依托“符號意識”培養建構數學模型關鍵能力

盛小青 (江蘇省常州市新北區飛龍中學 213022)

1 問題的提出：符號意識的認識及解讀

《義務教育數學課程標準(2011年版)》(下稱《課標2011》)提出十大核心概念：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新思想．十八大也提出“教育的根本任務在于立德樹人”，教育部在義教課標頂層設計中明確數學學科“立德樹人”的目標在于提高學生數學學科的核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析．符號意識與數學抽象、邏輯推理有明顯交集，由此可見數學符號意識的地位和重要的數學價值．符號是數學的語言，也是數學的工具，更是數學的方法．數學符號具有的抽象性、明確性、簡略性、通用性等在數學發展中起著舉足輕重的作用．廣義數學符號系統包括數字、字母、圖形、關系式等，學生在數學學習中無時無刻不與符號打交道，只有認識符號的重要性，以數學符號作為媒介去解剖數學問題，才能抽象推理出與實際問題情境相匹配的數學模型．所以新課標把原來的“符號感”升級為“符號意識”，就是從意識形態上提示我們運用符號要成為一種主動的心理傾向，既要理解并運用符號來表示數、數量關系、變化規律，還要有主動運用符號參與運算和推理的意識，更要理解符號的使用是數學表達和數學思考的重要形式．在教學中重視符號意識的滲透，才能培養學生快速有效地建構匹配的“數學模型”，才能把實際問題有效化歸為純數學問題去分析解決．

2 符號意識包含的內容和建構數學模型的作用解讀

數學符號最本質的意義在于它是抽象的結果，數的符號、字母符號、數和字母的運算及推演都是結合生活實踐加以抽象，逐漸形成法則.可以說數學符號與數學概念、命題一樣是一種成熟的數學表達形式，是重要的數學思想方法之一，發展學生的符號意識是重要的教學目標并具有豐富的現實意義．

(1)符號的本質在于可以表示數、數量關系、變化規律

數字本身就可以作為大小排序的符號，引入字母表示數后的經典應用主要有兩類：一類是撿到人民幣若干元的失物招領問題，可以用撿到人民幣n元這一多數人認可的形式初步感受用字母符號表示數；第二類是數青蛙腿的順口溜，在用數字念順口溜越來越難并發現順口溜無窮無盡時，可以借助字母表示順口溜中呈現的變化規律，用一句話即可完全概括．數學學習總是由易到難，循序漸進，符號表達的對象、符號關系式或數學模式語言去表示特定的數學變化規律均經歷了從簡單到復雜、從相對具體到相對抽象的過程．如果在數學學習中能長期滲透同一數學對象可以用不同的符號去進行數學表達的意識，如關系式、表格、圖象等，而且這些表達方式可以互相轉換，那么我們就明晰了數學模型的基本要素——符號．教學中常用的數形結合、化歸思想與數學表達方式的有效轉換也不謀而合．

(2)符號的核心價值是使用符號進行符合邏輯的運算和推理

運算和推理是數學活動最重要的基本形式.如果說用符號表示具體問題中的數、數量關系、變化規律等是數學思考的第一步，那么一定并合理的邏輯法則支撐下使用符號運算和推理才是至關重要的．而學生使用符號進行運算和推理的意識和能力都是目前特別欠缺的．教學中，只有不斷滲透以符號為媒介進行關系轉換、合情推演，結合演繹推理、模型抽象等思想方法，才能有效提高學生模型的建構能力，最終建構合理的“數學模型”去解決實際問題．

(3)“用”符號是數學表達和數學思考的重要形式

數學符號光“懂”是不夠的，關鍵是會“用”.所謂的數學表達就是學生在解決實際問題時采用的必要方式，有效的數學表達需要以符號作為媒介進行數學語言表達．有效的數學思考也必須借助符號進行，只有符號參與的數學表達和數學思考才能超越數學對象的具體屬性，從形式化的角度進行邏輯推演，才能保證結果的嚴謹性、唯一性，保證方法的可操作性和通用性．

