取勢、明道、優術：立意素養的高中數學習題講解三層次
——以2019年浙江高考數學第16題為例

張旭強 (浙江省杭州綠城育華學校 310012)

在基礎教育階段，好的數學教育應更多地傾向于培養學生的數學思維習慣，尋找學生認知的最近發展區，并在此基礎上開展暴露數學思維過程、提升理解能力的探究活動.教師在這個過程中協助學生從混沌的模糊狀態，轉變成有意義的、有結構的狀態，這是一個認知建構的過程[1]，也是學生素養提高的過程．

章建躍博士認為數學教學需要遵循“取勢、明道、優術”[2]，筆者認為習題講解也是如此，尤其是高考真題的講解．習題教學從教師教的“取勢”，順應學生的認知，因勢利導；通過師生活動使學生“明道”，教師闡述題中道理，追本溯源，學生悟出問題的真諦；學生需要結合自身的基礎進行“優術”，整合認知結構，反思擇優．本文以2019年浙江高考第16題為例加以說明．

筆者任教班35位學生用時15分鐘做此題，得到的反饋信息如表1：

表1 學生答題情況

通過數據分析和學生訪談，在此題的講解過程中筆者通過以下三個層次的數學教學活動，幫助學生重塑認知結構．

層次1講解切入要“取勢”，順應學生的認知，因勢利導

這里的“勢”相當于章建躍博士說的“理解學生”.教師要了解學生當前的認知水平，只有基于學生現有的認知水平給出問題，學生才會有自己的解題思路，即認知水平決定了學生的解決方法．

筆者翻閱了答題正確的學生的解題過程，無一例外地對題中的|f(t+2)-f(t)|進行了直接代入計算，計算f(t+2)-f(t)=a(t+2)3-(t+2)-at3+t=a(t+2)3-at3-2，接下來對這個式子進行化簡，這便是教學中應取的學生的“勢”.當然，這里會出現部分學生因立方和公式不熟悉而產生的計算錯誤，需要提醒學生立方和公式的正確運用．

解法1和解法2是絕大多數學生認可的求解的“勢”，對于學生已有的“勢”，教師要因勢利導．講解過程中，筆者提問：既然解法2可以換元，為何不在一開始就對這個式子進行整體換元？于是得到解法3．

這樣就變成學生熟悉的一次絕對值函數“V”字型圖象的問題．

因勢利導的“導”，要導得及時、充分.就此題，筆者覺得還應繼續往前，將|6at2+12at+8a-2|看成|(6at2+12at)-(-8a+2)|或|6at2-(-12at-8a+2)|，把最小值問題轉化為兩個函數圖象在同一直角坐標系中橫坐標相等時兩點間距離(稱之為縱向距離)的問題．這兩種思考角度雖然高于學生現有的認知構成，但是教師可以將此作為學生思維的最近發展區，觸手可得．

若0

解法5同解法4,轉化為r(t)=6at2與s(t)=-12at-8a+2之間的縱向距離問題，這里不詳細展開了．

此外，此題還可以從切比雪夫最佳函數逼近理論進行講解分析[3]．對于“取勢”，筆者覺得還有一層理解，就是要找準學生認知的最近發展區，因此針對筆者所教的學生，就不從這個角度進行講解分析了．

層次2分析把控要“明道”，闡述題中道理，追本溯源

教師要讓學生懂得題中所蘊涵的數學原理，并通過這樣的活動提高學生問題解決的能力．層次1的講解是建立在學生已有認知基礎之上的，學生的認知很多時候有個特點就是“拿來主義”，這個“拿來主義”指的是學生一拿到題就直接動手算，而忽視了對題本身數學原理的分析．所以在順勢而為之后，教師需要追本溯源，這點也是教師在講解過程中的重點．

本題考查的函數為f(x)=ax3-x(a>0)，教師首先應引導學生如何分析這個函數.從函數的性質出發，這是一個三次項系數為正的奇函數．回顧整個高中數學的學習，學生在必修一“冪函數”的學習中了解了函數y=x3，之后卻很少對這個函數進行系統研究，所以學生不明此函數的“道”．為此，筆者在講解過程中設置了以下幾個環節來突破這個學生的認知難點．

活動1 畫出下列函數的圖象：①y=x3；②y=x3-x．

第一張圖利用冪函數圖象繪制，第二張圖有的學生利用導數分析單調性繪制，有的利用高次函數圖象“奇穿偶回”繪制，對于后者，筆者額外要求再繪制③y=x3+x的圖象．通過活動1的繪圖發現本題考查的三次函數圖象的形態有兩類，筆者把這兩類分別稱為“一路單調型”(圖1)和“一波三折型”(圖2)．這是對函數圖象形的宏觀把控．

圖1 “一路單調型” 圖2 “一波三折型”

