數(shù)學(xué)核心技能教學(xué)的選擇標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)案例
——以“不等式恒成立問題求參數(shù)取值范圍”技能為例*

劉次律 (浙江省余姚市夢麟中學(xué) 315400)

數(shù)學(xué)技能是以數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)為前提，在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中，通過實(shí)際操作獲得動作經(jīng)驗(yàn)而逐漸形成的，可以將其視為深刻掌握數(shù)學(xué)知識的一個(gè)標(biāo)志.數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)知識共同構(gòu)成數(shù)學(xué)能力的基本要素，是形成數(shù)學(xué)能力的前提．?dāng)?shù)學(xué)技能主要是智慧技能，它不等同于數(shù)學(xué)能力．我國教育界比較認(rèn)同的數(shù)學(xué)技能觀是：數(shù)學(xué)技能是指通過練習(xí)而形成的、順利完成數(shù)學(xué)活動的一種動作方式，往往表現(xiàn)為完成數(shù)學(xué)任務(wù)所需要的動作協(xié)調(diào)和自動化[1]．而數(shù)學(xué)核心技能是指：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體現(xiàn)出的一種心智技能，是本章或本模塊知識內(nèi)容學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的、處于中心地位的、對數(shù)學(xué)核心知識學(xué)習(xí)起重要作用的，通過模仿、練習(xí)、理解而形成的合乎法則的心智活動方式，它主要是程序性知識．這里以“不等式恒成立問題求參數(shù)取值范圍”技能為例，談?wù)剶?shù)學(xué)核心技能教學(xué)的選擇標(biāo)準(zhǔn)、特征以及相關(guān)教學(xué)案例．

1 數(shù)學(xué)核心技能的選擇標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)核心技能的選擇標(biāo)準(zhǔn)主要有以下幾條，具備其中一項(xiàng)或多項(xiàng)即為本研究所界定的核心技能．

(1)數(shù)學(xué)核心技能關(guān)系到核心概念的理解和直接應(yīng)用

有一些基本技能直接關(guān)系到數(shù)學(xué)核心概念的理解和應(yīng)用，如：求函數(shù)的定義域、求函數(shù)的值域、求函數(shù)的解析式，這些技能與理解函數(shù)這個(gè)核心概念有著直接關(guān)聯(lián)，其本身就是對函數(shù)概念學(xué)習(xí)的直接深入，因此，這些就屬于核心技能．在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，與核心概念的理解及應(yīng)用密切相關(guān)的技能還有很多，如函數(shù)單調(diào)性的證明與判斷技能、函數(shù)奇偶性的判斷與證明技能、空間角的處理技能等．

(2)數(shù)學(xué)核心技能是直接應(yīng)用重要程序性知識且使用頻率高的基本技能

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有些基本技能的使用頻率很高，是數(shù)學(xué)核心知識學(xué)習(xí)的遷移內(nèi)容，是重要的程序性知識．例如，函數(shù)圖象的變換技能、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的處理技能、直線與圓的位置關(guān)系處理技能、數(shù)列求和技能、不等式恒成立中參數(shù)范圍的確定技能等，使用頻率都很高，且是程序性知識的直接應(yīng)用．

(3)數(shù)學(xué)核心技能是直接應(yīng)用重要公理、定理、法則的基本技能

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直接應(yīng)用定理、公理、法則的基本技能很常見．例如，三角函數(shù)中角的配湊重組及三角恒等變換技能、求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最大最小值技能、求數(shù)列的通項(xiàng)公式技能、向量的運(yùn)算技能(加法、減法、數(shù)量積)、解三角形基本技能等，這些都是對定理、公理等主體性知識的直接應(yīng)用或是對核心技能的直接鞏固．

2 數(shù)學(xué)核心技能的特征

數(shù)學(xué)核心技能由于經(jīng)過模仿、練習(xí)、理解、內(nèi)化，因而從思維水平、行為指標(biāo)上應(yīng)具有以下幾方面的特征．

(1)準(zhǔn)確性強(qiáng)

核心技能對學(xué)習(xí)理解的層次要求較高，是已經(jīng)內(nèi)化了的知識.因此，其活動過程中的調(diào)節(jié)與控制性較好，準(zhǔn)確性強(qiáng)．

(2)速度快

由于數(shù)學(xué)核心技能是熟練練習(xí)過的程序性知識，因此對問題的熟練度高，作出的判斷迅速，提取知識的速度快，能簡化推理過程，甚至直接獲得結(jié)果．

(3)協(xié)調(diào)性好

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，隨著對主體性知識理解的深入，學(xué)習(xí)中涉及的心智動作相互配合良好，動作嫻熟適當(dāng)，能自如地運(yùn)用數(shù)學(xué)符號語言、圖形語言來解決問題，協(xié)調(diào)性好．

(4)自動化程度高

自動化程度高是核心技能的一個(gè)重要特征.由于理解深入、程序性強(qiáng)，信息提取速度快，在頭腦中形成了“程序塊”“動作鏈”和“問題解決模型”，因此其自動化程度高．

根據(jù)數(shù)學(xué)技能形成的過程：模塊定向、模式操作、模式內(nèi)化三個(gè)階段，高中數(shù)學(xué)核心技能研究主要從三個(gè)方面進(jìn)行，即該項(xiàng)核心技能學(xué)習(xí)需要的知識儲備、該項(xiàng)技能的基本內(nèi)容、典型例題層次示范.

