一次函數的常見問題分析

摘 要：一次函數是初中數學教學的重點內容，也是學生今后進一步學習其他函數的基礎。近年來，一次函數的定義、性質、圖象以及和現實生活相結合的一次函數應用問題一直是中考的熱點。文章主要對學生解答一次函數問題時常見問題予以剖析，希望對學生的學習有所幫助。

關鍵詞：一次函數;常見問題;數形結合思想

中圖分類號：G633.6 ? ? ??文獻標識碼：A ? ? ? ??文章編號：2095-624X（2020）05-0062-02

引 言

數學對于我們日常生活以及科學研究的影響不言而喻，衣食住行都與數學息息相關。數學是一門抽象化、復雜化、邏輯性非常強的學科，在進行數學教學時，教師通常會結合實際利用多種數學思想方法來簡化和具體化教學內容。

一、分類討論思想的應用

分類討論思想應用在數學領域是指在解決數學問題時，涉及的研究對象比較多，不能統一研究，所以需要結合實際，將研究對象以某種標準進行區分，然后分別獨自進行探究，最后得出整體結論的解題思想。在解決數學問題時，一般分作以下幾步進行：①明確分類對象;②明確分類標準;③逐步分類，分別得到階段性的結果;④用最初的標準檢驗篩選結果;⑤歸納得出結論。與此同時，運用分類討論的思想也要遵循一定的原則，即按照統一標準進行劃分，不重不漏，按照等級先后順序進行。

例1：已知直線y=kx+b，經過點P（1，0）且與y軸交點為Q，若直線與坐標軸所圍成的三角形面積為2，求這條直線的函數表達式。

學生常見的解題方法如下：已知三角形面積表達式為面積=1/2×底×高，而直線與坐標軸圍成的三角形為直角三角形，因此三角形的底和高就分別是直線與坐標軸交點到原點的距離，其中OP=1，—×1×OQ=2，因此，OQ=4，Q點坐標為（0，4），再將P、Q兩點坐標代入y=kx+b中，可得k=-4，b=4，所以，這條直線的函數表達式為y=-4x+4。

雖然解題思路正確，但是學生在得出Q點坐標時，思考并不全面。OQ代表的是三角形的底或高，是一條線段，因此OQ一定大于零，意味著Q點到原點之間的距離為4，而Q點極有可能在y軸正半軸上，也可能在y軸負半軸上。學生憑借OQ=4>0，就判斷Q點坐標為（0，4）是片面的，Q點坐標還可能為（0，-4），因此在后續解答時，要進行分類討論。當Q點坐標為（0，4）時，將P、Q兩點坐標代入y=kx+b中，可得k=-4，b=4，此時這條直線的函數表達式為y=-4x+4。當Q點坐標為（0，-4）時，將P、Q兩點坐標代入y=kx+b中，可得k=4，b=4，此時這條直線的函數表達式為y=4x+4。

例2：已知一次函數y=（n-1）x+n+1的圖象不經過第三象限，求m的取值范圍。

筆者整理了一下，學生常見的解題方法如下。已知一次函數y=（n-1）x+n+1的圖象經過第三象限，那么其函數圖象會經過第一、二、四象限，而當一次函數ykx+b的圖象經過第一、二、四象限時，k<0，b>0。因此n-1<0，n+1>0，聯合解得-1

同樣，學生在判斷一次函數圖象經過的象限時，缺乏考慮，因此圖象不經過某個象限，并不表示其一定會經過其他三個象限，還可能會經過其他兩個象限。即上題應考慮圖象只經過第二、四象限的情況，此時b=0，即n+1=0，n=-1。

二、具有現實意義的一次函數問題

在利用函數性質解決實際問題時，常常忽視題目中函數所代表的實際意義，從而導致解題錯誤。

例3：已知某客車在離開車站5km后，以30km/h的速度勻速行駛，求客車離開車站后的距離L與其行駛時間t之間的函數關系式，并畫出其圖象。

學生常見的解題方法如下：設L=kt+b，由題意可知當t=0時，L=5，當t=1時，L=5+30=35，因此將兩組數據分別代入L=kt+b中，可得L=30t+5，并畫出函數圖象為一條經過第一、二、三象限的直線。雖然這道題目比較簡單，但是學生亦很容易出現解題錯誤。首先一次函數y=kx+b的圖象是一條直線的前提條件是自變量x的取值范圍是全體實數，而進一次函數與實際問題結合在一起時，其取值范圍往往不是全體實數，以此題為例，自變量x的取值范圍是x≥0，因此函數表達式為L=30t+5（t≥0），其函數圖象不經過第三象限。

例4：小剛在探究彈簧長度與外力的變化規律時，得到一組數據，見下表。

假設砝碼質量為x，彈簧總長度為y，根據表中所提供的數據信息，寫出函數表達式，并指出其函數圖象經過第幾象限。

這道題目的表述簡單，已知兩函數圖象上兩點坐標，求函數的表達式，學生通常會做出如下解答。設y=kx+b，將x=0，y=5和x=550，y=14代入其中，求得y=—x+5，由k>0，b>0，因此函數圖象經過第一、二、三象限。殊不知，這種解題方式是錯誤的，學生忽視了彈簧的現實意義，當彈簧被拉伸到一定長度，即外力超過彈性限度時，彈簧不會再因外力變化而伸長，因此后兩組數據并不能作為函數表達式中的已知量，而且無論是砝碼的質量還是彈簧總長度都是一直大于零，因此，其函數圖象只會在第一象限。正解為：設y=kx+b，將x=0，y=5和x=350，y=14，代入一次函數表達式中，可得y=—x +5，圖象經過第一象限。

三、數形結合思想的應用

著名數學家華羅庚曾說：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛;數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，割裂分家萬事非;切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系切莫分離。”數與形分別體現了事物的兩種不同方向的屬性，但是在一定條件下，數形之間可以有機結合在一起，甚至相互轉化，這種思維的方式就是數形結合的思想。

例5：已知一次函數y=kx+b，和坐標圖象上三點A（5，y1）、B（10，y2）、C（-4，y3），其中30，b<0知，該一次函數圖象經過第一、三、四象限，得出y3

結 語

分類討論具有較強的邏輯思維性質，是一種學生在數學學習中經常要用到的常規解題思路，學生利用分類討論思想解決一次函數問題可以使學生解題思路更加清晰且具有條理性和全面性。

學生在解決與現實生活相結合的一次函數問題時，要注意考慮函數的現實意義。

利用數形結合思想解決一次函數問題有利于學生理解復雜和抽象的數學題目，簡化解題過程。

一次函數是初中代數的重要組成部分，也是解決生活實際問題的重要模型，教師在教學中要善于幫助學生梳理總結，以便學生掌握解題技巧與方法。

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作者簡介：奉徽德（1972—），男，瑤族，廣西富川人，中學一級教師，本科，研究方向：初中數學教學。