基于HPM的數學教學設計探析
——以“平行線的性質”為例

鐘志華 周美玲 (南通大學理學院 226019)

袁偉楠 (南通大學教科院 226019)

1 地位與作用

本設計選自人教版《數學》七年級(下冊)第五章第2節“平行線的性質”．它是在學生已經學過平行線的概念和判定定理基礎上對平行線的進一步深入研究．圖形的性質研究圖形構成要素之間的關系，它和圖形的判定是幾何圖形研究的兩個重要方面．平行線的性質是學生對圖形性質的初次系統研究，對今后學習其他圖形的性質有示范作用．平行線的性質是證明角相等、研究角的關系的重要依據，是研究幾何圖形位置關系與數量關系的基礎，是平面幾何的一個重要內容和學習簡單邏輯推理的素材，它不但為三角形內角和定理證明提供了轉化方法，而且也是今后學習三角形、四邊形、平移及立體幾何、解析幾何等知識的基礎．另外，由平行還可以進一步演繹出平移、移植等重要思想方法.由平行線引出的平移變換作為一種基本而重要的變換在數學知識的學習中具有非常廣泛的應用，通過平移可以將各種復雜函數轉化為簡單函數來研究，如將一般二次曲線轉化為標準二次曲線來研究，將一般三角函數轉化為基本三角函數等．而若將平移這一方法再作進一步推廣,則又可以得到科學研究中的一種重要方法——移植方法．如可將研究指數函數的方法應用到對數函數、三角函數、反三角函數等許多函數的研究中，或將橢圓的研究方法移植到雙曲線、拋物線的研究中，還可將數學的研究方法移植到物理、化學等學科……

分析依據 美國著名教育家奧蘇伯爾在其名著《教育心理學——認知觀點》的扉頁上曾經寫到：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學習的唯一重要的因素，就是學習者已經知道了什么．要探明這一點，并應據此進行教學．”[1]教材地位分析的本質就是要通過揭示新舊知識之間的聯系為新知識的學習找到恰當的認知起點．就本節課而言，既可以平行線的定義作為認知起點，也可以平行線的判定定理作為認知起點，還可以學生的生活經驗作為認知起點．

HPM的最重要價值就在于它可以充分揭示數學知識的來龍去脈，為教材地位與作用分析提供清晰的分析框架．事實上，數學史就如同一個坐標系，它可以為分析者準確了解學習者的認知結構在數學史中所處地位提供參照．比如《幾何原本》中一般都會介紹某定理在證明過程中用到哪些已有定理、公理或公設，同時還會介紹它在后續的哪些定理的證明過程中被用到．這本身就是一個現成的教材地位與作用分析模板，雖然不一定照搬照抄，但對現在的教材地位與作用的分析還是很有啟發的．

不過，數學史更有價值的還是啟發意義．比如關于平行線的定義，歷史上曾經有過很多說法，如等距離定義：“平，等高也”(墨子);若兩條直線彼此處處等距，則稱它們為平行線(巴蒂).又比如目前教科書中普遍采用的“不相交定義”：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線.再比如“同方向定義”：在空間中具有相同方向的兩條直線稱為平行線.此外，還有“無傾斜定義”：彼此沒有傾斜的直線稱為平行線．充分了解這些定義，不僅有利于教材編寫者編寫出更加合理的教材體系，而且有利于教師根據學情靈活地進行教學設計．

2 學情分析

從學生的已有知識和經驗看，學生之前已經系統學習了相交線、同位角、內錯角、同旁內角等概念及對頂角、鄰補角的性質，這些為本節課的學習奠定了良好的知識基礎；另外，學生之前已經初步接觸了演繹思想并具備了初步的說理和推理能力，這些都為平行線性質的探究提供了能力和方法上的保障．但對圖形性質的研究之前很少，學生對研究過程和研究方法都比較陌生，需要教師進行恰當引導．

作為培養學生推理能力的內容，對于性質2和性質3的推導，學生可以做到“說理”．但把推理過程從邏輯上敘述清楚還存在困難，需要教師先示范，學生再模仿．關于推理過程的符號化，對于剛剛接觸平面幾何的初一學生而言，具有一定的難度．為此，在推理過程符合邏輯的前提下，對于學生在證明過程中使用文字語言或符號語言來進行表述的方式不作限制，而更多關注學生對證明本身的理解．

