問題驅(qū)動，提高復(fù)習(xí)課教學(xué)效率

郭桂霞 (江蘇省無錫市堰橋高級中學(xué) 214174)

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，教師普遍感覺課時(shí)少、任務(wù)重．如何在課堂教學(xué)中提高學(xué)生的解題能力，讓學(xué)生不僅會做題而且明白為什么這樣做、如何想得到這樣做，知其然并知其所以然？筆者認(rèn)為，在復(fù)習(xí)課上可通過設(shè)計(jì)一些能激發(fā)調(diào)動學(xué)生積極性的問題，驅(qū)動學(xué)生思維不斷深入，讓學(xué)生在問題中領(lǐng)會思維的起點(diǎn)，找出思維的亮點(diǎn)，深入思維高點(diǎn)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而提高復(fù)習(xí)課的教學(xué)效率．

1 設(shè)計(jì)問題串，驅(qū)動學(xué)生思維遞進(jìn)發(fā)展

問題串就是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容圍繞核心問題設(shè)計(jì)一組問題，由淺入深，不斷驅(qū)動學(xué)生思維遞進(jìn)發(fā)展．

案例1在“函數(shù)與方程”章節(jié)“函數(shù)零點(diǎn)存在性”問題中，筆者設(shè)計(jì)了以下問題串：

問題1 判斷函數(shù)f(x)=x2-3x-18,x∈[1, 8],是否存在零點(diǎn).(通過學(xué)生熟悉的二次函數(shù)作為思維的切入點(diǎn))

學(xué)生想到的第一個(gè)方法是求方程x2- 3x- 18 = 0的根：x1=-3,x2= 6 ∈ [1, 8]．

問題2 為什么可以這樣做？(發(fā)現(xiàn)思維起點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，通過解決學(xué)生熟悉的問題，學(xué)生理解了函數(shù)零點(diǎn)的定義．)

若到此為止，學(xué)生的思維里只有一個(gè)意識:求方程的根即可.于是我提出了問題3．

問題3 把函數(shù)改成f(x) =x3- 3x- 18,x∈ [1, 8]呢？有沒有其他方法？(制造思維沖突，求方程根的方法行不通)

學(xué)生很自然地想到畫函數(shù)的圖象.我讓學(xué)生動手畫圖形，一個(gè)學(xué)生上黑板板演．點(diǎn)評畫圖過程中需要關(guān)注的量(二次函數(shù)的開口方向，與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的精確值，即方程的根)，讓學(xué)生初步感受到函數(shù)與方程的內(nèi)在轉(zhuǎn)化，圖形幫助代數(shù)直觀化，代數(shù)幫助圖形精確化．若求出方程的根再畫圖，體現(xiàn)不了圖形的優(yōu)越性.接著提出問題4．

問題4 能不能不求方程的根，通過圖象判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)呢？

讓學(xué)生再一次觀察在區(qū)間[1, 8]上的圖象，f(1) < 0,f(8) > 0，f(1)f(8) < 0.回想起函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，學(xué)生就能想到用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理解決，并重新認(rèn)識零點(diǎn)的特征：代數(shù)上是方程的根，圖形上是函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(收獲思維亮點(diǎn))．為了提升學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性，提出問題5．

問題5 函數(shù)f(x) =x2- 3x- 18,x∈ [-4, 8],是否存在零點(diǎn)？能否用零點(diǎn)存在性定理判斷？

雖然f(-4)f(8)>0，但函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)零點(diǎn)存在性定理發(fā)揮不了作用．讓學(xué)生有代數(shù)方法不行去結(jié)合圖形的思維，馬上給出問題6．

問題6 函數(shù)f(x) = log2(x+ 2) -x,x∈ [1, 3],是否存在零點(diǎn)？

讓學(xué)生第一時(shí)間能想到零點(diǎn)存在性定理，鞏固定理的運(yùn)用；再追問為何不用圖象，讓學(xué)生在頭腦中有主動選擇方法的意識．繼續(xù)追問能不能用圖象判斷零點(diǎn)，驅(qū)動學(xué)生思考：要用圖象解決，前提是圖象容易畫出來．驅(qū)動思考哪些函數(shù)圖象能畫出來，很自然想到第二種方法：轉(zhuǎn)化成畫兩個(gè)函數(shù)g(x) = log2(x+ 2)與h(x) =x的圖象，看交點(diǎn)情況．

通過問題串，學(xué)生對函數(shù)零點(diǎn)存在性問題建立起了完整的思維體系，能快速用求根的方法，或能快速畫一個(gè)圖象用圖象的方法，或轉(zhuǎn)化成畫兩個(gè)初等函數(shù)圖象的方法，來快速解決函數(shù)零點(diǎn)問題．在問題解決過程中提升了學(xué)生的邏輯推理和直觀想象核心素養(yǎng)．

2 設(shè)計(jì)有思維價(jià)值的問題，驅(qū)動學(xué)生思維深入發(fā)展

在復(fù)習(xí)課上，我們可以設(shè)計(jì)有思維價(jià)值的問題驅(qū)動學(xué)生思維深入發(fā)展．問題設(shè)計(jì)要突出重點(diǎn)、難點(diǎn)，并有一定的思考價(jià)值，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

(問題一出示，就有學(xué)生說用參數(shù)分離法)

