初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)的實(shí)踐與思考
——以蘇科版“一元一次不等式”章首課為例

浦?jǐn)⒌?(江蘇省無錫市新城中學(xué) 214111)

1 基本情況

1.1 授課對(duì)象

學(xué)生來自區(qū)內(nèi)普通公辦學(xué)校的初一班級(jí)，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總體較好，有良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，初步具備一定的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．

1.2 教材分析

所用教材為教育部2012年審定的《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)(七年級(jí)下冊(cè))》．初中代數(shù)的內(nèi)容主要是數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)五大板塊，其中方程與不等式既可以看成是解決生活問題的基本模型，也可以看成是數(shù)、式的運(yùn)用．第11章“一元一次不等式”既是不等式的開篇之章，又是在第4章“一元一次方程”和第10章“二元一次方程組”學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的延續(xù)，本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以看成是方程板塊內(nèi)容的繼承與創(chuàng)新，類比與對(duì)比是學(xué)習(xí)中最重要的方法之一．

在具體教學(xué)中，一要理清本章“不等式定義—不等式的解(集)—不等式的性質(zhì)—一元一次不等式定義—解一元一次不等式—用一元一次不等式解決問題—一元一次不等式組定義—……”的教學(xué)主線，二要時(shí)時(shí)與方程知識(shí)對(duì)比和類比，通過異同比較，建立方程與不等式的整體認(rèn)識(shí)和系統(tǒng)觀念，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．

教學(xué)目標(biāo) (1)結(jié)合具體問題情境，了解不等式、不等式的解集、一元一次不等式等相關(guān)概念；(2)經(jīng)歷由具體問題抽象出不等式的過程，與方程進(jìn)行類比，體會(huì)研究這類知識(shí)的思路與方法；(3)通過問題解決感受不等式與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，感知不等式也是解決生活問題的基本模型，進(jìn)而初步體會(huì)一元一次不等式模型的思想．

教學(xué)重點(diǎn) 不等式、不等式解集、一元一次不等式的定義及列出不等式．

教學(xué)難點(diǎn) 與一元一次方程進(jìn)行類比，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)整章學(xué)習(xí)主線、知識(shí)結(jié)構(gòu)及研究思路．

2 教學(xué)過程

2.1 情境導(dǎo)入

問題1一只紙箱質(zhì)量為1 kg，當(dāng)放入一些蘋果(每個(gè)蘋果的質(zhì)量為0.25 kg)后，箱子和蘋果的總質(zhì)量恰好是10 kg．請(qǐng)問紙箱里裝了幾個(gè)蘋果？

生1：(10 - 1) ÷ 0.25 = 36．

生2：根據(jù)等量關(guān)系：紙箱重量 + 蘋果重量 = 總質(zhì)量，設(shè)蘋果個(gè)數(shù)為x，可得1 + 0.25x= 10，解之得x= 36．答：紙箱里裝了36個(gè)蘋果．

問題2一只紙箱質(zhì)量為1 kg，當(dāng)放入一些蘋果(每個(gè)蘋果的質(zhì)量為0.25 kg)后，箱子和蘋果的總質(zhì)量不超過10 kg．

提問1 你認(rèn)為紙箱里有幾個(gè)蘋果？

提問2 你能估計(jì)這只紙箱內(nèi)最多能裝多少個(gè)蘋果嗎？

生3：根據(jù)不等量關(guān)系：紙箱重量 + 蘋果重量≤總質(zhì)量，設(shè)蘋果個(gè)數(shù)為x，可得1 + 0.25x≤10．

提問3 這個(gè)列出來的式子是方程嗎？

生4：不是，是不等式．

歸納 方程是刻畫生活中等量關(guān)系的模型，不等式是刻畫生活中不等量關(guān)系的模型．

2.2 探究新知

問題1一輛轎車在公路上的行駛速度是akm/h，已知公路對(duì)轎車的限速是40 km/h，那么這個(gè)關(guān)系可以表示為______________.

圖1

問題2根據(jù)科學(xué)家測定，太陽表面的溫度不低于6 000℃，設(shè)太陽表面溫度為t℃，怎樣表示t和6 000之間的關(guān)系？

問題3天平左盤放3個(gè)乒乓球，右盤放5 g砝碼，天平傾斜．設(shè)每個(gè)乒乓球的質(zhì)量為xg，怎樣表示x與5之間的關(guān)系？

圖2

問題4小明與小聰玩蹺蹺板，大家都不用力時(shí)，蹺蹺板左低右高．小明的身體質(zhì)量為pkg，小聰?shù)纳眢w質(zhì)量為qkg，書包的質(zhì)量為2 kg，怎樣表示p,q之間的關(guān)系？

問題5小梅的年齡不是3歲，表示小梅年齡的字母x的值與3之間有什么關(guān)系？

歸納 在日常生活中，同類量(如長度與長度、質(zhì)量與質(zhì)量、速度與速度)之間可以進(jìn)行比較，它們常常存在相等關(guān)系和不等關(guān)系．顯然，兩個(gè)量相等是特殊情況，而兩個(gè)量不相等是一般情況．