分析依據 HPM可以為學情分析提供參照．重演論認為，個體數學理解過程與數學歷史發展過程具有相似性．學生的錯誤和認知障礙與數學史上的錯誤和認知障礙是有關聯的，了解歷史上的重要時刻可以為教師提供預測學生認知障礙的工具．[2]在《幾何原本》中平行線性質的得出不僅要用到第五平行公設、三角形的外角大于任一不相鄰的內角(這一條可以不用)等知識，而且還要用到反證法及分類討論思想[3].充分了解這些知識的數學歷史，可以為教師準確分析學情提供很好的參照．

3 教學目標設計

基于以上的教材地位、作用與學情的分析，我們將本節課的目標確定如下：

(1)通過觀察、操作、反思、推理等數學活動理解平行線的性質，能運用平行線的性質解決簡單的數學問題或實際問題．

(2)經歷平行線性質的探索、發現過程，感受分類、推理及化歸等重要數學思想，認識到地位不同的數學知識的學習應采取不同的方法來進行．

(3)充分挖掘《幾何原本》和“第五平行公設”這一數學文化的教育價值，在欣賞數學文化博大精深的同時感受和體驗數學知識的邏輯性與數學美，逐步提升數學核心素養．

分析依據 HPM方法不僅可以為教學目標的設計指明方向，而且可以為判斷教學目標的合理性提供可靠的標準．以往的教學一般是通過直接作圖、觀察、測量、驗證或從平行線的判定定理出發先猜想、再驗證的方法來進行教學的．這種四平八穩式的教學設計雖然充分考慮了學生初學幾何困難較大的實情，但忽視了數學知識本身的特點．從平行線性質這一數學知識的發展歷史來看，平行線性質的推導要以“第五平行公設”為基礎，特別是“兩直線平行，同旁內角互補”這一性質在某種意義上可看做是“第五平行公設”的逆否命題，而“第五平行公設”不僅對《幾何原本》的構建具有重要作用，而且對非歐幾何的產生與發展具有非常深遠的影響．因此，在平行線的教學過程中教師應該因材施教，通過充分挖掘《幾何原本》和“第五平行公設”這一數學文化的教育價值，讓學生徜徉在數學歷史長河中深刻感受和體驗數學知識的邏輯性與數學美，這是本節課的核心教學目標，同時也是本節課的靈魂．

從平行線性質的探索、發現過程中不僅可以讓學生初步感受分類、推理及化歸等重要數學思想，而且可以認識到因材施學的重要性，即地位不同的數學知識的學習應該采取不同的方法．這也是本節課的重要教學目標之一．

4 教學重、難點分析

(1)教學重點：平行線第一條性質的探索與發現過程；感受和體會平行線性質中所蘊含的數學文化．(2)教學難點：平行線第一條性質的探索與發現過程．

分析依據 從HPM視角看，教學重點往往是在數學發展歷史中具有重要地位的那些知識．前已指出，平行線性質不僅是整個平面幾何的基礎，而且它對解析幾何、立體幾何及其他數學知識的學習都具有十分重要的作用．而在平行線性質這一節，平行線第一條性質的探索與發現過程是基礎、是重點，也是難點，因為其他定理都可以很容易由它直接推導出來．

5 教法、學法分析

(1)本節課主要采用問題解決教學法與啟發式教學法來進行教學.

分析依據 問題解決教學是教師通過創設問題情境，讓學生經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的全過程．杜威認為，問題解決教學法一般包括“情境、問題、猜想、推理、試證”這五個階段．問題解決教學法不僅可以讓學生更加深刻地了解知識產生和獲得的全過程，而且可以讓學生在此過程中掌握科學研究的一般方法，獲得探索發現的成功體驗．本節課中無論把平行線的哪個性質作為探索起點，都應該讓學生在充分探索的基礎上自然而然地產生出來，而不應該由教師強加給學生．要實現以上目標，教師不僅需要采用問題解決教學法通過精心創設問題情境來引發學生發現問題并提出問題，而且還需要巧妙設計具有啟發性的問題來讓學生發現并驗證猜想．

(2)本節課的學法主要有觀察、操作、思考、猜想、驗證等方式.

