基于數(shù)學核心素養(yǎng)的情境化試題的創(chuàng)新設計

安學保 (山東省濟南市教育教學研究院 250001)

1 情境化試題設計的現(xiàn)實意義

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》將數(shù)學文化融入課程內容，界定了數(shù)學學科核心素養(yǎng)的成分，包含數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析，并要求創(chuàng)新評價的形式和方法，把知識技能的評價與數(shù)學學科核心素養(yǎng)達成狀況的評價有機融合，完成課程標準中提出的學業(yè)質量要求，落實立德樹人的根本任務．

核心素養(yǎng)應通過學生在應對復雜現(xiàn)實情境時的外在表現(xiàn)加以推斷．教育測量學認為，真正對知識的較高層次的運用是在新情境中對相關原理的運用．情境試題有別于經(jīng)驗類型試題(無法形成解題障礙點，例如可以通過題海戰(zhàn)術訓練解決)和方法類型試題(一般在解題過程的中后端形成解題障礙點)，往往在解題的前端形成障礙點．在考查內容基本穩(wěn)定且考生群體存在通過“題海戰(zhàn)術”訓練備考的情況下，情境化試題對能力的測評更為準確．情境化試題能夠較好地體現(xiàn)“能力立意”“素養(yǎng)立意”的命題指導思想．

2 情境化試題的特點及設計原則

立意是試題的靈魂，體現(xiàn)了試題的測試目的．試題立意體現(xiàn)試題設計者的考查目標，是指導整個試題設計的基本思想，是背景材料選取和情境設置共同圍繞的主題．

情境化試題即以情境為基礎設計的試題．試題情境是試題的材料和介質，為學生提供一個有待解決的問題，直接體現(xiàn)試題立意．試題情境材料的甄選應基于考生認知發(fā)展水平設置適恰的“既熟悉又陌生”的試題情境．情境背景材料中存在的挑戰(zhàn)和需求是潛在的、多樣的，要通過情境的設置才能得以明確和提出．試題立意不清，考查目標就很難實現(xiàn)．

情境化試題既有利于知識運用與問題解決能力的考查，又有利于學生對知識意義的理解和積極的情感、正確的價值觀的養(yǎng)成．情境化試題是培養(yǎng)學生知識運用和獨立思考能力的重要工具，能夠更深入地考查學生知識的遷移與運用能力，更有效地促進學生學科能力與學科核心素養(yǎng)的提高．

3 情境化試題設計舉例及分析

為培養(yǎng)和考查學生運用知識的能力，建立起知識和生活之間的橋梁，試題背景的構建需要考慮材料的真實性和廣泛性，通過設置一系列基于廣泛背景的情境化試題，使考試更加接近學生在現(xiàn)實生活中面對的復雜環(huán)境．

3.1 以數(shù)學史為材料背景創(chuàng)設試題情境

數(shù)學的發(fā)展史揭示了數(shù)學科學發(fā)展的規(guī)律、精髓和文化本質，它不僅追溯數(shù)學內容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且還探索影響這一過程的各種因素．以數(shù)學史為材料背景設計的情境化試題，不僅可以引導學生理解數(shù)學、熱愛數(shù)學，還可以讓學生受到科學方法論的啟迪，從而更好地培養(yǎng)正確的數(shù)學觀．尤其是試題情境中優(yōu)秀的中華傳統(tǒng)文化背景，還可以增強學生的民族自豪感和責任感，提升學生的愛國主義情感．

例1我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中記錄了一個由正整數(shù)構成的三角形圖表，我們通常稱之為楊輝三角．圖1所示的數(shù)表的構造思路就來源于楊輝三角．

圖1

圖1中從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)a，則a的值為( )．

A．2 018 × 21 008B．2 018 × 21 009

C．2 020 × 21 008D．2 020 × 21 009

試題情境的設計思路源于《九章算術》中的楊輝三角，要求考生以楊輝三角為背景知識，通過閱讀題目中提供的數(shù)表，理解數(shù)表呈現(xiàn)的規(guī)律，借助數(shù)列的基本知識和基本研究思路尋找答案．試題考查學生觀察、歸納、猜想的思維能力，重點考查學生的邏輯推理、數(shù)學運算兩大核心素養(yǎng)．通過試題情境的設計，使學生再次感受計算數(shù)學中的“數(shù)形結合”，并且深刻認識到中華民族優(yōu)秀數(shù)學傳統(tǒng)文化中注重算法的特點．