3 核心技能教學(xué)研究案例

在此，以含參不等式恒成立問題為例，來看數(shù)學(xué)核心技能教學(xué)研究的范例． 含參不等式恒成立問題在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中隨處可見，綜合性往往比較強(qiáng)，考查的知識比較系統(tǒng)靈活，但依然具有較強(qiáng)的規(guī)律可尋．

3.1 學(xué)習(xí)該項(xiàng)核心技能所需的知識儲備

(1)掌握一元二次方程根的分布知識

一元二次方程根的分布是“三個(gè)二次”問題中較為復(fù)雜的一類問題，常見錯(cuò)誤有對問題考慮不周、邏輯不清、集合運(yùn)算出錯(cuò)等．

根的分布問題的主要類型有：① 方程有兩個(gè)相異實(shí)根(Δ>0)；② 兩根同正(Δ≥0，兩根之和為正，兩根之積為正)；③ 兩根同負(fù)(Δ≥0，兩根之和為負(fù)，兩根之積為正)；④ 兩根異號(Δ>0，兩根之積為負(fù))；⑤ 兩根分布在某個(gè)具體區(qū)間(需要考慮Δ、對稱軸范圍及區(qū)間端點(diǎn)對應(yīng)函數(shù)值的正負(fù))．

(2)求函數(shù)的最值問題

很多恒成立問題最終要轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題．求函數(shù)最值的方法與求函數(shù)值域的方法類似(見求函數(shù)值域的基本技能)，在此不再贅述．

3.2 該項(xiàng)核心技能的基本內(nèi)容

(1)參數(shù)分離法

參數(shù)分離法是求參數(shù)范圍的一種主要方法：將所要求的參數(shù)分離到不等式的一邊，從而將問題轉(zhuǎn)化為求另一邊的一個(gè)函數(shù)的最大、最小值問題，即若λ≤f(x)恒成立，則λ≤f(x)min恒成立；若λ≥f(x)恒成立，則λ≥f(x)max恒成立．在分離參數(shù)時(shí)，當(dāng)參數(shù)前面變量為正時(shí)特別適用，否則不等號將會反向，從而帶來不確定性．

例如，已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x+ 1對x∈ [0, 2]恒有f(x)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(2)函數(shù)圖象法

(3)根的分布法

(4)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大、最小值法

(5)處理一元二次不等式恒成立問題的常用方法

①ax2+bx+c> 0(a≠ 0)恒成立的充要條件是a> 0且b2- 4ac< 0；

②ax2+bx+c< 0(a≠ 0)恒成立的充要條件是a< 0且b2- 4ac< 0；

③ 對于ax2+bx+c> 0在區(qū)間(m,n)上恒成立，常有兩種考慮方法：一是f(x) =ax2+bx+c在(m,n)上圖象恒在x軸上方(根的分布)，二是f(x)在(m,n)上的最小值大于0．

(6)關(guān)于“存在”與“任意”恒成立問題的常用結(jié)論

①恒成立問題：a>f(x)恒成立等價(jià)于a>f(x)max；

②能成立問題：a>f(x)能成立等價(jià)于a>f(x)min；

③恰成立問題：a>f(x)在M上恰成立等價(jià)于a>f(x)的解集為M；

④設(shè)函數(shù)f(x),g(x)對任意的x1∈ [a,b]，存在x2∈ [c,d]，使得f(x1)≥g(x2) ?f(x)min≥g(x)min；

⑤設(shè)函數(shù)f(x),g(x)對任意的x1∈ [a,b]，存在x2∈ [c,d]，使得f(x1)≤g(x2) ?f(x)max≤g(x)max；

⑥設(shè)函數(shù)f(x),g(x)，存在x1∈ [a,b]，存在x2∈ [c,d]，使得f(x1)≥g(x2) ?f(x)max≥g(x)min；

⑦設(shè)函數(shù)f(x),g(x)，存在x1∈ [a,b]，存在x2∈ [c,d]，使得f(x1)≤g(x2) ?f(x)min≤g(x)max；

⑧設(shè)函數(shù)f(x),g(x)，任意x1∈ [a,b]，任意x2∈ [c,d]，都有f(x1)≤g(x2) ?f(x)max≤g(x)min；

⑨設(shè)函數(shù)f(x),g(x)，若對任意x1∈ [a,b]，都存在x0∈ [c,d]，使得g(x0) =f(x1)成立，f(x)的值域A，g(x)的值域?yàn)锽，則A?B．

3.3 典例示范

例1已知函數(shù)f(x) =x2+ax+ 3．

(1)若x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)x∈ [-2, 2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍.

分析 (1)可以用Δ≤0或圖象法求解；(2)用區(qū)間上的最小值或根的分布求解．

解(1)方法1(根的分布法)x2+ax+ 3≥a恒成立，即x2+ax+ 3 -a≥0恒成立，故Δ=a2- 4(3 -a)≤0，即a2+ 4a- 12≤0 ? -6≤a≤2．

方法2(圖象法)x2+ax+ 3≥a?a· (x- 1)≥-x2- 3，畫出y=a(x- 1)，y= -x2- 3的圖象，使過定點(diǎn)(1, 0)、斜率為a的直線y=a(x- 1)始終在拋物線y=-x2- 3的上方，由圖象可知斜率-6≤a≤2．

(2)x∈ [-2, 2]時(shí)，g(x) =x2+ax+ 3 -a，以對稱軸分為三種情況討論:

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為-7≤a≤2．

以上是高中數(shù)學(xué)核心技能教學(xué)研究的一個(gè)案例.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根、開花結(jié)果，通過核心技能的教學(xué)是一個(gè)看得見、摸得著的好渠道．