分析依據 能在數學史上占據一定地位并能流傳下來的往往是精品，選擇教法、學法可以從HPM中獲得啟示．從歷史上看，許多學生從《幾何原本》定理Ⅰ.6開始便出現困難(平行線的性質是定理Ⅰ.29)，七年級學生剛接觸推理證明，學生的數學抽象與數學推理能力還比較薄弱．因此，在教學中應充分依托觀察、實驗等學習方式來發展學生的猜想、推理能力．如果以平行線的判定定理作為認知起點，那么可以根據原命題與逆命題之間的內在聯系，讓學生通過“猜想-驗證”的方法來進行教學；如果學生的基礎比較薄弱，則可以采用先畫平行線，然后再讓學生觀察、測量同位角、內錯角或同旁內角之間的關系來發現平行線的性質；而如果學生有一定的數學史基礎，則可以利用“第五平行公設”這一數學史料并通過演繹的方法來進行教學．

6 教學過程設計

6.1 情境創設

首先向學生呈現一段數學史料：我們現在學習的幾何學起源于古希臘，“七賢之首”泰勒斯最先提出了演繹推理的思想，他認為幾何命題的正確性不能僅僅通過驗證來確認，而必須以有限的、大家公認的原理(公理)或假設(公設)為出發點通過嚴格的邏輯推理得到證明才能確認．后來畢達哥拉斯、歐幾里得等數學家提出了5條公理、5條公設，其中有一條在數學史上很有名，那就是第五平行公設，公設的內容是“同平面兩直線與第三直線相交，若其中一側的兩個內角和(同旁內角)小于二直角(180°)，則該直線必在這一側相交”.歐幾里得認為該公設可以通過前面的5條公理或4條公設推導出來，但他自始至終都沒有證明出來，后來很多數學家都一直想證明他的這個想法，但始終無功而返……在學生正享受穿越數學時空美妙體驗之際，教師適時拋出問題：假如知道第五平行公設，那可以由此得出什么結論？

分析依據 HPM不僅可以充分揭示數學知識的來龍去脈，為新知識的生成找到恰當的認知起點，而且可以觸發情境創設的靈感．這里采用附加式[2]創設數學史情境，并由該情境自然引出本節課所要研究的問題，主要基于以下考慮：平行線性質的引入，一般教材采用的都是讓學生先畫平行線，再畫一條直線與這兩條直線分別相交或從平行線的判定定理入手通過逆向思維來猜想平行線的性質，然后分別測量其中的兩個同位角并觀察它們之間的關系，在歸納的基礎上發現(或驗證)同位角相等，最后再通過演繹方法證明性質2和性質3．前一種處理方法的優點是形象、直觀且比較符合學生的認知水平；后一種處理方法的優點是滲透了圖形的判定和性質之間的互逆關系，有利于保持知識的連貫性.兩者的不足之處：一是割裂了知識之間的內在聯系，使得平行線的定義在整個知識體系中變成孤島；二是性質1只能驗證不能證明．而如果通過數學史上的第五平行公設來引入，一方面，可以利用定義推導出“兩直線平行，同旁內角互補”這一性質，使平行線的定義不再淪為擺設；另一方面，可以還數學知識發展的本來面目，可以借鑒數學知識發生發展的內在邏輯來促進學生理解；此外，還可以充分挖掘第五平行公設背后的數學思想和教育價值，并利用數學史來激發學生的學習興趣并拓寬學生的知識面．不足之處是探索過程和證明方法對初學者具有一定的難度．基于以上分析，創設這樣的教學情境從培養學生探究能力的角度看還是有一定價值的．

6.2 探索新知

假如學生能很順利地猜想出“兩直線平行，同旁內角互補”，那教師可以追問“你是怎么想到的？”“你能驗證或證明你的猜想嗎？”“你準備怎么驗證或證明？”；假如學生有困難，教師可以這樣啟發學生：“由第五平行公設你能聯想到什么？”或更進一步啟發：“第五平行公設中有哪些我們熟悉或相似的關鍵詞？”“由這些關鍵詞你能聯想到我們曾經學過的哪些知識？”；如果學生還有困難，教師可以將問題提得再具體一點：“這兩個內角之間有什么關系？”“我們之前有沒有研究過它們之間的關系？”“什么時候研究過它們的和？”“這和之前所學的知識之間有什么區別與聯系？”……通過這樣循循善誘的提問，學生應該能夠猜想出“兩直線平行，同旁內角互補”這一結論．

分析依據 楊玉東博士曾經提出：“要以本原性問題來推動數學教學．”數學史是數學的根，它不僅充分揭示了數學知識的來龍去脈，而且可以為數學知識的探究指明方向，可以通過對歷史上各種探究方法的優劣比較作出最佳選擇．因此，在進行數學探究中教師應充分回歸數學知識的產生與發展歷史，并從數學史中找到探究的思路和具有啟發性的數學問題．

