回歸課本，提高高三數學一輪復習高效性的有效途徑

周穎嫻 (江蘇省常熟中學 215500)

“源于課本又高于課本”是高考命題的一個基本原則，這一原則為我們教師在高三復習時指明了方向．縱觀這幾年的高考試題，相當數量的試題都能在課本中找到原型，因此在高三數學復習中必須立足課本.通過回歸課本，讓學生掌握數學的基礎知識、基本方法、基本思想.同時，由于高考的選拔功能，在立足課本的基礎上，我們又要充分挖掘課本中蘊含的數學思想和方法．但是，現在存在的問題是，許多教師拿著一套復習資料從頭講到尾；或許也有教師意識到了課本的重要性，也讓學生經常翻閱課本，但僅僅停留在看課本的層面，并沒有意識到復習中課本對提高學生能力的重要性．下面，筆者就在一輪復習中回歸課本的重要意義和回歸課本的具體做法談自己的一些觀點和具體操作，不足之處敬請同仁批評指正．

1 高三數學一輪復習中，回歸課本的重要意義

筆者對江蘇省2008—2017年高考數學試題進行分析，經仔細整理、逐題對比，發現這9年江蘇高考真題(必做題部分)中與課本題目直接相關的題目很多(見表1)．

表1

從上表可以看出，高三復習過程中的教材開發是整個復習過程中非常重要的一個環節，也是高三數學復習的一個高效環節．

(1)回歸課本，有助于使學生重視基礎知識，重視知識形成過程，重視概念、定理的理解和應用，重視公式的靈活應用

數學教學中，定義要一個個地教，定理要一個個地證明，公式要一個個地推導．這些定義、定理、公式及其內容等反映的數學思想方法分散在中學不同階段、不同內容的教學中.高三一輪復習的重要任務是梳理知識，讓知識系統化、網絡化，從而使學生真正形成良好的數學認知結構．由于高一高二階段數學知識是以模塊的形式呈現的，學生對整個知識的網絡結構可能并不熟悉，因此，在高三復習階段，教師可以培養學生通過回歸課本，站在數學整體的高度與課本對話，讓不同板塊的知識形成交匯，成為系統．同時，回歸課本有助于學生檢查自己在一些重要結論與基本方法等知識點掌握上的欠缺與錯誤，進而更準確更有效地解題．當然，在課本中，比這些結論更重要的還有方法，有些學生記住了公式卻忘記了方法，其實不僅公式重要，推導公式的方法也很重要，很多高考題需要用到的正是那些推導公式的方法．

(2)回歸課本，有助于使學生重視課本例題、習題中潛在思想方法的挖掘和應用

課本的例題、習題是教材核心內容的程序化展現，教材例題、習題對開發學生的學習潛能具有復習資料難以比擬的功能.教師研究教材例題、習題，不應只停留在題目所涉及的數學概念和基礎知識上，而要深度挖掘題目背后所蘊含的內容，提煉其數學思想方法.教師需要充分利用課本例題、習題的示范引領功能，盡最大可能地發揮其潛在價值，通過對題目的條件或結論的改變，做到以例啟思、以例帶類、舉一反三、觸類旁通，達到對知識的深化理解，實現復習教學的減負增效．

(3)回歸課本，有助于使學生規范解題，掌握“通性通法”，積累解題經驗和方法

高考數學試題重視和突出對三基的考查，強調通性通法，淡化解題技巧．因此，在復習備考中要注重回歸課本，吃透課本中例題、習題的處理過程，規范解題過程，最終形成解決一類問題的通性通法，以不變應萬變．

另外，在歷年的高考閱卷中，學生由于書寫不規范扣分的情況屢見不鮮.在高考答卷時，如何才能做到規范解答，哪些結論不能直接套用，哪些過程不能省略，哪些表述不能隨意，等等，這些問題到最后只能依據課本，需要課本來正本源清，而復習資料難免會存在一些不規范的東西．

2 高三數學一輪復習中，回歸課本的具體做法

回歸課本并不是對課本的簡單重復，而是在高考的背景下基于課本又高于課本，是對課本的再開發和對知識的再升華．復習時就需要以課本為依據，整合知識板塊，構建知識體系.筆者結合“圓錐曲線”一章內容，具體做了如下一些工作．

(1)回歸基礎，理清課本章節之間的聯系，揭示本質屬性，形成知識的交匯融合

高三一輪復習的重要任務是梳理知識，讓知識系統化、網絡化．在復習中，我們既要把每一個邏輯關系、每一個細節都搞清楚，又要讓學生站在數學整體的高度與課本對話，讓不同領域的知識交匯，成為系統．

