16世紀(jì)的測量工具與相似三角形的應(yīng)用

王 娟 汪曉勤 (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

數(shù)學(xué)史上，相似三角形很早就被人們所認(rèn)識．大約公元前1600年，古巴比倫人就已經(jīng)知道“兩個相似直角三角形對應(yīng)邊成比例”這一性質(zhì)，并利用該定理求解幾何問題．公元前6世紀(jì)，古希臘的工程師歐帕里諾斯在設(shè)計隧道挖掘工程時就運(yùn)用了相似三角形的性質(zhì)[1]；我國漢代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》“勾股”章中含有一系列勾股測量問題，均需以相似三角形性質(zhì)來解決．雖然數(shù)學(xué)史上關(guān)于相似三角形應(yīng)用的文獻(xiàn)浩如煙海，但是中學(xué)教師所掌握的可直接用于課堂的材料卻極為缺乏．現(xiàn)行教科書在相似三角形的性質(zhì)和判定定理之后大多涉及定理的應(yīng)用，人教版、華師大版教科書設(shè)計了泰勒斯測量金字塔的例題；北師大版教科書設(shè)計了一個活動課題(旗桿或路燈高度的測量)，并附加了一則關(guān)于劉徽與《海島算經(jīng)》的歷史小故事；浙教版和滬教版教科書都用樹高測量問題來體現(xiàn)相似三角形的應(yīng)用，但并未運(yùn)用數(shù)學(xué)史料．

在已有的關(guān)于“相似三角形應(yīng)用”的教學(xué)設(shè)計中，個別HPM視角下的設(shè)計主要運(yùn)用了古代中國和希臘的數(shù)學(xué)史素材，并未涉及近代西方數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)[2]．大多數(shù)教學(xué)設(shè)計雖然都很重視實際應(yīng)用，但除了泰勒斯測量金字塔等個別例子，很少涉及數(shù)學(xué)史[3-7]．

為此，我們選取了16世紀(jì)歐洲具有代表性的三本關(guān)于測量的文獻(xiàn)——巴托里(C.Bartoli,1503-1572)的《測量方法》[8]、貝里(S.Belli,?-1580)的《測量之書》[9]和費(fèi)奈烏斯(O.Finaeus,1494-1555)的《數(shù)學(xué)入門》[10]進(jìn)行考察，試圖回答以下問題：16世紀(jì)數(shù)學(xué)家是如何利用有關(guān)測量工具進(jìn)行測量的？測量方法有哪些類型？我們從中能得到什么教學(xué)啟示？

2 16世紀(jì)的測量工具

2.1 表

表(拉丁文名baculus,英文名staff)是西方最古老的一種測量工具.如圖1和圖2，表由一根已知長度的直桿做成，利用日光投影這一自然現(xiàn)象，構(gòu)造兩個相似直角三角形，進(jìn)而確定所測物體的高度．

圖1 《測量方法》中的表 圖2 《測量之書》中的表

2.2 平面鏡

平面鏡(拉丁文名speculum,英文名mirror)本身并非專門的測量儀器，后來逐漸成為借作此用的簡單工具[11]，如圖3所示．人們使用平面鏡，是利用了光的反射這一物理特性，通過構(gòu)造一對相似直角三角形來完成測量的．

圖3 《數(shù)學(xué)入門》中的平面鏡測高法 圖4 《測量之術(shù)》中的矩尺[12]

2.3 矩尺

和平面鏡一樣，矩尺(拉丁文名norma或gnomon，英文名carpenter’s square)也是一種簡單測量工具．如圖4，矩尺由相互垂直的一長尺、一短尺構(gòu)成，呈“L”形，尺上帶有刻度．有的矩尺上還系有權(quán)線，使用時權(quán)線自然下垂．有的矩尺沒有權(quán)線，測量時可以與表搭配使用．

2.4 十字桿

十字桿(英文名cross-staff)亦稱幾何桿(英文名geometric cross)、雅各布桿(Jacob’s staff,拉丁文名baculus Jacobi)或測量桿(拉丁文名baculus mensorius)[11]．圖5所示的十字桿是由一根長約4尺的直桿AB以及一根與之垂直的滑動橫桿CD組成，直桿上標(biāo)有刻度，其單位長度等于滑動橫桿的長度．十字桿既可以測量建筑物的高度，也可以用來測量兩物之間的距離．

圖5 《數(shù)學(xué)入門》中的十字桿

2.5 四分儀

四分儀(英文名quadrant,拉丁文名quadrans)形制多樣，是一種十分古老的測量儀器，可以上溯到托勒密(Ptolemy,公元2世紀(jì))的《天文學(xué)大成》[12]．四分儀上有兩種裝置，窺衡(sighting rule)和權(quán)線(plumb line)，測量時這兩種裝置可獨(dú)立使用或搭配使用[13]．