另外，在探究過程中還用到了元認知提問．元認知提問是涂榮豹先生基于杜威的“暗示”概念和波利亞的元認知思想提出的一種啟發式教學方法．元認知提問通過設計由遠及近、由暗到明的一系列問題串來對學生進行循循善誘的啟發，讓學生在教師的不斷啟發下最終獲得發現．[4]這種提問方法不僅可操作性強，而且效果十分顯著，值得在教學中大力推廣．

6.3 驗證猜想

發現猜想以后很自然的就是要驗證猜想．此時，教師可以承接上一節的追問并引導學生通過觀察、實驗及運用幾何畫板等方法來對提出的猜想進行驗證．這方面學生在小學階段就積累了比較豐富的經驗，一般不會存在困難．驗證完猜想以后，教師可以向學生進一步提出證明猜想的問題．這不僅關系到平行線性質的嚴謹性問題，更重要的是要培養學生的推理意識．至于學生是不是能夠證明，那可以視學生的具體情況靈活應對．

平行線性質的證明既可以從同位角相等入手，又可以從內錯角相等入手，還可以從同旁內角互補入手．《幾何原本》中是從內錯角相等入手的，在實際教學中教師可以采從同旁內角互補入手，這樣不僅更自然，而且也比較容易理解．下面是“兩直線平行，同旁內角互補”這一定理的證明．

圖1

如圖1，若∠1+∠2≠180°，則∠1+∠2<180°或∠1+∠2>180°．若∠1+∠2<180°，則直線a,b在這一側相交；若∠1+∠2>180°，則由∠1+∠4=∠2+∠3=180°，得∠3+∠4<180°，從而直線a,b在另一側相交．這與已知條件a∥b矛盾，這說明∠1+∠2≠180°這一假設不正確，從而∠1+∠2=180°．

分析依據 雖然教材中平行線的第一條性質只需要驗證，不要求證明．但從問題解決教學法的一般過程來看，這一環節還是不可或缺的．因為證明不僅可以向學生滲透科學研究的一般方法，而且可以培養學生的數學推理素養，同時在證明過程中還可以讓學生初步感受反證法思想．當然，學生如果覺得證明確實有困難，教師可以對學生進行充分啟發或適當降低要求，如將推理改為說理或將證明改為驗證．

6.4 拓展應用

數學命題的教學一般包括命題的發現、命題的證明和命題的應用這三個階段．命題的應用不僅可以對已學命題進行鞏固與評價，而且可以深化理解并充分發揮命題的應用價值．

圖2

例1已知：如圖2，AB∥DE，DF∥BC，∠1 = 69°，求：∠2和∠3的度數．

設計意圖例1是平行線性質的直接應用，它既考查學生對性質1的掌握情況，而且還考查學生的綜合能力．

圖3

例2如圖3，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD， ∠B=60°．

(1)求∠C的度數.

(2)由已知條件能否求得∠A的度數？如果能求，請說出你的解法；如果不能，那你能不能通過添加條件求出∠A的度數？

設計意圖問題(1)考查的是學生對性質3的掌握情況；而問題(2)則是一道開放題，它不僅考查學生的圖形識別能力，即要能正確識別出哪些同旁內角是由哪些直線構成的，而且還考查學生的逆向思維能力和分析問題的能力．

圖4

例3如圖4，一束平行光線AB與DE射向一個水平鏡面后被反射，此時∠1=∠2，∠3=∠4．

(1)∠1,∠3的大小有什么關系？∠2與∠4呢？

(2)反射光線BC與EF也平行嗎？

設計意圖本題是平行線性質在現實生活中的具體應用，主要考查學生利用所學知識解決現實生活中的問題的能力，同時也體現了數學的價值，不僅有利于激發學生的學習興趣，而且有利于培養學生的應用意識．

6.5 歸納總結

課堂小結時，教師可以提出下列問題引導學生總結本節課所學的知識：

(1)通過平行線性質的學習，你學到了什么？

(2)這節課所學的知識與以前學過的知識之間有什么區別與聯系？

設計意圖問題(1)的目的是引導學生系統梳理本節課所學的知識，用“你學到了什么？”這種形式來提問可以使問題變得比較開放，既可以考查學生的知識與技能，也可以考查過程與方法、情感態度與價值觀等方面.這不僅有利于提高學生的自我評價能力，而且有利于提升學生的數學核心素養．問題(2)的目的是要引導學生將本節課所學的平行線性質與上節課所學的平行線判定進行比較，從中找出彼此之間的區別與聯系．這一方面有利于促進學生認知結構的優化；另一方面，它可以培養學生反思、總結的習慣．