問題引領 感受過程 感悟本質
——一節數學建模探究活動課的實錄與思考*

任衛兵 (江蘇省蘇州高新區第一中學 215011)

近日，由蘇州市教育科學研究院主辦的“基于新課標的高一數學教學研討會”在蘇州市吳中區甪直高級中學舉行．筆者有幸聆聽了四位教師的同課異構課“函數模型及其應用”，四位教師都進行了精心的課前準備，課堂教學過程精彩紛呈．其中讓筆者深受啟發的是由江蘇省常熟中學錢佶忠老師執教的數學建模探究活動課．錢老師從暑假期間熱映的道恩·強森主演的電影《摩天營救》出發，提出：“道恩·強森從塔吊的懸臂上跳躍進入大樓這一情景能否在現實中實現？”這一問題，積極引導學生進行合作探究，在學生的活動過程中，不失時機地引導、啟發、點撥、評價，讓學生充分體驗建立數學模型解決實際應用問題的過程，感悟問題的本質，提升學生的數學素養．

本文先給出錢老師的課堂實錄，再談談筆者的一些思考．

1 課堂實錄

1.1 情境引入

師：今年暑假期間，同學們有沒有觀看由道恩·強森主演的電影《摩天營救》呢？(展示電影海報圖片并播放電影花絮視頻)其中最驚險刺激的就是強森從塔吊的懸臂上跳躍進入大樓的情景(播放強森跳躍進入大樓的視頻)．很多觀影者在驚嘆的同時產生了疑問：道恩·強森能成功一跳嗎？(播放眾人議論的視頻)

附：視頻中對話實錄

米歇爾·貝德爾(體育節目主持人)：此事在體育界引起巨大爭議．

羅森·馬歇爾·瑟伯(《摩天營救》導演)：這是百分之百真實的．

克里斯·杰里科(職業摔角運動員)：這不可能，他從來沒有嘗試過頂繩攀登．

凱文·史密斯(電影人)：當有人問“這一跳是真的嗎？”，你就想打斷他們，然后問“你是認真的嗎？”

達克斯·帕沃斯(動作指導)：這是真的，他做到了．

康拉德·皮特(網絡巨魔)：證據在哪里？拿出來．

凱爾·希爾(科學專家)：(在白板上邊演示邊說)用簡單的運動方程式我們可以推斷出他可以．

黛比·莫里斯(強森的影迷)：哦，我認為這絕對是真實的．你看過他的大腿嗎?

康拉德·皮特(網絡巨魔)：假的，我是說這看起來像假的．

尼克·芒迪(強森的超級粉絲)：唯一能知道答案的方法就是親自去跳一下．我要親自去試一下．

師：請同學們討論一下，這個問題你會如何研究呢？

問題影片中道恩·強森在被逼無奈下選擇從塔吊的懸臂上跳躍進入大樓(圖1)，這一段影片的真實性在觀影者中引起了巨大的爭議．你覺得這能在現實中實現嗎？請說明理由．

圖1

(學生分小組討論5分鐘)

1.2 探究生成

師：如何研究道恩·強森能否跳躍進入大樓呢？

生1：取決于跳躍后，他的落點是否在破開的窗戶內．

師：如何確定他的落點呢？

生1：考慮他跳躍過程中的運動曲線．

師：在空中跳躍的運動曲線屬于哪種類型？

生1：我感覺我們平時扔粉筆頭時，粉筆掉落的曲線和它是一樣的，是一條拋物線．

師：如何研究拋物線的形狀和方程呢？請同學們再討論討論．

(5分鐘討論后)

生2：我們在物理課上學過勻速直線運動和勻變速直線運動，還沒有學到這種曲線運動．

師：同學們在物理課上還沒學到這種拋物線型的曲線運動模型．那我們能不能查一查相關資料呢？

生2：我們上百度來搜索一下吧．

(學生利用教室電腦登陸百度網站搜索到“斜拋運動”，并播放“斜拋運動”視頻，圖2為視頻截圖)

圖2

師：現在我們已經找到強森跳躍過程中的運動曲線模型了.還需要些什么呢？

生3：需要給出強森與大樓以及破開的窗戶之間的距離．

師：我們來畫一個草圖，并給出數據(圖3)．還需要些什么？

生3：根據剛才的“斜拋運動”視頻，還需要他的起跳速度、起跳方向、重力加速度等．

師：老師也上網查過資料,“2009年8月19日，運動員博爾特在100 m比賽中跑了9.58 s，約為10 m/s”．而電影中強森是左腿戴有假肢的殘疾人，我們給他打個折：假設強森的起跳初速度為6 m/s，起跳方向為正前方斜向上45°，重力加速度取10 m/s2．

圖3 圖4

生4：以起跳點O為坐標原點，向右的方向為x軸正方向，過O與x軸垂直向上為y軸正方向，建立如圖4所示的平面直角坐標系．

師：現在運動模型和數據都有了，你能求出強森跳躍過程所對應的曲線方程嗎？

(3分鐘討論后)

師：真的很棒!生5根據斜拋運動相關知識求得強森跳躍過程所對應的曲線方程.那么他能不能安全地跳躍進入大樓呢？

生6：當x=-6時，可得y=-4．此時他的落點恰好在點A處，因此他能安全地跳躍進入大樓．

(教室內不約而同地響起熱烈的掌聲)