不等式：用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子叫做不等式．特別地，像a≤40,t≥6 000, 3x> 5這樣的不等式．

一元一次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)不等于0，這樣的不等式叫做一元一次不等式．

2.3 運(yùn)用新知

·辨一辨

判斷下列各式中哪些是不等式？

(1)a2+ 1 > 0；(2)a+b= 0；(3)13 > 9；(4)3x- 1≤x；(5)4 - 2x；(6)x-y≠ 1．

·答一答

(1)根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列出不等式：

1)x的2倍與1的和大于x；2)1減去y不大于2；3)y的20%不小于1與y的和；4)a的2倍比a的平方的相反數(shù)小．

(2)用不等式表示下列關(guān)系：

1)a是正數(shù)；2)y的絕對(duì)值與-8的和為負(fù)數(shù)；3)a與b的差的平方是非負(fù)數(shù)；4)某班學(xué)生家到學(xué)校的路程s最遠(yuǎn)是4 km；5)車提速后，時(shí)速v最高可達(dá)140 km/h．

2.4 深化探究

計(jì)算并交流討論：表格里的x的值能使不等式0.25x+ 1≤10成立嗎？

蘋果數(shù)1020253035總質(zhì)量/kg

不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解．

不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成了不等式解的集合，簡稱不等式的解集．

2.5 拓展提升

(1)本課知識(shí)(微觀)

不等式定義、不等式的解、不等式的解集、一元一次不等式定義.

(2)本章結(jié)構(gòu)(中觀)

(3)本章框架(宏觀)

(4)代數(shù)學(xué)段結(jié)構(gòu)(綜合)

(1)本節(jié)課我們研究了哪些知識(shí)？(不等式符號(hào)、不等式定義、不等式的解集、一元一次不等式定義、列不等式)

(2)在研究過程中用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？(特殊與一般、類比與對(duì)比、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、無限與有限)

(3)了解了初中代數(shù)的板塊結(jié)構(gòu)(或方程與不等式結(jié)構(gòu))后給你的學(xué)習(xí)帶來什么啟示？

3 回顧與反思

3.1 對(duì)單元教學(xué)的基本認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)單元教學(xué)是指基于一定的目標(biāo)與主題，以現(xiàn)行教材為基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性、學(xué)生學(xué)習(xí)的整體性和學(xué)生發(fā)展的整體性出發(fā)，對(duì)內(nèi)在關(guān)聯(lián)性強(qiáng)、共同特征多的數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合和重組，以單元為單位進(jìn)行整體策劃和整體設(shè)計(jì)，以實(shí)現(xiàn)整體大于局部之和的教學(xué)效果．?dāng)?shù)學(xué)單元教學(xué)的實(shí)質(zhì)是從知識(shí)的整體和結(jié)構(gòu)入手，圍繞大問題和大概念設(shè)計(jì)、組織、開展教學(xué)[1]．常見的單元有知識(shí)單元、主題單元和活動(dòng)單元等．初中數(shù)學(xué)在新授課教學(xué)時(shí)一般可以選擇知識(shí)單元，在復(fù)習(xí)課、應(yīng)用課教學(xué)時(shí)可以考慮主題單元和活動(dòng)單元．

從上可以看出，單元教學(xué)與當(dāng)前比較熱門的深度學(xué)習(xí)、高階思維等一樣，都是伴隨著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)而成長，因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點(diǎn)[2]，僅靠課時(shí)教學(xué)很難達(dá)成這樣的整體性課程目標(biāo).單元教學(xué)的理念與實(shí)踐，與課時(shí)教學(xué)相輔相成，相得益彰，有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展．

章建躍博士指出，在中觀層面上應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程為載體，經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)思考過程，從而掌握研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象的“基本套路”，具體包括：明確研究的問題，獲得研究的對(duì)象，確定研究的內(nèi)容，選取研究的方法，建構(gòu)研究的過程，獲得研究結(jié)論，等等[3].從中可以看出，單元教學(xué)在關(guān)注本課時(shí)知識(shí)的同時(shí)，應(yīng)該把主要精力和重心放在本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)、研究方法和數(shù)學(xué)思想上．

3.2 對(duì)單元教學(xué)的實(shí)踐思考

初中數(shù)學(xué)以知識(shí)單元為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行新授課的單元教學(xué)，章首課比較適合．因?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)處于小學(xué)與高中之間，初中所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來自于小學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)；初中所學(xué)知識(shí)又前后關(guān)聯(lián)，組成了數(shù)、式、方程、函數(shù)、線段、角、三角形、四邊形等許多同類單元；初中所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)又會(huì)成為高中學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)．這樣，就把小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)知識(shí)“布點(diǎn)”“連線”“成面”的特點(diǎn)充分體現(xiàn)出來，可以充分彌補(bǔ)課時(shí)教學(xué)整體感不強(qiáng)、知識(shí)分解過度、學(xué)習(xí)碎片化、教學(xué)效益低下等不足，有利于學(xué)生形成一個(gè)完整的整體知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體理解．

