）教師，正高級教師，江蘇省特級教師。

《中共中央國務院關于深化教育教學改革全面提高義務教育質量的意見》指出：充分發揮教師主導作用，引導教師深入理解學科特點、知識結構、思想方法，科學把握學生認知規律，上好每一堂課。理解教材是教師上好課的先決條件。就數學學科而言，深入理解學科特點、知識結構、思想方法就是理解教材、理解數學。數學教材是編寫者基于數學課程標準的深刻理解，遵循學生心理特點和認知規律，為實現數學課程目標而編寫的教學資源，它凝聚著編寫者的心血和智慧，是學生數學學習活動的載體，教師能否正確理解教材并領會教材編寫者的意圖，是發揮教師主導作用，實現數學課程目標和落實立德樹人根本任務的關鍵。

新手教師對教材的研讀往往還停留在學生的視角，面對教材上的“試一試”“做一做”“數學實驗室”“議一議”等教學內容時往往只看到表面現象，常常表現出“不讀”和“淺讀”的異化現象[1]，在設計意圖的把握以及教學價值的挖掘等方面存在明顯不足，教學中往往按部就班、照本宣科地實施教學，導致課堂教學“低效”甚至“無效”。近期，筆者參與了兩位新入職教師（下文簡稱“A教師”“B教師”）的同課異構活動，課題為蘇科版七年級上冊“有理數的加法”?，F簡述兩位教師的教學設計，基于教材的理解對情境創設、新知探索、新知應用等環節進行對比評析，談談研讀教材、理解教材的幾個視角。

一、教學設計呈現

1.A教師的教學簡錄。

（1）情境創設。

問題1：引入負數后，如何進行有理數的加法運算？

情境1：甲、乙兩隊進行足球比賽。如果甲隊在主場贏了3球，在客場輸了2球，那么兩場比賽后甲隊凈勝1球。

①你能把上面比賽的過程及結果用有理數的算式表示出來嗎？

②填寫表格（表1）。

（2）新知探索。

活動1：對情境中的算式進行分類，總結運算的特征，初步形成有理數加法法則。

活動2：筆尖在數軸上移動，驗證算式的運算過程及結果。

把筆尖放在數軸的原點，沿數軸先向左移動5個單位長度，再向右移動3個單位長度，這時筆尖停在“-2”的位置上。用數軸（圖1）和算式可以將以上過程及結果分別表示為：

算式：

在數軸上動手操作其他類型的兩次移動并寫出相應的算式。觀察算式特征，歸納概括并形成有理數加法法則。（板書法則）

（3）新知應用。

例題計算：①（-15）+（-3）;②（-180）+（+20）;③5+（-5）;④0+（-2）。

根據法則，板書例題的運算步驟，總結為“定類、定號、定值”。

2.B教師的教學簡錄。

（1）情境創設。

問題1：比較絕對值的大小：①20與30;②-20與-30;③20與-30;④-20與30;⑤-30與0。

問題2：足球循環賽中，通常把贏球數記為“+”，輸球數記為“-”，打平記為“0”，它們的和叫做凈勝球數。注：贏球數（+）+輸球數（-）=凈勝球數。

①在該場比賽中，甲隊主場贏了3個球，客場輸了2個球，兩場比賽后，甲隊的凈勝球數為? ? ? ? ?;

②乙隊主場輸了3個球，客場贏了2個球，兩場比賽后，乙隊的凈勝球數為? ? ? 。

隨后分別給出乙隊主場贏客場輸、甲隊主場輸客場輸、乙隊主場輸客場平、甲隊主場平客場輸等情形。

問題3：根據生活情境，你認為有理數的加法可以分為哪些不同的情形？

（2）新知探索。

活動1：把筆尖放在數軸的原點，讓它做左右方向的運動，我們規定向右為正，向左為負。筆尖先向右移動2個單位長度，再向右移動3個單位長度，那么兩次運動的結果是向? 運動? 個單位長度？如何用算式表示？（圖2）

活動2：如果筆尖從原點先向左移動2個單位長度，再向左移動3個單位長度，那么兩次運動的結果是向? 運動? 個單位長度？如何用算式表示？（圖3）

根據算式特征歸納出同號兩數相加的法則。運用同樣的研究方法，分別得出異號兩數、有一個加數為0兩種類型的加法法則。

（3）新知應用。

例題計算：①（-7）+（-15）;②0+（-10.5）;③（-160）+（+10）;④8+（-8）。

根據法則逐步完成計算，并指出每一步的計算依據（PPT示范計算過程），總結計算步驟：判斷類型、確定符號、絕對值加減。

二、基于教材理解的對比評析

1.情境創設環節。

學生在小學學段學過非負數范圍的加法運算，在初中學段引入負數后，數的范圍擴充到有理數范圍。而有理數的加法是有理數運算的重要基礎，是整個初中代數的基礎。但對學生而言負數是比較抽象的，因此有必要借助現實情境來幫助學生感受有理數加法的現實意義，把數學問題情境化呈現的做法符合學生的心理特點與認知規律，有助于學生在現實情境中依據生活經驗體悟有理數加法的合理性。