1.3 反思提升

師：同學們真是太棒了!經過同學們的共同努力，終于成功解決了老師的這個疑惑．非常感謝大家！請大家結合我們剛才的探究過程，思考一下：從數學的角度考慮，該如何去解決一個生活實際問題呢？

(3分鐘討論后)

生7：首先要弄清楚實際問題是要解決什么問題、有哪些已知條件,接下來思考如何將已知條件進行轉化，尋找合適的數學模型，將實際問題轉化為數學問題進行求解，得出數學結論后再給出實際問題的結論．另外在遇到困難時，要利用書籍、網絡等查詢我們需要的知識和方法．

圖5

師：生7總結得很好．數學建模是對現實問題進行抽象、用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養．數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數、計算求解、檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題．用框圖表示如圖5．

師：同學們課后回顧一下本節課解決問題的探究過程，希望對大家解決以后學習上和生活中遇到的問題有所幫助．

2 幾點思考

2.1 在問題引領下探究，在探究交流中生成

陶行知先生曾說：“發明千千萬，起點是一問；智者問得巧，愚者問得笨．”好的問題可以引導學生以自主探索、合作交流的方式學習，使學生在解決問題的過程中感受數學、體驗數學和理解數學，發展解決問題的策略，樹立正確的數學觀．[1]教師設計的問題不僅要體現數學思想方法，使學生學習分析、解決問題的方法，還要凸顯和強化過程意識，使過程與結果并重．

錢老師注重在問題對話中引導學生探究，從《摩天營救》電影片段出發，提出了“道恩·強森從塔吊的懸臂上跳躍進入大樓這一情景能否在現實中實現？”“如何研究？”“如何確定落點？”“如何確定曲線類型？”等問題，讓學生在嘗試解決問題的過程中體驗問題解決的一般過程．錢老師充分理解學生在嘗試解決問題時的緊張感和焦慮感，并給予更多的鼓勵和關注，讓他們敞開心扉，自由地展現其靈性和個性．了解到學生在物理課上沒學過“斜拋運動”的情況時，鼓勵學生“能不能查一查相關資料呢？”，讓學生體驗在問題解決中遇到困境時如何破解．課堂中思維的火花不斷地迸發，提出問題與解決問題成為一種愉快的心理體驗.學生在問題的提出和解決過程中，逐步學會用數學的眼光觀察周圍的世界．錢老師將問題解決的過程變成了一種指導學生自主探究解決問題的過程．在學生的活動過程中不失時機地引導、啟發、點撥、評價、矯正，讓學生充分體會到解決實際問題的基本流程和方式方法．讓學生自己去經歷和發現，在提出問題和解決問題的過程中，感受問題解決的喜悅，感悟數學問題的本質，提升學生的數學素養．

蘇霍姆林斯基說過，學生心靈深處有一種根深蒂固的需要——希望自己是一個發現者、研究者、探索者．教師要盡可能地創造情境讓學生親身感受學習的過程，積極開展以探究式教學為主的靈活多樣的教學方法，活化數學知識，激發學生的學習興趣．在充分理解教學要求、教學理念的基礎上，根據學生實際，從學生已有的經驗出發，創設學生熟悉的教學情境，加強數學與現實生活的聯系．[2]教師更重要的價值在于：在學生有困惑時能給予恰如其分的點撥，能以恰當的方式引導學生思考，把教師對問題的理解轉化為學生的理解，使學生悟透本質、提升自我．

2.2 合理開展數學建模活動，培養學生數學實踐能力

2017年6月，由美國數學及其應用聯合會(COMAP)、美國工業與應用數學學會(SIAM)聯合編著，由梁貫成、賴明治、喬中華、陳艷萍教授編譯的《數學建模教學與評估指南》指出：數學建模是借用數學的語言講述現實世界中與數量、圖形有關的故事．數學模型使數學走出了自我封閉的世界，構建了數學與現實世界的橋梁．數學建模強調以學生的經驗、學習實際和社會需要的問題為核心，以問題求解的需要為導向，對學生學過的數學學科內部和跨學科的知識、工具、方法、資源進行整合應用，以有效地培養和發展學生解決問題的能力、探究精神和綜合實踐能力，強調了學生的自主性和實踐性，強調“問題”和“問題意識”，強調學習、實踐過程的開放性和活動性．數學建模對于各個門類的科學技術以至于人的實踐都有巨大的促進作用，對于數學來說也有促進發展開拓領域的巨大作用．[3]數學建模是數學成為人類文化的重要組成部分的關鍵．

高中數學建模教學的現狀并不理想．自1995年高考數學中引入數學應用問題以來，數學應用問題教學一直是數學教學的軟肋．[4]學校和家長對開展數學建模活動的重視程度不夠．數學應用問題教學相對于數學解題教學要復雜得多，如果教師本身還沒有數學應用意識和數學建模能力，何談在數學教學中培養學生的數學建模能力？沒有教師的數學應用教學意識，不可能有學生的數學建模能力素養．我們的學校和教師要認識到數學建模對學生成長的巨大促進作用，積極合理地開展數學建模活動，培養學生的數學應用意識和實踐能力，提升數學建模素養．