師：參數(shù)分離的目的是什么？我們研究的函數(shù)有幾個(gè)變量？(話音未落，生1給出自己的解法)

師：很好！這是二元函數(shù)的最值問題.這位同學(xué)把二元轉(zhuǎn)化成一元，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，把不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)這三個(gè)知識點(diǎn)進(jìn)行了整合．

(馬上有學(xué)生提出新解法)

師：說明柯西不等式可以作為解決不等式恒成立問題的一種方法，但對式子的整體配湊要求較高.還有其他解法嗎？

師：生2通過直接配湊，用柯西不等式一錘定音;生3從整體上去觀察這個(gè)式子，發(fā)現(xiàn)分式中分子分母都有根號，利用平方進(jìn)行化簡，得到只有一個(gè)根式且是乘積形式，聯(lián)想到基本不等式，配湊后又發(fā)現(xiàn)能與分母約掉，嘗試成功．

師：生4換元后發(fā)現(xiàn)了式子的幾何意義．代數(shù)式求最值時(shí)，如果去尋找代數(shù)式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是非常快且有效的一個(gè)方法．

3 設(shè)計(jì)一題多解和一題多變，驅(qū)動學(xué)生思維向深度和廣度發(fā)展

一題多解和一題多變可拓寬學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題應(yīng)變能力，提升思維的深度和廣度．

案例3已知f(x) =ax3- 3x+ 1對x∈ [-1, 1]總有f(x)≥0成立，求實(shí)數(shù)a的值．

這是高三二輪復(fù)習(xí)“函數(shù)與不等式”專題中的一道例題，教學(xué)中筆者采取了一題多解和一題多變．

解法1(參數(shù)分離) (1)當(dāng)x= 0時(shí)，f(x) = 1 > 0恒成立，則a∈R．

綜上所述，a= 4．

通過這種解法，學(xué)生了解到不等式恒成立問題能轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題，若函數(shù)中含有參數(shù)，可通過參數(shù)分離的方法轉(zhuǎn)化成已知函數(shù)求最值．這是一種通性通法．

解法2(轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值) 當(dāng)x∈ [-1, 1]時(shí)，總有f(x)≥0 ?f(x)min≥0．f′(x) = 3ax2- 3．

(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f(x) =ax3- 3x+ 1在[-1, 1]上遞減，f(x)min=f(1) =a- 2，所以a- 2≥0 ?a≥2，與a≤0矛盾，所以a≤0不成立．

① 當(dāng)0

兩種方法本質(zhì)是相同的，但學(xué)生收獲可能不同.由于構(gòu)造的函數(shù)一動一定，所以給出的方法也有較大的差異，但解決問題的本質(zhì)相同，如果能通過比較找出兩種方法的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)，就能讓學(xué)生體會整體構(gòu)造與局部構(gòu)造函數(shù)的優(yōu)劣性，讓學(xué)生真正體會應(yīng)用函數(shù)的觀點(diǎn)分析解決問題．這培養(yǎng)了“四能”，提升了學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)．

為了讓學(xué)生對不等式恒成立問題理解得更深刻，筆者對例題進(jìn)行了以下一題多變：

變式1 已知f(x) =ax3+ 1,g(x) = 3x，若對于任意x∈ [-1, 1]，總有f(x)≥g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

變式2 已知f(x) = 8x2+ 16x-k,g(x) = 2x3+ 5x2+ 4x，若存在x∈ [-3, 3]，使得f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍．

變式3 已知f(x) = 8x2+ 16x-k,g(x) = 2x3+ 5x2+ 4x，若對任意x1,x2∈ [-3, 3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，求k的取值范圍．

變式1的目的是把f(x)≤g(x)轉(zhuǎn)化成f(x) -g(x)≤0的形式，這樣就可以用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解(解法略)．

變式2不是簡單的恒成立問題，而是要對不等式恒成立與存在性的本質(zhì)理解準(zhǔn)確(解法略)．

變式3要對不等式恒成立的本質(zhì)有深刻理解，再將問題正確轉(zhuǎn)化．對任意x1,x2∈[-3, 3]，都有f(x1)≤g(x2) ?f(x)max≤g(x)min，x∈ [-3, 3](解法略)．

通過這道恒成立問題的一題多解和一題多變，學(xué)生對不等式恒成立問題的本質(zhì)有了深刻的理解，也熟悉了運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想解決問題.這樣不僅能使學(xué)生在知識上查缺補(bǔ)漏，加深對知識本身的認(rèn)識和理解，提升對知識理解的層次，而且能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法上能不斷內(nèi)化、提升，進(jìn)而起到提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的作用．

數(shù)學(xué)是一種思維活動，數(shù)學(xué)教育是思維的教育，而問題是數(shù)學(xué)的心臟，是驅(qū)動學(xué)生思維發(fā)展的動力．在復(fù)習(xí)教學(xué)中，設(shè)計(jì)有思維價(jià)值的問題能讓學(xué)生充分思考，尋求思路的合理性，主動優(yōu)化解題思路，讓思維的增長有土壤.教師搭好腳手架，驅(qū)動學(xué)生從思維的起點(diǎn)出發(fā)，攻克思維的難點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)思維的閃光點(diǎn)，驅(qū)動學(xué)生思維不斷走向深入，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高復(fù)習(xí)課的教學(xué)效率．