教材上設置“足球比賽的凈勝球”情境（下文簡稱“足球情境”）的目的是讓學生在把現實問題抽象成數學問題的過程中，經歷現實問題數學化、模型化等高階思維活動，體會數學模型思想，初步感悟有理數加法運算的特點。需要指出的是這里得到的算式（+3）+（-2）=+1不是根據有理數加法法則得到的，而是依據生活經驗得到的。由此凸顯用數學的方法（數軸）研究數學問題的必要性（為什么要用數軸探索有理數加法）。

在現實情境的選擇上，兩位教師都選擇了教材提供的“足球情境”。A教師使用教材的呈現方式，按部就班地完成表格，得到7個算式。B教師改編了足球情境下的學習任務，以填空的形式引導學生體驗現實情境下的有理數加法運算，并引導學生對有理數加法可能的情形進行分類。這樣的設計重視“分類”過程，但另一方面會忽視“建?！边^程（用算式表示過程及結果），導致分類對象混亂（現實對象還是數學對象），學生的學習可能出現盲從狀態。

2.探索新知環節。

探索新知環節的教學任務是用數學的方法（數軸上的點移動）探索有理數加法的運算過程及運算結果，注重數形結合，把“數”的問題以“形”的方式直觀呈現出來，體會有理數加法的幾何意義，讓學生充分經歷“數”“形”之間的相互轉換，感受運算過程及結果的合理性。

A教師在此環節首先對7個算式進行分類，引導學生觀察算式的過程及結果的特征，分別歸納出同號、異號、加數有0等三類運算的法則（口頭表達），隨后通過“數軸上的筆尖運動”驗證運算的合理性，進一步形成有理數加法法則（文字描述）。B教師在明確有理數加法的分類后，借助“數軸上的筆尖運動”探索有理數的加法，分別設計了從原點出發的同向移動、異向移動等活動，分別探索同號相加、異號相加、加數有0等三種類型的有理數加法法則。顯然，A教師對教材的理解有誤，對情境教學目的以及數軸教學價值的理解有偏差，具體表現為對7個算式的處理過于草率，急于歸納概括形成法則，用數軸驗證法則的合理性，致使部分學生誤認為用數軸的方法解決有理數加法也是很好的方式。B教師對教材的把握更好一些，在明確分類的基礎上，分別設計三種類型的“數軸上的筆尖運動”的探索活動，解決三類有理數加法的運算問題，分批形成法則，發揮了數軸在探索加法法則活動中的價值。

3.新知應用環節。

新知應用環節主要任務是引導學生在具體問題解決的實踐中學會正確、規范地使用有理數加法法則，加深對法則的理解，經歷確定類別、確定結果的符號和絕對值計算等三個過程，學會程序化運算，掌握法則，形成運算技能。

兩位教師在例題教學時，都根據加法法則提煉并歸納有理數加法運算的一般步驟：定類、定號、定值，對有理數加法法則應用于具體運算步驟的提煉，有利于學生簡化記憶，完成程序化運算，提高運算的正確率。B教師在例題教學時，沒有把例題教學過程板書在黑板上，僅以PPT的形式呈現，計算步驟的示范性不夠，導致學生自主計算時出現混亂甚至錯誤的現象。

三、理解教材的幾個視角

我們經常把“教教材”和“用教材教”兩種理念放在一起比較，“用教材教”的理念得到普遍認可，但是不少教師誤解“用教材教”的內涵，不下功夫深入研讀教材，在沒有準確理解教材編寫意圖的情況下就隨意地刪減、補充或更改教材內容，有的甚至輕率地脫離教材進行教學，結果是課堂教學變得沒有章法。[2]611作為一線的普通教師，能理解教材、用好教材，做到并做好“教教材”已屬不易，倘若對教材的理解不到位，未能領會編寫者的意圖，盲目地去“用教材教”，必然會有好高騖遠、誤人子弟之嫌。結合以上對兩位新手教師課例的分析，筆者認為可以從以下幾個視角理解教材。

1.從整體布局的視角。

數學教材承載著數學的知識體系，能否從整體上把握教材的內容尤為重要。就一節課而言，整體的視角包含三個層次，分別是整個學段、整章、整節課，作為新入職教師，應先著重從整章和整節課的視角研讀教材。從整章來看，要研究并理解整章的知識結構，挖掘章頭材料的教學價值，明確整章的學習目標，從宏觀上把握教材。從一節課來看，通過對教材內容的研讀，明確教學起點和教學終點，最終確定從起點到終點的教學路徑，從微觀上理解教材。

有理數的整章內容可以分為三個單元，分別為有理數的概念、有理數的運算和有理數的混合運算。有理數的加法屬于有理數運算單元下的一節課，要解決的是負數引入后的加法運算問題，這是本節課的教學終點;小學學過的加法運算及生活經驗是本節課的教學起點;如何引導學生探索加法，明晰算理是教學路徑;選用哪種方式達成是教學方式。