在窺衡尺的兩端附近各立一個完全相同的通光耳，每個通光耳上都鉆有兩個圓形的通光孔，一大一小，制作時必須保證這兩個通光孔的圓心都位于窺衡尺的中心線上.實際測量時，先用兩個通光耳上大的通光孔進(jìn)行粗略觀察，然后再用兩個小的通光孔進(jìn)行精確測定．權(quán)線末端栓有小錘權(quán)，令小錘權(quán)自然下垂，受重力作用可以使權(quán)線保持豎直．

測量時可以選擇儀身不動，轉(zhuǎn)動窺衡測望目標(biāo)并讀取相應(yīng)數(shù)據(jù)；也可選擇轉(zhuǎn)動儀身，用四分儀的直邊對準(zhǔn)目標(biāo)物進(jìn)行測望，然后權(quán)線自然下垂而讀取相應(yīng)數(shù)據(jù)．因此，根據(jù)使用方式，四分儀也分為“定儀”“游儀”兩種[13]，如圖6所示．

圖6 《數(shù)學(xué)入門》(1532)中的兩種四分儀(左為定儀、右為游儀)

2.6 鼓面

鼓面(英文名drumhead)是一種測量角度的簡單工具，通過測量角度也進(jìn)一步可以用來測距、測高．如測量到城堡的距離、測量塔的高度等．美國數(shù)學(xué)史家史密斯(D.E.Smith,1860-1944)在其《數(shù)學(xué)史》中提到了這種測量工具.文藝復(fù)興時期接連不斷的戰(zhàn)爭推動了測量技術(shù)的發(fā)展，鼓面就是在這種背景下誕生的[11]．

圖7 《測量方法》中的鼓面測量方法 圖8 《測量之書》中的鼓面測高法

3 測量方法

由于測量環(huán)境的不同，所需的測量次數(shù)也不一樣.在我們所考察的三本書中，出現(xiàn)了一次測量、二次測量和四次測量的情形．

3.1 一次測量

這種測量是最簡單的，當(dāng)測量環(huán)境比較理想時，測量員可以借助平面鏡、矩尺、四分儀等構(gòu)造一組相似三角形來測量所需的高度、深度、距離．下面一一舉例．

情境1平面鏡測高

圖9 《數(shù)學(xué)入門》中的平面鏡測高

情境2四分儀測遠(yuǎn)

圖10 《數(shù)學(xué)入門》中的四分儀測遠(yuǎn)

圖11 用四分儀測山坡的長度

圖12 《數(shù)學(xué)入門》中的四分儀測距

情境3四分儀測高

利用四分儀，根據(jù)直角三角形的相似性以及測量地與建筑物的距離，可以測出建筑物的高度，如圖13所示．

圖13 《數(shù)學(xué)入門》中的四分儀測高

另外，利用四分儀和鉛垂線，也可以根據(jù)斜三角形的相似性以及山坡的長度來測量山頂上的建筑的高度，如圖14所示．

情境4由影測高

利用四分儀，根據(jù)直角三角形的相似性以及建筑物的影長，也可以測出建筑物的高度，如圖15所示．

圖15 《數(shù)學(xué)入門》中的以影測高法

情境5四分儀測深

圖16 《數(shù)學(xué)入門》中的四分儀測井深

情境6矩尺測遠(yuǎn)

圖17 《數(shù)學(xué)入門》中的矩尺測距

用矩尺測望比只用眼睛測望準(zhǔn)確度高，并且表長AC是已知的，只需記錄AF的長度，這種測量方法方便快捷、測量數(shù)據(jù)少．如果用權(quán)線代替表也是可行的，這時表長AC就等于權(quán)線豎直下垂時所對地面上的點到矩尺直角頂點的距離，這個數(shù)據(jù)是需要另外記錄的．

3.2 二次測量

現(xiàn)實情境中，測量環(huán)境可能并沒有那么理想．實際上，測量員經(jīng)常會遇到一些障礙物，如河流、灌木叢、沼澤地等，測量地與建筑物之間的距離無法直接測得．此時一次測量無法滿足測量要求，于是人們想到了進(jìn)行二次測量，先獲得測量地與建筑物之間的距離，再進(jìn)一步通過計算，得到建筑物的實際高度．

4）對萼獼猴桃。俗稱貓人參。隔年枝灰綠色，皮孔較明顯。著花小枝淡綠色，幼嫩時薄被極微小茸毛，皮孔不明顯，髓實心，白色。花白色，果實卵珠形，單果質(zhì)量7～12 g。果皮橙黃色，有尖嘴，無斑點，表面無毛光滑，有辣味。