例2祖暅著《綴術》有云：“緣冪勢既同，則積不容異．”這是我國古代多位數(shù)學家不斷探求才得出的祖暅原理，是求幾何體體積的強大定理．如圖2，半徑為R的半球，勢為h時冪為π(R2-h2)，可用它求出球的體積．請仿此解決以下問題：如圖3，有一個半徑為R的實心球，以某條直徑為中心軸挖去一個半徑為r的圓形的洞，再將余下部分融鑄成一個新的實心球．由對稱性，我們考慮該幾何體的上半部分，與中心O距離為h(勢)且與中心軸垂直的截面面積S(冪)易求，則新球的半徑為______________．

圖2 圖3

立體幾何是中國古代數(shù)學的一個重要研究內容.本題設計的情境背景取自于一個涉及求幾何體體積的著名命題——祖暅原理，試題以簡單幾何體的體積公式為知識載體，融入積分的相關內容和研究方法，對學生的直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)進行了較好的考查和評價．

數(shù)學史是數(shù)學文化的重要載體之一，在創(chuàng)設試題情境時，要注意涉及的數(shù)學史和數(shù)學文化背景必須符合學生的認知水平，要選擇與中學數(shù)學內容結合緊密的素材，使學生能夠利用所學的基本知識和基本方法解決問題.試題考查的著力點應該放在數(shù)學文化背后所蘊含的數(shù)學思想和數(shù)學方法上．

3.2 以生產(chǎn)、生活和實際應用為背景創(chuàng)設試題情境

數(shù)學在生產(chǎn)、生活實際中有著廣泛的應用.在大數(shù)據(jù)時代，數(shù)據(jù)挖掘、人工智能等科學技術興起，數(shù)學在各個行業(yè)中的運用更加地深入和具體，這些都為情境化試題的設計提供了豐富的素材．這類情境化試題能較好地考查學生運用所學的數(shù)學知識解決應用性問題的能力，突出考查學生的數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．

例3某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為三級過濾，使用壽命為十年．如圖4所示，兩個一級過濾器采用并聯(lián)安裝，二級過濾器與三級過濾器為串聯(lián)安裝．

圖4

其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)．在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立)，三級濾芯無需更換．若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個80元，二級濾芯每個160元；若客戶在使用過程中單獨購買濾芯，則一級濾芯每個200元，二級濾芯每個400元．現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內更換濾芯的相關數(shù)據(jù)制成的圖表，其中圖5是根據(jù)200個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的柱狀圖，表1是根據(jù)100個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表．

圖5

以200個一級過濾器更換濾芯的頻率代替 1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以100個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率．

(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為30的概率；

(2)記X表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的一級濾芯總數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望；

(3)記m,n分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù)，若m+n= 28，且n∈ {5, 6}，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù)，試確定m,n的值．

本題是一道具有真實情境的數(shù)學應用題，與實際生活密切相關，綜合性強，對學生各方面的能力和素養(yǎng)都提出了較高的要求．本試題的呈現(xiàn)形式包括了文字語言、圖表語言、數(shù)學語言，不僅對學生文字語言的理解、抽象和轉化能力進行了考查，還對學生從圖表語言中提取信息、分析信息、加工信息的能力提出了較高的要求，這也是近幾年高考命題的趨勢之一．

這類情境化試題的設計，可結合現(xiàn)實生活背景，對銀行存款、產(chǎn)品壽命和可靠性、質量檢驗等實際問題進行數(shù)學化的再加工，采用文字、符號、圖表等靈活的形式呈現(xiàn)，要求學生能讀懂、會分析和思考，會用數(shù)學知識和方法建立數(shù)學模型，解決實際問題．既可以對學生的數(shù)學建模、數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等素養(yǎng)提出不同程度的要求，又可以將數(shù)學運算融入其中，引導學生感悟數(shù)學的科學價值和應用價值，突出考查學生的應用意識和創(chuàng)新意識．