2.從內容設置的視角。

“教什么”比“怎么教”更重要。在研讀教材時既要搞清楚教材上有什么，還要搞清楚為什么。蘇科版初中數學教材一般設置了“試一試”“做一做”“數學實驗室”“議一議”“練一練”等內容。對于這些內容我們首先應搞清楚它是什么，再結合課程標準的理解，參考教師教學用書的解讀，領悟內容設置意圖。其次在研讀教材時要帶著為什么設置這些內容，呈現的方式為什么是這樣等問題去研讀教材。

比如教材上的第一段內容為“小學里，我們學過加法和減法運算，引進負數后，怎樣進行有理數的加法和減法運算呢？”這段內容指出本節課的學習任務以及學習的必要性。同時我們還要思考其背后隱藏的教學指向，比如小學學過的加法和減法運算的對象是什么？學到什么程度？引入負數后，加法和減法運算會遇到什么樣的問題等等。又如教材上“做一做”的內容為填寫表格，這個內容的設置意圖是學生基于現實情境的生活經驗，用數學算式表達生活中的具體問題，得到一些不同類型的加法算式“模型”，體會加法學習的必要性和運算的合理性，為探索有理數加法法則做準備。學生把現實問題抽象成數學問題并用數學方法解決問題的過程就是數學建模，這是“做一做”活動的高層次追求。再如設置“數學實驗室”的目的是讓學生從“形”上探索有理數的加法運算法則。學生“做”中有思，借助數軸以直觀形象的方式把數的運算問題以圖形的運動方式予以解釋，把抽象的“負數”轉化為直觀的“圖形”，實現探索有理數加法運算合理性的目的。

3.從聯系發展的視角。

一節好課的起始階段應注重知識的生成過程，在遵循學生心理特點和認知規律的前提下設置問題情境，引發認知沖突，幫助學生明晰研究對象的來龍去脈，使學生明白為什么研究、研究什么，再共同探索如何研究。帶著這些具有指向性的問題，宏觀上分析課時內容在教材中的地位和作用，分析整章知識結構，知識間的縱向聯系;微觀上分析課時內容的內在聯系，分析思想方法的橫向聯系，理清知識的來龍去脈，理解教材，把握數學本質。研讀教材時還應注重從發展的視角理解教材，加強對知識的發生、發展以及研究方法的教學等方面的研究。

4.從隱性知識的視角。

教材是紙質的、靜態的，而教學是動態的、生成的，因此，教材只能呈現某個固化的過程。[3]教材往往呈現的是知識的學術形態，把學術形態轉化為教育形態是對教師的基本要求。高水平的教師，能透過現象看到本質，在教教材中顯性知識的同時，能挖掘出其后的隱性知識，教到一些別人教不出來的內容。[4]數學是思維的體操，數學的顯性知識中蘊含豐富的數學思想方法，它是“隱身”的高層次的知識形態，需要在研讀教材時充分挖掘，實現知識的學術形態向教育形態轉化。

比如在“試一試”的教學環節，把現實問題抽象成數學問題，蘊含了數學抽象、數學建模等基本數學思想;在建構加法模型過程中，培養學生的應用意識、符號意識、模型思想;在對算式的觀察分析過程中，培養分類討論思想。又如在“數學實驗”的教學環節，讓學生經歷由“數”到“形”再到由“形”到“數”的雙向“解釋”過程，使學生理解加法運算的幾何意義，培養數形結合思想。

5.從方法策略的視角。

理解教材是當好數學教師的前提。[2]679調查發現，新入職教師有研讀教材的意識，但在研讀教材時缺乏方法指導，沒有也不知道具體可行的方法，導致研讀教材不夠深入，難以領悟編寫意圖，無法準確把握教學內容，發揮教材的教學價值。因此，掌握一些研讀數學教材的基本方法策略尤為重要。概念圖法、難度模型法、內容分析法等方法為教師研讀數學教科書提供基本視角。[5]新入職教師要在教學實踐中了解、學習和掌握，逐步提高研讀教材的水平。比如在對教材研讀時通過概念圖整體理解和把握教材（如44頁圖4）。

總之，新手教師應從整體布局、內容設置、聯系發展、隱性知識、方法策略等視角理解教材，領悟編寫意圖，透過教材中的各種知識形態看到更豐富的教學內容，提升自身理解教材的專業素養，充分挖掘和發揮教材的教學價值，做好“教教材”，最終實現“用教材教”的美好愿景。

【參考文獻】

[1]汪飛飛.從意義創生視角研讀數學教科書：何為、為何與可為——與新手數學教師的對話[J].中小學教師培訓，2019（8）：29-32.

[2]章建躍.章建躍數學教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[3]章飛.教材理解的幾個視角——從黃金分割的教材調整談開去[J].數學通報，2018（4）：27-29，32.

[4]李祎.高水平數學教學到底該教什么[J].數學教育學報，2014（6）：31-35.

[5]汪飛飛.教師從整體視角研讀數學教科書的現狀與省思——以初中數學教師為例[J].中學數學，2019（10）：89-93.