案例1圖1給出了圓錐曲線整個章節的流程圖：首先學習圓錐曲線的概念，通過方程研究了圓錐曲線的基本性質，運用圓錐曲線的方程和性質解決一些實際問題．最后，在直線、圓及圓錐曲線的基礎上，引入曲線方程的概念，介紹求曲線方程及用方程研究曲線之間關系的基本方法，進而我們還可以通過求曲線與方程的基本流程，回顧直線方程與圓的方程的探求過程，從而可以給出求一般曲線與方程的一些基本方法(本文的案例4通過一些問題給出相關求曲線方程的基本方法)．當然，我們還可以對上述流程圖進行相關補白．

圖1

例如，對圖1可以補白相關問題：1)直線、圓及圓錐曲線的幾何背景是什么？2)直線、圓及圓錐曲線是如何定義的？3)如何推導直線、圓及圓錐曲線方程？有哪些方法？4)如何通過曲線方程研究曲線性質？其基本思想方法有哪些？5)曲線與方程的概念是什么？6)求曲線方程的一般步驟是什么？

(2)理清知識的本質屬性，揭示概念的內涵，準確把握基本概念

我們常常聽見學生考完試后說：“老師，這個題目我應該會的，只是當時粗心了，沒有正確運用公式”,或者“老師，這個題目我沒有看到限制條件”等等.殊不知，很多造成錯誤的主因就是對基本概念、基本技能、基本方法掌握得不牢固．因此，在復習中要設計有針對性的問題，對基礎知識、基本技能和基本方法進行鞏固和提升，讓學生認清問題的本質，理清概念的內涵，提高復習的有效性．

在復習“曲線與方程”這一節時，我們首先可以回顧曲線與方程的概念，進而回想探求直線方程、圓的方程及圓錐曲線方程的步驟，從而進一步認識曲線與方程的相關關系．

案例2觀察表2中對應的方程與曲線，說明它們有怎樣的關系.

表2

本題是由蘇教版《數學》(選修2-1)第61頁練習第5題改編而來.這樣的設計采用了概念復習習題化的策略，通過練習，了解曲線與方程概念的來龍去脈，知道曲線C上的點的坐標(x,y)都是方程f(x,y)=0的解以及以方程f(x,y)=0的解(x,y)為坐標的點都在曲線C上；通過方程與圖形的對比、方程與方程的對比，揭示概念的內涵，認清代數中的數與幾何中的形相互統一的關系，深刻理解解析幾何的核心思想——數形結合思想，從而準確把握數學概念的本質屬性．

(3)挖掘知識的根本，弄清知識的生成過程

高考數學，是對重要知識和思想方法的考查.數學知識經過數學家的不斷錘煉，具有高度抽象性，在知識的生成過程中，也體現著數學家們的思考方式、處理方法.因此，在復習中還需要教師講清知識的生成過程，并且能夠內化為學生能夠掌握的思想方法．比如，在橢圓標準方程中，不僅公式重要，推導公式的方法也很重要．其實，很多高考題需要用到的正是那些推導公式的方法．

案例3在復習“橢圓方程及其性質”這一節時，不妨先讓學生回顧焦點在x軸上的橢圓標準方程的推導：設橢圓的兩個焦點分別為F1,F2，它們之間的距離為2c，橢圓上任意一點到F1,F2的距離和為2a(2a> 2c).以F1,F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xOy，試推導橢圓的方程．

教材給出的數學定理、公式的發現過程往往是簡單的，是師生共同探索獲得的那一種最容易理解的方法，證法也是單一的，似乎未能很好地暴露出發現和證明的探究全過程.因此，教材騰出空間，通過設問，將完整的探索機會讓與學生．當然，對教材中數學定理、公式的發現與證明過程進行有益拓展，應著眼于創新能力的培養，以探究發現為線索，讓學生在探索中獲得學習的樂趣和研究的能力，在方法應用中感悟數學的思想智慧．

運算能力是高考的一個重要考查內容．上述推導橢圓標準方程的三種方法都體現了一定的運算技巧:方法1體現了最常規的根式有理化的運算處理方法；方法2、3雖然推導簡單，但是需要學生對表達式做充分的觀察、認識，對能力的要求比較高．同時，在推導方程的過程中，其中一些方法也揭示了數學概念的本質屬性．在回顧橢圓標準方程的推導方法以后，我們還可以給出以下的練習題：

圖2

練習1 如圖2，在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成，兩相接點M,N均在直線x= 5上，圓弧C1的圓心是坐標原點O，半徑為13，圓弧C2過點A(29, 0)．

