基于特征模型的主動磁軸承交叉反饋控制研究

江緒鑫，徐龍祥

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

理論上，在磁懸浮產品的設計中傳統工業所采用的分散PID控制能夠保持磁懸浮轉子的基本穩定，而在實際應用中，由于轉子轉速的提高，陀螺力矩的不斷加強仍然會對系統的動態性能產生不利影響[1-2]。常用的抑制陀螺效應的方法有兩種，一是采用交叉反饋控制技術，二是采用魯棒控制技術。交叉反饋控制通常是在傳統分散PID控制的基礎上加入交叉反饋環節[3]，以達到抑制陀螺效應的目的。為了進一步延伸交叉反饋控制的應用領域，本文提出了基于特征模型的磁懸浮軸承交叉反饋控制。從部分工業控制對象的物理機理、動力學特性和環境特征出發，結合控制目標與性能要求，建立其對象的特征模型。

1 磁懸浮軸承的數學模型

圖1為四自由度轉子試驗臺的剛性支撐力學模型，其中起徑向支撐作用的是分布在左、右兩端的徑向磁懸浮軸承a和徑向磁懸浮軸承b。當鐵芯轉子處在起浮或旋轉過程中時，由傳感器a和傳感器b檢測a、b兩端轉子軸心處的位移，并反饋給以DSP28335為核心的主控制器[4]，隨后控制器根據位移量的變化輸出對應的電壓控制率，再由功率放大器依據控制率的變化改變兩端磁懸浮軸承的線圈電流大小，進而改變軸承的控制力Fx、Fy。

圖1 轉子試驗臺的剛性力學模型

根據圖1可列出磁懸浮轉子徑向四自由度的動力學方程如式(1)所示。為了避免傳感器安裝位置差別帶來的誤差，通過一系列位移矩陣變換，得到了由傳感器處輸出的位移、位微分、控制電流向量所組成的轉子系統狀態空間方程式(2)。

(1)

(2)

2 基于特征模型的交叉反饋控制理論

2.1 特征模型及辨識方法

所謂特征模型就是根據對象的動力學特性、控制性能要求和環境特性相結合來建模[5]。對于高階復雜對象，為了滿足控制性能要求，特征模型可以將系統的高階分量壓入4個慢時變的系數中，從而簡化被控對象，利于低階控制器的設計。一般的高階線性定常系統表示為：

在滿足一定采樣周期Δt時，線性定常n階對象G(s)可以表達為：y(k+1)=f1(k)y(k)+f2(k)y(k-1)+g0(k)u(k)+g1(k)u(k-1)。

特征參量f1(k)、f2(k)、g0(k)、g1(k)均有慢時變性質，在動態過程中，同等的輸入情況下，特征模型的輸出與實際對象的輸出等價；當靜態增益D=1時，在穩態情況下系數之和=1，即有：f1(k)+f2(k)+g0(k)+g1(k)=1。

系統特征參量的辨識通常有兩種方法，一是最小二乘遞推參數估計方法，二是類似于隨機逼近的梯度下降法。由于最小二乘遞推算法包含復雜的矩陣運算，計算量過大不利于控制器實現，本文采用梯度下降法。梯度下降法的估計表達式為：

(3)

2.2 基于特征模型的交叉反饋控制

基于特征模型的交叉反饋控制的主控制算法為特征模型算法，而特征模型算法只是辨識出了系統的特征參量，實際輸出控制率是以全系數自適應算法為載體而進行輸出的，全系數自適應的控制量u(k)總共包含了4個部分的控制量：微分控制量ud(k)、積分控制量uI(k)、維持給定控制量u0(k)、黃金分割比控制量ug(k)，4個控制量的表達式分別如下：

1) 微分控制量

與PID控制器相同，微分控制量ud(k)的參入是為了改善系統的動態性能，其描述為：

ud(k)=kd(e(k)-e(k-1))

(4)

2) 積分控制量

uI(k)=uI(k-1)+kI(yr(k)-y(k))

(5)

同樣與PID類似，積分控制量uI(k)的作用是消除系統穩態誤差。

3) 維持給定控制量

維持系統穩定的標準就是為了使系統的輸出位移y(k)能夠與要求的恒定值yr(k)相同，設計系統的維持給定控制量u0(k)為：

(6)

