基于負載觀測器的PMSM分數階滑模位置控制

白雪寧，楊向宇，趙世偉

(華南理工大學 電力學院，廣東 廣州 510641)

0 引言

近兩年，永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor，PMSM)被廣泛應用于各類位置控制系統。傳統的系統廣泛采用PID控制器，但在日益復雜的工況下難以保證系統的性能。文獻[1]在傳統PID三閉環串級控制結構基礎上，引入負載觀測器，實現系統位置無差跟蹤。文獻[2]將反步控制與非奇異終端滑模控制相結合，并使用終端滑模負載觀測器，有效實現系統位置的漸近跟蹤。文獻[3]研究了變切換增益的滑模控制器與降階負載觀測器，使系統具有良好的動態性能以及魯棒性。文獻[4]采用無源性控制算法，提高系統穩定性的同時使系統具有良好的跟蹤性及抗擾性。文獻[5]研究了基于細菌覓食優化算法的模糊控制，有效提高了系統的快速性和準確性。

針對PMSM位置控制系統，本文采用分數階微積分，設計了分數階滑模控制算法(fractional order SMC，FOSMC)。針對電機運行時的負載擾動，設計了降階Luenberger負載觀測器。最后使用Matlab/Simulink對本文設計的控制器與傳統PID控制器以及整數階滑模控制器(SMC)進行了仿真，并對仿真結果進行了分析和比較。

1 PMSM數學模型

本文研究PMSM轉子永磁體為表貼結構，定子繞組為Y型聯接。因此d、q軸繞組電感相等，即Ld=Lq；忽略定子電樞反應、磁路飽和及鐵耗，通過恒幅值dq0變換，得到PMSM在dq坐標系中的數學模型。

定子電壓方程如下所示：

(1)

本文采用id=0的控制策略，電磁轉矩方程如下：

Te=1.5ktiq

(2)

機械運動方程如下所示：

(3)

式中：id、ud，iq、uq分別為定子繞組d軸與q軸的電流和電壓；Rs為定子繞組電阻；ψf為轉子永磁體磁鏈；np為電機極對數；ωe為電機電角速度；kt為電機轉矩系數；J為電機轉子轉動慣量；TL為負載轉矩；B為電機黏滯系數；θe為轉子電角度。

2 分數階滑模控制器設計

2.1 分數階微積分

根據分數階系統隨時間平緩衰減的特性[6-8]，在SMC的基礎上引入分數階微積分，構造分數階滑模面。

首先對分數階微積分數學基礎作簡要闡述。由于Caputo定義下的分數階微分方程與整數階微分方程有相同的初始條件，具有明確的物理意義，在工程領域中應用最為廣泛，故采用Caputo定義。設函數g(t)為定義在區間[a,b]上的m階導數可積的函數，則Caputo分數階微積分統一定義如式(4)所示。

(4)

將上式做拉氏變換如式(5)所示。

(5)

式中g(k)(0)為系統初始狀態k階導數。

為便于本節的分數與整數階微分運算，定義微分算子如下 ：

(6)

式中：C表示被微(積)分函數定義域，λ∈Q。

實現分數階微積分有多種算法，本文采用Oustaloup有理逼近算法[6]，通過窄帶寬濾波器級聯而成。假定選擇擬合頻率段為[ωl,ωh]，則可以構造出連續窄帶寬濾波器傳遞函數如下式：

(7)

分數階微積分比整數階微積分具有更多的自由度[6-11]，通過合理選擇分數階次α，可獲得更好的控制效果。

2.2 滑模控制器設計

(8)

令s=0，所得方程表示分數階線性定常系統。根據分數階線性定常系統漸進穩定的充要條件[10-12]：當c1>0時，若式(9)成立，則系統漸近穩定。

(9)

式中arg(·)為輻角主值。

為了削弱系統抖振，常用的方法是采用邊界層引入飽和函數，一定程度會上降低系統的魯棒性。因此為兼顧系統的魯棒性，確保系統相軌跡接近平衡點時不會產生較大抖動，遠離平衡點時增大等速趨近的權重，使系統能夠更快地到達平衡點，本文改進趨近律如下：

(10)

式中：M>0；sgn(·)為符號函數。

對式(8)求一階導，得

(11)

對式(11)求(1-α)階導，并將式(2)、式(3)代入，得

(12)

式中Kt=1.5kt。

聯立式(10)、式(12)，求得滑模控制率如下：

(13)

選取李亞普諾夫函數如下：

(14)

(15)

分析可知：

(16)

故本文設計的FOSMC是穩定的。

3 負載觀測器設計

針對電機運行時負載擾動不確定，為使系統能夠無差跟蹤位置指令，本文設計了降階Luenberger負載觀測器，將觀測值補償給控制器。由于控制器采樣周期較短，將負載擾動視為常量。選取狀態變量x=[ωeTL]T，輸入變量u=iq，輸出變量為y=ωe。狀態方程與輸出方程如下：

(17)

(18)

式中G=[g1g2]T，為觀測器狀態反饋矩陣。

(19)

對式(19)作拉氏變換，可得觀測誤差方程的特征方程如下：

(20)

通過合理設計g1、g2，使特征方程具有負實部的根，則可保證觀測器穩定收斂。

4 系統仿真與分析

為驗證設計算法的有效性，利用Matlab/Simulink搭建系統仿真模型。圖1為系統結構圖。

圖1 系統結構圖

系統采用id=0的矢量控制，采用電流、位置雙閉環控制方法。電流內環使用比例控制器，位置外環采用FOSMC。采用Luenberger負載觀測器來觀測外界負載擾動，將觀測值作為補償輸入FOSMC。仿真使用的電機參數如表1所示。

表1 PMSM部分參數

為對比各控制器性能，僅改變位置環控制器(SMC的趨近律與FOSMC保持一致)，系統其余結構保持不變。

仿真時位置指令采用方波指令，周期1.5s，幅值90°，仿真時長6s。電機首先空載運行，在1.2s時突加0.5N·m負載作為外界負載擾動。為了更接近實際系統，電流控制器輸出限幅。

圖2 位置響應波形

圖3 控制器電流指令與實際電流波形

如圖2(b)，當電機空載運行時，FOSMC系統與SMC與PID系統相比，調節時間最短，且幾乎無超調；系統在指令位置穩定時，無穩態誤差。

圖4 負載觀測器觀測波形

如圖2(c)，當給電機突加負載時，位置均會受到擾動，FOSMC系統受擾動影響最小且最快恢復無差跟蹤，動態性能略優于SMC系統以及PID系統。

對比圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)的局部放大部分，可以看出，FOSMC系統的控制指令較SMC系統與PID系統的動態過程更加平緩，有利于轉矩輸出更加平緩。

從仿真結果中可看出，在負載轉矩產生擾動后，FOSMC系統相比較于SMC系統與PID系統表現出更好的魯棒性，同時其動態性能也優于SMC系統與PID系統。

5 結語

綜上所述，本文針對PMSM位置控制系統構造了分數階滑模控制器并針對外部負載擾動的不確定性，設計了降階Luenberger負載觀測器。最后使用Matlab/Simulink搭建系統仿真模型，進行了算法驗證。將仿真結果分別與采用整數階滑模控制器與傳統PID控制器的系統進行對比可知，本文設計的基于負載觀測器的PMSM分數階滑模位置控制系統具有調節時間短、無超調、無穩態誤差，對外部負載擾動具有較強魯棒性等優點，在位置伺服控制領域有較好的應用前景。