雙層歐拉梁聲子晶體彎曲振動帶隙特性研究

涂靜，史治宇

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016)

0 引言

減振降噪問題一直是學術界和工程界研究重點之一,特別是飛機機翼等很多梁式工業產品均存在不同程度的振動問題，因此對梁結構進行減振研究很有必要。聲子晶體概念的提出為結構減振設計和研究指出了新的研究方向。人們發現某些頻段內的彈性波在周期彈性復合介質中傳播時衰減十分明顯，由此提出了聲子晶體的概念。Bragg散射機理和局域共振機理是其帶隙產生的兩種主要機理，而后者更易通過小尺寸設計實現低頻下的減振，因此，研究局域共振型聲子晶體梁結構的帶隙特性將為低頻減振設計和優化提供理論指導。

關于局域共振型聲子晶體梁材料性能參數，宿星亮[1]等人應用平面波展開法研究了功能梯度材料周期分布的聲子晶體梁結構的帶隙特性以及功能梯度材料性能對帶隙的影響。左曙光等人[2]基于三參數Maxwell模型研究了材料粘彈性對單振子聲子晶體梁能帶結構的影響，發現粘彈性會影響帶隙位置和帶寬，并減弱振動衰減幅度。

對于聲子晶體新型結構的研究最為廣泛。張法[3]和高恩武[4]研究了角桿、T型桿等組合型聲子晶體結構的帶隙特性；王興國[5]研究了一維柱殼結構的徑向、扭轉及軸向剪切振動帶隙；蔣娟娜[6]等人結合有限元法設計并研究了一種新型多重開孔式局域共振聲子晶體結構的帶隙形成機理和振動特性。對于振子式結構，朱學治等人[7]提出一種含轉動振子的聲子晶體梁簡化模型，基于傳遞矩陣法研究其能帶結構后指出轉動振子可以使得聲子晶體梁產生窄頻帶局域共振帶隙和寬頻帶Bragg帶隙。文岐華[8]等人通過傳遞矩陣法得到雙振子歐拉梁的彎曲振動能帶結構，并基于ANSYS得到的鋁-橡膠-銅有限周期梁結構振型圖來推測起始、截止頻率；李鎖斌等人[9]建立并研究了互置型雙振子三組元聲子晶體板結構的帶隙特性。此外，舒海生等人[10]在樹脂圓柱體上周期布置橡膠和鉛同心環構成局域共振型梁結構，并指出聲子禁帶截止頻率由鉛塊和梁結構的反相彎曲振動決定，而起始頻率由鉛塊無規則振動決定。鑒于縱/橫向振動帶隙頻率范圍往往不同步且衰減強度不同，其后來提出角式聲子晶體梁[11]并指出通過彈性波縱/橫波的轉換，該結構可以使得3個方向上的縱向和彎曲振動都得到明顯抑制。

以上文獻提出并研究了多種新型聲子晶體梁結構，但全部基于單層梁或者組合桿、柱殼結構，尚未有人對雙層梁結構及其帶隙特性展開深入研究。本文在雙梁之間周期布置彈簧和質量塊構造出局域共振型聲子晶體雙層歐拉梁結構，采用平面波展開法對帶隙的形成機制和調節規律進行詳細研究，給出帶隙起始、截止頻率的估算公式并給出理論解釋，最后與相同參數下的單層梁結構的帶隙特性進行了對比。

1 雙層歐拉梁模型

雙層梁晶胞單元周期排列時，設相鄰振子之間的距離(即晶格常數)為a，上、下梁的橫截面積均為A,彈簧剛度系數分別為k1、k2,質量塊質量為m，如圖1所示。

圖1 雙層歐拉梁模型示意圖

設雙層歐拉梁上、下梁的位移場函數分別為y1(x,t)、y2(x,t),質量塊m的位移場函數為z(x,t)，那么雙層歐拉梁的振動方程為：

(1)

其中ρ、A、EI分別代表梁的密度、橫截面積、抗彎剛度。

f1(x，t)=-k1[y1(x,t)-z(x,t)]δ(x-a)

(2)

f2(x，t)=-k2[y2(x,t)-z(x,t)]δ(x-a)

(3)

設y1(x,t)=Y1(x)e-iωt,y2(x,t)=Y2(x)e-iωt，z(x,t)=Z(x)e-iωt,根據bloch定理可分解為：

(4)

將式(2)-式(4)代入式(1)得到

(5)

將式(5)寫成矩陣形式為：

(6)

式(6)為廣義特征值問題，其中k為第一Brillouin區Bloch波矢，而G′遍歷該結構倒格矢空間。通過選取N個倒格矢進行計算，那么式(6)變為(2N+1)×(2N+1)階矩陣特征值求解問題。對于Brillouin區內的每個波矢k,均可以求出與其對應的特征頻率ω，從而畫出能帶結構圖。若求出的ω存在非零虛部，則說明ω處于帶隙范圍內，即頻率為ω的彈性波無法在該結構中穩定傳播，必然存在衰減。