3.3 以與其他學科的聯(lián)系為背景創(chuàng)設試題情境

數(shù)學是一種語言，是一種科學的共同語言.隨著科學技術的飛速發(fā)展，數(shù)學在其他各個領域發(fā)揮著越來越重要的作用．數(shù)學與其他學科，尤其是現(xiàn)代科學的聯(lián)系也就為創(chuàng)設試題情境提供了豐富的材料和背景．這類情境化試題能體現(xiàn)數(shù)學對人類社會發(fā)展和進步的貢獻，為學生能更好地踐行社會主義核心價值觀做好鋪墊．

圖6

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

本題抓住“嫦娥奔月”這個古老而又現(xiàn)代的浪漫話題，以探測器軌道為背景創(chuàng)設了試題情境，抽象出共一條對稱軸、一個焦點和一個頂點的兩個橢圓的幾何性質，并以加減乘除的方式構造兩個等式和兩個不等式，考查橢圓的幾何性質．小中見大、常中見新、蘊數(shù)學于現(xiàn)代科學技術應用之中，可謂匠心獨運．本題對學生的數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)進行了考查.

A．5 B．7 C．9 D．10

本題將生物學知識與數(shù)學的指數(shù)、對數(shù)相結合創(chuàng)設情境，情境新穎，綜合性和應用性強；要求學生能在理解試題情境的基礎上，靈活地運用指數(shù)和對數(shù)的關系，準確地進行指數(shù)和對數(shù)的運算；突出考查學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)．

這類情境化試題，對試題情境的真實性和科學性要求較高．為了能讓學生準確理解題意，試題情境的描述既要嚴謹又要通俗易懂，學生需準確地表示出研究對象間的邏輯關系，靈活運用所學的數(shù)學知識和方法解決問題．

3.4 以知識點之間的聯(lián)系、遷移為背景創(chuàng)設試題情境

數(shù)學各部分知識之間有著緊密的天然聯(lián)系，這些聯(lián)系以及各部分知識之間的適當遷移也是情境化試題設計的創(chuàng)新點和突破口．創(chuàng)設情境時既可以考慮高中所學知識之間的聯(lián)系和遷移，也可選取與高中知識聯(lián)系緊密的大學知識，如三角、數(shù)列不等式等，來進行遷移．

例6已知點P(x0,y0)，直線l：Ax+By+C= 0，且點P不在直線l上．

(1)若點P(x0,y0)關于直線x-y+ 3 =0的對稱點為Q(x,y)，求點Q的坐標；

試題利用點關于直線的對稱點和點到直線的距離公式作為鋪墊和引導，利用函數(shù)式的幾何意義將問題遷移到曲線上的點到直線的距離，然后利用函數(shù)思想進行求解，將解析幾何知識與函數(shù)思想進行了有機結合．

這類情境化試題的設計，重在挖掘知識點之間的聯(lián)系，強調知識點之間的有機結合而非簡單的堆砌，要能夠挖掘在知識的遷移過程中數(shù)學思想發(fā)揮的巨大作用，以及能夠體現(xiàn)不同的知識在解決其他知識情境問題中的強大效力．

3.5 以高等數(shù)學為背景創(chuàng)設試題情境

試題以高等數(shù)學中切比雪夫逼近線為背景，設問為融合多變量的最大值和最小值問題．解決此問題可采取常規(guī)的分類討論、三點控制、轉化為平口單峰函數(shù)等方法．此類情境化試題的設計，重在考查數(shù)學的基本思想和基本活動經(jīng)驗，考查學生分析、遷移和創(chuàng)新的高階思維．

4 結束語

從近幾年高考試題的命題規(guī)律和新課程改革的發(fā)展方向來看，情境化試題的創(chuàng)新和發(fā)展已經(jīng)成為了必然趨勢，也是創(chuàng)新評價方式、考查數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑之一．基于數(shù)學核心素養(yǎng)的情境化試題的設計也應該在試題情境的人文性、創(chuàng)新性和時代性上做更多的探索和研究，以更好地實現(xiàn)對能力立意和核心素養(yǎng)考查的目的．