4) 黃金分割比控制量

對于被控對象數學模型不精確的情況，在系統啟動階段，可以采用黃金分割比控制來維持系統的穩定。可以取黃金分割比控制器的控制率為：

(7)

為了將基于特征模型的全系數自適應算法與PID算法聯系起來，將維持給定控制量與黃金分割比控制量相加得到下式：

(8)

式中ε是一個慢時變微量，其值是一個范圍在0～1之間滿時變變化的正數與給定位移值的乘積。

可將維持給定控制量u0(k)、黃金分割比控制量ug(k)、微分控制量ud(k)寫為以下形式：

ug+0(k)+ud(k)=P(k)+D(k)

(9)

那么可以將特征模型算法的控制量寫為以下形式：

u(k)=P(k)+D(k)+uI(k)

(10)

式中P(k)、D(k)可以看做具有慢時變性質的比例、微分系數。借此可得基于特征模型的交叉反饋控制下的電磁力[6]的輸出表達式：

帶入式(1)可得：

求得交叉反饋系數表達式為：

(11)

Ahrens指出在實際工程應用中，由于系統相位滯后等原因，完全補償難以實現，令kvc=CeffJzω/kxi(la+lb)2作為補償后的交叉反饋系數。

3 仿真分析

首先將系統的特征辨識模塊(RLS)與全系數自適應模塊(ACAC)組成一個特征模型算法綜合模塊[7](ACAC+RLS)，結合式(2)的系統狀態空間方程以及交叉反饋控制理論原理在Matlab/Simulink仿真軟件中搭建了基于特征模型的交叉反饋控制(ACAC+CFC)系統仿真平臺，其具體結構如圖2所示。

圖2 基于特征模型的交叉反饋仿真模型

分別取的衰減因子Ceff為1、0.75、0.5、0，得到不同的轉子左右平面運動軌跡圖如圖3-圖6所示。

由圖3-圖6可知，當衰減因子為1，即完全補償的時候，轉子左右平面的擺振幅度也十分明顯，而當不加入交叉反饋項即衰減因子為0時，轉子的熱套部分在擺動過程中就碰到了保護軸承，說明其擺振幅度較大難以穩定，控制效果較差，同樣的現象還可以在衰減因子為0.5時看到。當衰減因子為0.75時控制效果最好，此時轉子的擺振幅度較小。由于現實存在的各種干擾誤差，并不能確定最佳的補償量，還需要進一步在實驗中觀察轉子的控制效果。

圖3 Ceff為1時轉子接近臨界轉速的左右平面軌跡圖

圖4 Ceff為0.75時轉子接近臨界轉速的左右平面軌跡圖

圖5 Ceff為0.5時轉子接近臨界轉速的左右平面軌跡圖

圖6 Ceff為0時轉子接近臨界轉速的左右平面軌跡圖

4 實驗分析

為了驗證基于特征模型的交叉反饋控制效果，分別在衰減因子為1、0.75、0.5、0時做了轉子轉速上升到470Hz旋轉實驗，接近一階彎曲臨界轉速。轉子在中心位置時的位移信號是2.5V，保護間隙為0.125mm，故1V代表50μm，軸心軌跡如圖7-圖10所示。

圖7 Ceff=1時轉子臨界轉速附近軸心軌跡

圖8 Ceff=0.75時轉子臨界轉速附近軸心軌跡

圖9 Ceff=0.5時轉子臨界轉速附近軸心軌跡

圖10 Ceff=0時轉子臨界轉速附近軸心軌跡

從實驗的結果來看，當衰減因子為0.5時控制效果最佳，故以衰減因子為0.5時的交叉反饋系數實驗數據，做出不含交叉反饋項的ACAC控制與衰減因子為0.5的ACAC+CFC控制的磁懸浮轉子0～470Hz的振動位移峰峰值如圖11所示。

圖11 徑向自由度轉子各轉速的位移峰峰值

5 結語

轉子在ACAC控制下一到四自由度的振動位移峰峰值分別為0.114、0.083、0.085、0.107，而在ACAC+CFC控制下的振動位移峰峰值分別為0.093、0.066、0.076、0.095，徑向各自由度的振動幅度分別減少了約18.4%、20.5%、10.5%、11.3%，此外ACAC+CFC在低頻剛性模態頻率中也同樣有著較好的控制效果。