2 算例

選擇鋁作為歐拉梁的材料，材料密度等參數如表1所示,雙層歐拉梁晶胞長度(即晶格常數)a、梁寬b、梁厚h等參數如表2所示，則梁的橫截面積為A=bh,晶胞中梁的質量均為m梁=ρAa=0.0364kg。結構中彈簧剛度系數均為k。

表1 梁單元材料屬性

表2 聲子晶體歐拉梁幾何參數

雙層歐拉梁能帶結構圖如圖2所示。基于matlab計算并得到滿足表1和表2參數的雙層歐拉梁結構的能帶結構，如圖2(a)所示。從圖2(a)可以發現：在201Hz～530Hz附近存在一條完全帶隙。

利用MSC.Patran建立雙層梁晶胞單元的有限元模型，并求得其特征頻率及其對應的固有模態，可以發現截止頻率附近存在的兩階固有頻率及模態如圖3所示。

圖2 雙層歐拉梁能帶結構圖

圖3 雙層歐拉梁晶胞單元固有振型圖

根據圖3所示截止頻率附近的固有模態振型，可以將截止頻率附近存在對稱彎曲振動和反對稱彎曲振動兩種模態。因此通過matlab編程將能帶結構圖分成對稱彎曲振動能帶和反對稱彎曲振動能帶，如圖2(b)所示。

圖2(b)表明帶隙的形成是由反對稱彎曲振動能帶和對稱彎曲振動能帶共同決定的，帶隙起始頻率由反對稱振動模態決定，截止頻率由對稱振動模態決定。

下面結合圖4所示彈簧振子示意圖給出帶隙起始、截止頻率計算公式及推導過程。

圖4 彈簧振子模型示意圖

下邊界f1對應反對稱彎曲振動模態，振動形式為梁靜止而振子上下振動，相當于兩個相互獨立均以梁為基礎的彈簧振子模型，因此起始頻率就是單彈簧振子系統共振頻率，即

(7)

截止頻率f2為對稱彎曲振動模式，振動模態顯示為質量塊靜止而梁發生彎曲振動，因此可以看成質量塊作為基礎而梁作為振動單元的模型，故截止頻率

(8)

f3對應反對稱彎曲振動模式能帶，這里假設在彈簧的某個中間點固定不動，那么

(9)

彈簧總剛度滿足

(10)

設m梁/m塊=γ，由式(9)和式(10)可得

(11)

將式(11)代回式(9)即可得

(12)

對于雙層歐拉梁而言，圖2(a)能帶結構圖顯示其帶隙起始頻率f1=201Hz,截止頻率f2=530Hz，f3=565Hz，而通過式(7)、式(8)以及式(12)計算得到的起始、截止頻率分別為f1=201.3Hz，f2=527.6Hz,f3=564.7Hz。可以發現這與能帶結構圖中帶隙邊界處的頻率幾乎一致，因此說明式(7)、式(8)以及式(12) 估算帶隙是準確的。

3 帶隙影響規律

為了研究帶隙特性的影響因素，下面研究雙層歐拉梁各參數對能帶特性的影響，主要參數包括：晶格常數a,一側梁厚度h,一側梁寬度b，質量塊質量m以及彈簧剛度k，影響規律分別如圖5所示。

圖5 帶隙隨梁截面、彈簧、質量塊變化圖

圖5(a)-圖5(c)顯示：晶格常數增大，帶隙起始頻率f1幾乎不變，截止頻率f2逐漸減小，因而帶隙逐漸變窄；改變一側梁的厚度或者寬度，發現帶隙起始頻率f1幾乎不變，截止頻率f2逐漸降低，導致帶隙逐漸變窄；這是由于梁尺寸的變化引起梁質量m梁增加，但并未影響質量塊質量，因此起始頻率f1=0.5/π·(k/m塊)0.5保持不變，而f2=0.5/π·(k/m梁)0.5減小。

圖5(d)顯示：隨著質量塊質量m的增加，帶隙起始頻率f1逐漸下降，截止頻率f2保持不變，f3逐漸降低并與f2接近。引起該變化的原因為：質量塊質量增加，但梁質量并未改變，故起始頻率f1=0.5/π·(k/m塊)0.5逐漸減小，而截止頻率f2=0.5/π·(k/m梁)0.5不變。