活動2 對于|f(t+2)-f(t)|，設問學生這個式子在哪見過，有什么幾何意義？

生：在學習函數導函數時．

師：那么這個式子是研究什么的？

生：研究函數相鄰兩個單位長端點縱坐標差的絕對值大小．

師：也就是說這個式子是幫助我們來研究這個函數圖象在某兩個單位定義域所對函數圖象的微觀特征．

活動3 題組一

①已知t∈R,函數f(x)=x3，求|f(t-1)-f(t+1)|min．(答案：2)

②已知t∈R,函數f(x)=x3+x，求|f(t-1)-f(t+1)|min．(答案：4)

③已知t∈R,函數f(x)=x3-x，求|f(t-1)-f(t+1)|min．(答案：0)

通過①②(圖3)，學生能夠感知當三次函數圖象為“一路單調型”時，所求式子在t=0時，即位于原點左、右兩個單位定義域內函數值變化最小．

通過③(圖4)、④(圖5)、⑤(圖6)，學生能夠感知當三次函數圖象為“一波三折型”時，所求式子的值變化取決于研究區間的大小及圖象上原點兩側零點之間的距離．

圖3 圖4

圖5 圖6

活動4 題組二

①已知b∈R，函數f(x)=x3+bx，若存在t∈R，使得|f(t+m)-f(t-m)|=0，則實數b與m需滿足的關系是．

對于①，可以采用數學軟件輔助教學，讓學生先進行直觀感知，然后再從解析式角度進行計算，可以得到滿足的關系是m2+b=0．

在教學中筆者通過設置若干不同的數學活動，幫助學生從宏觀到微觀理解此題考查的函數圖象形態，刨根問底，揭示問題背后的數學原理．

層次3方法選取要“優術”，整合認知的結構，反思擇優

教師講完習題不能就此結束，應該讓學生就教師分析的思路進行有效操練.這里的優化應該是學生在教師分析后的操練及操練后的反思，以及在新的認知結構上對于同類問題的解決．層次3決定了此習題講解教學的成功與否．

學生在教師講解后從|f(t+2)-f(t)|的角度出發對式子進行了整理化簡、討論求值，并對幾種不同的解法再次一一進行自主學習，即思維的重組和建構，從函數f(x)=ax3-x的圖象角度出發去思考圖象的特征，完善此題的解法．

解法6當a>0時，圖象形態是“一波三折型”的，且圖形關于原點對稱.

令t=m-1，則|f(t+2)-f(t)|=|f(m+1)-f(m-1)|.

有效的反思能夠促進學生日后解題的“優術”．筆者在教學中從學生反思得到以下疑問：

(1)這幾個函數形式上都沒有x2項，如果函數改為f(x)=x3+x2會怎么樣？

(2)此題的函數可以換成其他函數嗎？

對于這些疑問，教師在備課時應有適合教學班學情的知識拓展準備，筆者準備的是繼續研究三次函數的中心對稱性．這里就要從f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)這個一般式說起，最簡單的三次函數f1(x)=ax3(a≠0)，它的圖象是以原點為中心的中心對稱圖形.f2(x)=ax3+d(a≠0)的圖象是在y=f1(x)的基礎上上下移動|d|個單位，它的中心對稱性也沒有改變．f3(x)=ax3+cx(a≠0，c≠0)是兩個奇函數相加，雖然從圖象特征來講，有“一路單調型”與“一波三折型”，但是最終都還是奇函數，y=f3(x)的圖象特征還是關于原點成中心對稱圖形.若在此基礎上再添加一個常數項d,它的中心對稱性也沒有改變，即y=f4(x)=ax3+cx+d(a≠0，c≠0，d≠0)的圖象也是一中心對稱圖形．

那么f5(x)=ax3+bx2(a≠0，b≠0)呢？

結合這個問題，筆者將原題中的函數進行改編：

改編2 已知函數f(x)=xlnx-x，t∈R，求|f(t+2)-f(t)|min．(答案：0)

此題講解完后,筆者在檢查學生的整理本時看到：“這個題我拿到就算了，還是應該再多想想”“這個題考查三次函數的形，我都沒有注意到，原來三次函數圖象也是和二次函數圖象一樣是有規律的”“絕對值問題可以轉化為兩個函數縱坐標之差，在分析函數時，下次要多想想”“三次展開我算錯了，下次計算要仔細注意符號”，等等．看到這樣的自我反思，筆者認為我們的教學初見成效，教師教學的行為促進了學生學的改進．

最終檢驗學生核心素養的高低，必須通過解決數學問題來體現[4]，因此習題教學必不可少．教師在講題時，應做到“取勢”“明道”“優術”這三個層次．通過這樣的教學行為，促成學生有效的數學學習過程，并在此過程中促進其自身認知結構的整合．好的認知結構的建立，有助于學生在掌握知識與技能的同時理解知識的本質，感悟知識所蘊含的數學思想，積累數學思想和實踐的基本活動經驗.分析解題過程不僅能“改進”解答，而且總能提高“理解”水平[5]，并在此基礎上發展數學學科核心素養．