情境7四分儀測高

圖18 《數(shù)學(xué)入門》中的四分儀測高

情境8鼓面測高

如圖19，與情境5一樣，測量員需要測量遠(yuǎn)處建筑物的高度，所用測量工具是鼓面，與四分儀相比，鼓面的特點是不僅能測量高度，還可以測量角度．該情境下，建筑物的前方是一塊坡地，測量員只能在坡地上測望．此時建筑物底部一點B與測量位置在同一水平面，建筑物的底部一點C在測量位置水平面以下．因此，測量員需先測量地面到建筑物頂部的距離AB，再加上地面到建筑物底部的距離BC，其和為建筑物的高度AC．

圖19 《測量之書》中的鼓面測高

情境9十字桿測距

如圖20，測量員想測量河對岸兩點之間的距離FG，使用的工具是十字桿．先立于點H處，將十字桿的橫桿DC滑動到一個刻度(點E)上，使得人眼在觀察目標(biāo)FG時其視線正好被橫桿遮住．然后測量員立于點L處，將橫桿向后滑動一個單位長度(至點E′)，此時橫桿D′C′恰好也能遮住目標(biāo)FG．于是，根據(jù)十字桿的構(gòu)造原理，可得FG等于兩次測量位置之間的距離LH．當(dāng)然這項工作也可以由兩位測量員同時完成，只要標(biāo)記兩個測量員進(jìn)行測望時所處的位置，然后測量兩個位置之間的距離即可．

圖20 《數(shù)學(xué)入門》中的十字桿測距

3.3 四次測量

情境10四分儀測高

如圖21，測量員用四分儀測量遠(yuǎn)處山上的一個建筑物的高度，受周圍地理環(huán)境的限制，無法測得人到建筑物的水平距離．第一次測量時，測量員立于點I處測望建筑物底部一點G，此時權(quán)線豎直垂下正好過點C；第二次測量時，測量員立于點L處，測望建筑物底部同一點G，此時，權(quán)線自然下垂，且與四分儀的一邊BC交于點E，記錄BE的長度．接著，第三、四次測量，測量員分別立于點N和P處測望建筑物頂上一點F，分別記錄權(quán)線所在的位置．前兩次測量是為了求得建筑物底部到平地的垂直距離，即GH的長度，后兩次測量是為求得建筑物頂部到地面的垂直距離，即FH的長度．將兩次所求相減，即得到建筑物高度FG．

圖21 《數(shù)學(xué)入門》中的四次測量

4 教學(xué)啟示

16世紀(jì)各種測量術(shù)都與相似三角形密切相關(guān)，人們根據(jù)實際需要，構(gòu)造一組(情境1-6)、兩組(情境7-9)、四組(情境10)相似三角形，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例這一性質(zhì)，可以在建筑、勘探、水利、軍事等方面有效解決測量問題．在HPM視角下的“相似三角形應(yīng)用”教學(xué)中，16世紀(jì)的測量工具與測量術(shù)是理想的教學(xué)素材．

(1)教師可以創(chuàng)設(shè)測量問題的情境，讓學(xué)生分組討論，嘗試還原古人的測量方法．一方面，學(xué)生可以在這一過程中感受到學(xué)習(xí)相似三角形知識的必要性；另一方面，學(xué)生有機(jī)會與古人對話，體驗成功的愉悅，樹立學(xué)習(xí)的自信心．

(2)不同地域、不同的文明在同一數(shù)學(xué)課題上都有其各自的成就與貢獻(xiàn)．教師可以利用技術(shù)，制作HPM微視頻，介紹東西方測量的歷史，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)文化的多元性．

(3)一次、二次、四次測量的難度依次遞增．首先，教師可以設(shè)置一次測量的情境，讓學(xué)生體會“知遠(yuǎn)求高、知高求遠(yuǎn)”的含義；在此基礎(chǔ)上，設(shè)置一定的障礙，如遇河流、險灘使得“遠(yuǎn)”不可測，進(jìn)而需要通過二次測量先求“遠(yuǎn)”、再測“高”；最后，在二次測量基礎(chǔ)上，測量坐落于山上的建筑物，則需要兩次先求“遠(yuǎn)”、再測“高”，即需四次測量．總之，編制習(xí)題時，可以根據(jù)知識的自然發(fā)生過程，注意題目的趣味性,選擇合理的難易梯度．

(4)古人在測量的道路上一定不是一帆風(fēng)順的，他們克服了種種困難、挫折，發(fā)明了諸多精巧的測量工具，使得“極遠(yuǎn)”“極深”“不知距”變得“可測”．了解這一點，學(xué)生既能體會數(shù)學(xué)的價值，也能明白數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要不畏困難、堅韌不拔等品質(zhì)，從而達(dá)成德育之效．