通過圖5(e)發現：彈簧剛度k增加引起帶隙起始頻率f1逐漸增大，而截止頻率f2先增大后保持不變，f3先不變后逐漸增大，導致帶隙先增加后緩慢減小。k的增加導致起始頻率f1=0.5/π·(k/m塊)0.5增大容易理解，而截止頻率f2=0.5/π·(k/m梁)0.5先增大后不變的原因在于：雙層歐拉梁一共有兩條梁和兩根彈簧，所以根據式(8)截止頻率應該也有兩個，最后由兩側計算得到的截止頻率結果較小的作為帶隙截止頻率，當只改變一側的彈簧剛度或者梁的厚度寬度，引起其中一側截止頻率的變化，而另外一條頻帶并未發生改變，只是在作圖過程中是按照較低的頻率稱為f2，高的頻率比稱為f3。因此再次做出同時改變兩側彈簧剛度大小引起的帶隙變化如圖5(f)所示，可以發現彈簧剛度引起起始頻率增大，而截止頻率增加更多(這是由于梁質量比質量塊小的緣故)，帶寬增大。

利用MSC/PATRAN建立12個晶胞結構的有限長梁模型，劃分網格后并在梁的左端施加垂直于梁平面的單位位移激勵作為初始條件，如圖6所示。圖中小豎線代表彈簧，三角形代表集中質量塊，參數分別如表1和表2所示。

圖6 雙層梁有限元仿真模型示意圖

分別選擇雙層歐拉梁的同側和異側另一端作為響應點繪制彎曲振動傳輸曲線，并與圖2中雙層歐拉梁能帶結構圖進行比較，如圖7所示。

圖7 雙層歐拉梁彎曲振動傳輸曲線圖

通過比較圖7(a)和圖7(b)發現，不管響應拾取點位于激勵點同側還是異側， 200Hz～560Hz頻率范圍內的彎曲振動在雙層歐拉梁中傳播時均存在很強的衰減，最大衰減幅值可以達到120dB，且該頻率區間正好與圖2能帶結構圖中帶隙頻率范圍重合。

同時圖7(a)與圖7(b)存在一條非常明顯的差別：當激勵點和響應點位于異側梁上時，在帶隙范圍外仍然可能存在較大衰減，而激勵點和響應點位于同側時，振動衰減幾乎只存在于帶隙范圍內。其實，造成這種現象的原因在于：能帶結構圖中在526Hz和563Hz處存在對稱彎曲振動模態和反對稱彎曲振動模態對應的能帶，兩條能帶耦合后相互抵消，從而引起圖7(a)異側梁彎曲振動傳輸曲線圖中彎曲振動在非頻帶范圍內仍有較大衰減的情況。

為了對比單/雙層歐拉梁聲子晶體的帶隙特性，建立相同參數的單/雙層梁聲子晶體模型并得到振動傳輸曲線圖，如圖8所示。

圖8 單/雙層歐拉梁振動傳輸曲線對比圖

通過圖8可知，雙層梁相對于單層聲子晶體歐拉梁而言，單層梁的衰減幅值約為60dB,而雙層梁的平均衰減幅值約為70dB,二者衰減幅度相近。但是通過對比可以很直觀地看到，雙層歐拉梁在帶隙之外的部分頻率范圍內仍存在明顯的衰減現象，如圖8(b)中750Hz以及1000Hz附近存在的強衰減現象，這是單層梁所不具有的特性。因此雙層梁相對于單層梁在衰減振動方面具有特有的優勢。

4 結語

本文構造出局域共振型聲子晶體雙層歐拉梁結構，基于平面波展開法計算其能帶結構，并利用有限元法仿真得到相應有限結構的彎曲振動傳輸曲線，對該結構的帶隙特性展開了詳細研究。得到以下主要結論：

1) 聲子晶體雙層歐拉梁能帶結構存在對稱與反對稱彎曲振動模式，帶隙的打開可以認為是共振單元的振動模態和梁的振動模態相互耦合作用的結果。帶隙起始頻率f1=0.5/π·(k/m塊)0.5由反對稱彎曲振動模態決定，截止頻率f2=0.5/π·(k/m梁)0.5由對稱彎曲振動模態決定。

2) 通過減小梁單元截面尺寸、晶格常數，可以降低帶隙截止頻率從而增大帶隙寬度；增加質量塊質量，帶隙起始頻率下降，帶隙寬度增大；通過增加彈簧剛度，可以同時增大起始和截止頻率且截止頻率增加更多，從而帶隙寬度增加。所有上述影響規律均可借助于“基底-彈簧-質量塊”簡化模型得到解釋。

3) 雙層歐拉梁在非帶隙范圍內某些頻率段仍存在較強的衰減振動的作用，這是由于雙層梁存在的兩種彎曲振動模態(對稱彎曲振動模態和反對稱彎曲振動模態)相互疊加抵消的結果，這是單層梁所不具備的，因此雙層梁結構在減振方面具有特有的優勢。