3 從一堂課談符號意識的滲透與建構數學模型的培養

《課標2011》明確指出，數學教學必須結合概念、命題、公式的教學，不斷培養學生的符號意識，盡可能通過實際問題或現實情境創設，引導、幫助學生理解符號以及表達式、關系式的意義，進而對現實情境問題進行符號的抽象和表達．特別強調發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程的本質就是先進行符號的抽象與表達，再使用符號進行運算、推理、思考；要主動引導學生經歷這一完整過程，才能積累學生運用符號的數學活動經驗，感悟符號所蘊含的數學思想本質，真正培養學生的符號意識，提高建構數學模型的能力．“用數學的眼光看問題”這節課正是基于本目標展開的教學設計.下面就結合九年級上“用數學的眼光看問題”這節課的教學設計，談如何通過符號意識幫助學生把生活中的實際問題轉化為純數學問題并建構成分式“模型”的設計思路．

教學目標 (1)理解糖水濃度的分式表示；(2)能用分式表示糖水濃度的變化；(3)構建數學模型體驗生活中的數學，提升學習數學的興趣．

重難點 數學模型的構建．

教學過程

·板塊1——用數學的眼光看一個生活問題

問題1給杯中加一定水，然后加糖，根據加糖多少糖水就有濃有淡，我們如何用數學方式表示糖水的濃淡程度(簡稱糖水濃度)呢？

問題2給剛才杯中的糖水繼續加糖，這時候感覺糖水如何？你能用數學方法來描述你的感覺嗎？

教師引導分析：(1)剛才杯中的糖水濃度如何表示？(2)繼續加糖，這時候糖水濃度如何表示？(3)變甜是什么意思，怎樣用數學方式表達糖水變甜？

(學生獨立完成)

教師歸納：在這個問題中，要分離出原來、現在的濃度如何表示，變甜的數學本質是濃度變大．

設計思路從生活中常見的實際問題出發，讓學生主動去發現糖水的濃淡問題就是糖的質量與水溶液質量的比值問題.可以用字母分別表示變化中的糖和水的質量，就能建構用符號表示的基本數學模型——分式.這一數學思考過程中要引導學生主動經歷符號的抽象和表達過程，逐步培養學生主動用符號的意識．

問題4用數學方法嘗試說明一杯糖水中繼續加水后變淡了．

(學生獨立完成，同伴互查)

設計思路嘗試分析一杯糖水加水變淡問題，就是要求學生能在符號表達的基礎上初步嘗試使用符號進行符合邏輯的運算和推理，把探索糖水變濃變淡問題抽象轉化成研究分式的值在分子分母變化后的變化問題.這兩個問題意在讓學生初步感受數學過程往往就體現于“數學符號之間的運算”這一數學思考的本質．

·板塊2——進一步探究有關糖水中的現象

問題1現有兩杯糖水，一杯濃，一杯淡，進行混合．混合后你的感覺怎樣，如何用數學方式來表示這種感覺？

教師引導分析：(1)濃的糖水、淡的糖水濃度如何表示？(2)混合后的糖水濃度如何用式子表示？

(學生獨立完成后，同伴相互說一說)

教師歸納：(1)如何表示濃淡不一的糖水；(2)如何將生活的感受轉換成數學表達．

問題2上述問題中兩杯糖水混合后的濃度是不是就是兩杯的平均濃度呢？

教師引導分析：(1)這里涉及的三個濃度如何表示？(2)題目的意思如何用數學來表達？(3)不妨取一些特殊值嘗試，發現什么規律？(4)如何來說明是否相等？

(學生獨立嘗試，同伴說一說)

教師歸納：(1)這里包含哪幾個概念；(2)如何說明是否相等.