(1)求圓弧C2的方程；

(2)已知直線l:x-my- 14 = 0與曲線C交于E,F兩點，當EF= 33時，求坐標原點O到直線l的距離．

在本題第(2)問中，其計算的基本思想恰好體現了推導橢圓方程的方法．

數學概念的本質屬性是該類事物變化當中保持不變的屬性．掌握數學概念的本質既需要分析其定義形式，更需要在比較、變化等聯系性活動中揭示其內涵．所以，真正能夠衡量和甄別學生認識能力和水平的不是他們對靜態知識的記憶、再現和簡單應用，而是他們從數學活動中獲得的知識出發，對靜態結果知識所進行的動態理解、闡釋、批判、綜合和創新．

(4)挖掘例題、習題的教育教學功能，提煉數學思想方法

數學教育家波利亞曾說：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域．”高考命題的一個基本理念是“源于課本，高于課本”．高考試題“源于課本”的特點決定了在高三復習中必須立足課本，讓學生掌握數學基礎知識、基本技能、基本思想方法.同時，高考的選拔功能又決定了高考試題又“高于課本”，因此，在立足課本的基礎上，還需要挖掘課本例題、習題所蘊涵的數學思想方法、拓展性結論、解題技能與方法，把方法交給學生．

案例4求平面內到兩個定點A,B的距離之比等于2的動點M的軌跡方程．

本例是蘇教版《數學》(選修2-1)第63頁例2，其背景是阿波羅尼斯圓.首先，教師可以通過設問引導學生復習求曲線方程的一般步驟，通過板書，突出解題規范；其次，教師可以通過變式(以下給出)，幫助學生系統地梳理中學階段常見的求軌跡方程的方法，使學生明確在什么情況下用哪種方法．

變式1 在△ABC中，AB= 2，頂點C滿足AC= 2BC，求頂點C的軌跡方程．

變式2 在△ABC中，AB= 2，頂點C滿足AC=λBC(λ> 0)，求頂點C的軌跡方程．

變式3 在△ABC中，AB= 2，頂點C滿足AC+BC=λ(λ> 2)，求頂點C的軌跡方程．

變式4 在△ABC中，AB= 2，頂點C滿足 |AC-BC| =λ(0 <λ< 2)，求頂點C的軌跡方程．

變式5 在△ABC中，AB= 2，頂點C滿足AC= 2BC，求△ABC面積的最大值．

變式6 在等腰△ABC中，腰上中線長AD= 2，求△ABC面積的最大值．

變式7 在△ABC中，AB= 2，頂點C滿足AC= 2BC，求△ABC重心G的軌跡方程．

變式9 (能力提升)設點M在圓C：(x- 4)2+ (y- 4)2= 8上運動，點A(6, -1)，O為原點，求MO+ 2MA的最小值．

本例的背景是阿波羅尼斯圓.從本例的處理過程可以看出，通過對課本例題或習題的變式訓練，可以培養學生提出問題和解決問題的能力，可以幫助學生尋找知識之間的聯系與區別，把握知識的本質屬性．

“源于教材又高于教材”是高考命題的主旋律，教材中例題、習題反映了相關數學理論的本質屬性，蘊涵著重要的數學思想方法，具有典型的解題示范作用，有著較高的開發潛質．從本例可以看出，探究與例題、習題類型、結構、方法相似的變式題，可以培養學生提出問題、分析問題和解決問題的能力.同時，以課本中的例題、習題為依托，進行有針對性的變式探究、拓展、改造，其目的在于讓學生學會把具有共性的知識間的內在聯系條理化、系統化，注重知識的形成過程，尤其要深刻體會其中蘊涵的數學思想方法，以達到優化知識、開闊視野、活躍思維目的，使得所學知識得以系統整合．

教材凝聚了專家們的心血智慧，教材中的內容具有很強的基礎性、典型性與示范性，它是教師教學的基礎和根本，也是命題的立足點．教材中的定理、公式的證明與推導都體現了規范性與嚴謹性，體現了數學中的基本思想方法.教材中的例題習題都是經過專家精心構思、反復推敲后選定的，大部分題目比較基礎，入口淺，有利于學生夯實基礎知識；同時，教材中的許多例題習題還能進行深入的挖掘與拓展．因此，數學教材不僅是教師施教、學生學習的主要載體，也是高考命題的重要依據．高三數學復習中，認真專研教材，活化教材內容，進一步開發教材，拓展其教育教學功能，是高三數學復習的有效途徑．