設計思路經過數學抽象，學生已經發現糖水的濃度問題符號表達的本質就是糖的質量與糖水混合液的質量比值——分式的值，引導學生思考比較兩杯不同的糖水的濃度問題可以使用分式的加減乘除符號參與運算和推演.如果推演后得到兩杯糖水濃度的最終符號結果具有相同的數學表達式，那么兩杯糖水一樣甜，反之則不一樣．符號推演及運算是超越了研究糖水問題的具體屬性的高度抽象，在板塊1中一杯糖水濃度的基礎上更進了一步，對學生運用符號進行數學思考的要求又上了一個臺階．兩杯糖水混合后的濃度是否與兩杯糖水的平均濃度相同的問題對學生挑戰比較大，可以鼓勵學生先用一些特殊值去進行計算猜想，再使用符號去進行運算、推理，驗證猜想的正確性和科學性，感受運用符號的數學表達和數學思考在數學學習中的獨特思維品質．

·板塊3——糖水中可以得到一個的結論

問題1一大杯糖水分別倒入三個小杯中，大杯、小杯中的糖水濃度有什么特征？

教師引導分析：(1)這里的濃度有什么特征？(2)你能發現什么？

(學生獨立思考后同伴說一說)

歸納：(1)這里得到了分式的一個很重要的性質(等比性質)．

問題2假如把這一大杯分給五個小杯后你能得到怎樣的數學性質？

(獨立完成，同伴交流)

設計思路基于學生的生活經驗，很容易理解大杯中的糖水倒入不同的杯中，不會改變糖水的濃度．要引導學生把生活經驗轉化成數學表達即符號表達，那么學生的符號意識就能在潛移默化中增長．在使用符號的數學表達中發現當分式的分子與分母以相同的比例變化時分式的值不變，也就自然生成了分式的等比性質這一數學模型．很多數學的定理和性質正是通過生活經驗和符號運算進行相互驗證后得出的，這種認知結構既符合學生的認知經驗，也進一步讓學生感受到符號作為媒介的數學表達形式的價值所在．

·板塊4——歸納與整理

問題1今天我們學習了如何用數學方式來描述糖水的濃淡，也就是用數學的眼光來描述自然現象，其實我們以前也經常這樣去嘗試：

(學生讀一讀)

問題2有一桶水質量為100 kg，用來洗一件含有akg臟物的衣服(臟物能完全溶于水)，每次洗后留在衣服上的臟水1 kg，問：這桶水分一次洗衣服干凈，還是平均分兩次洗干凈？

(教師引導分析題意后，學生獨立完成)

問題3如何判斷兩個圖形“像”與“不像”？

我們知道，生活中有一些平面圖形之間并不完全相似，有時感覺兩個圖形“像”的程度大一點，有時感覺兩個圖形“像”的程度差一點.那么我們怎樣用數學方式來描述兩個圖形“像”與“不像”呢？解決下列問題：

圖1 圖2 圖3

圖1中三角形為正三角形，圖2和圖3中三角形都為等腰三角形．我們的視覺中，圖2中等腰三角形形狀更像(更接近于)圖1中正三角形．請你用數學方式來描述等腰三角形與正三角形的接近度(如果一個等腰三角形與另一個等腰三角形相似，我們就認為這兩者與正三角形接近度一樣或一樣“像”)．

(教師引導分析題意后，學生獨立完成，小組交流)

設計思路本環節是用數學的眼光看問題的拓展與延伸，進一步凸顯了數學符號具有高度的概括性和一般性特征.在把現實問題中的生活語言轉換成符號語言時，我們要抓住其數學本質予以解讀和表征，要靈活地、全方位地去認識和理解符號的意義和符號之間的關聯性．特別是同一符號的多重意義的理解，如糖水濃度問題的符號表達也可以表示走路的快慢、電流的強弱、物品的價格高低等.學會使用數學符號去進行合理的數學表達，那么生活中很多實際問題都可以轉化為數學問題去思考、去表征，從而建構數學模型去解決．

4 結束語

歐洲文明的起源地是古希臘，古希臘人認為世界就是一個簡單的、符合邏輯、能以數學表達的世界.這一數學認識既與我們今天倡導的符號意識不謀而合，也為符號意識提供了強大的理論支撐．在遙遠的歐洲古典時期數學家就有如此的遠見卓識更彰顯了符號意識的重要地位，在試圖全面提升學生數學素養的今天，我們更要在教學中引導并幫助學生牢固樹立符號表示、使用符號運算推演并解決實際問題的意識，長期滲透符號意識，培養學生主動建構數學模型，學生解決實際問題的能力才能真正提升并收到實效．