有的初中數(shù)學(xué)教師認(rèn)為，單元教學(xué)就是把整章的內(nèi)容先在本章第一課時(shí)中蜻蜓點(diǎn)水般呈現(xiàn)，這是對(duì)單元教學(xué)認(rèn)識(shí)的最大誤區(qū)．單元教學(xué)的目標(biāo)定位在一個(gè)單元，著眼于整體，而課時(shí)教學(xué)的目標(biāo)定位在一個(gè)課時(shí)，著眼于局部．章首課單元教學(xué)是“總”，課時(shí)教學(xué)是“分”，章末課復(fù)習(xí)教學(xué)是“總”，三者共同組成“總—分—總”的結(jié)構(gòu)；這樣先見森林，再見樹木，最后又見森林，最終形成既見森林又見樹木的良好局面．單元教學(xué)的重點(diǎn)不在知識(shí)上，而在于為整個(gè)單元提供知識(shí)教學(xué)主線和學(xué)習(xí)基本方法．

考慮到初中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)現(xiàn)實(shí)有限，不是每一單元的章首課都可以進(jìn)行單元教學(xué)，但我們依然可以在整體性教學(xué)方面作些努力，那就是進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)，先確定單元教學(xué)目標(biāo)，再制定每課時(shí)的目標(biāo)，在單元設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上分課時(shí)實(shí)施.這樣在教學(xué)過程中達(dá)成課時(shí)目標(biāo)的同時(shí)，還可以為單元目標(biāo)服務(wù)，最終達(dá)成學(xué)段目標(biāo)和數(shù)學(xué)課程目標(biāo)．

3.3 對(duì)本課教學(xué)的教后反思

本課的章首課單元教學(xué)把目標(biāo)定位在第一課時(shí)知識(shí)及相關(guān)聯(lián)知識(shí)整合、本章研究思路方法上是基于如下兩點(diǎn)：一是要呈現(xiàn)本章的知識(shí)教學(xué)主線，必須要用到不等式、不等式的解集、一元一次不等式等概念，由于學(xué)生已有方程、方程的解、一元一次方程等概念作為數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)奠基，因此把三個(gè)概念整合到本課時(shí)中一起教學(xué)；二是要呈現(xiàn)本章知識(shí)研究思路與方法，同樣學(xué)生已有研究方程、一元一次方程、二元一次方程組的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過數(shù)學(xué)思想方法中的類比與對(duì)比，完全可以領(lǐng)會(huì)研究不等式、一元一次不等式的思路與方法．

在具體教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)不等式、不等式的解(集)、一元一次不等式三個(gè)概念的產(chǎn)生和理解沒有太大的難度；但在產(chǎn)生研究思路與方法上，對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè)不小的考驗(yàn)．畢竟在初中前段內(nèi)容學(xué)習(xí)中，數(shù)只學(xué)習(xí)了有理數(shù)及運(yùn)算，式只學(xué)習(xí)了整式及運(yùn)算，方程也只學(xué)習(xí)了一元一次方程和二元一次方程組，不等式只是開篇，同類單元的教學(xué)基本還沒有真正展開.因此，如何利用一元一次方程、二元一次方程組的研究思路和方法，引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，與不等式、一元一次不等式、一元一次不等式組產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，是本課教學(xué)的難點(diǎn)所在.基于此，本課教學(xué)的重心就放在思路方法的產(chǎn)生上．

單元教學(xué)對(duì)教師和學(xué)生都提出了全新的挑戰(zhàn)．就如本課教學(xué)，如果采用課時(shí)教學(xué)，學(xué)生只需學(xué)會(huì)從生活問題中抽象出不等式、了解不等式的定義和符號(hào)表達(dá)、會(huì)把數(shù)學(xué)問題和生活問題中的不相等數(shù)量關(guān)系用不等式表示就可以了；但采用單元教學(xué)后，需要在課時(shí)教學(xué)基礎(chǔ)上再同時(shí)了解不等式的解集、一元一次不等式等幾個(gè)核心概念，不僅是知識(shí)數(shù)量的增加，還需要理解知識(shí)發(fā)展的方向和學(xué)習(xí)方法.如果采用課時(shí)教學(xué)，教師只需對(duì)照學(xué)生的課時(shí)目標(biāo)通過三個(gè)基本環(huán)節(jié)順利完成本課教學(xué)；但采用單元教學(xué)后，教師需要對(duì)本章內(nèi)容進(jìn)行取舍整合，若所選知識(shí)太多，則難以一課時(shí)完成和達(dá)標(biāo)，若所選知識(shí)太少，又難以形成知識(shí)主線和學(xué)習(xí)方法，這對(duì)教師理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)都是巨大的考驗(yàn)．當(dāng)然，對(duì)單元教學(xué)進(jìn)行長期的實(shí)踐與思考，必定會(huì)促進(jìn)教師專業(yè)水平得到快速的提升，進(jìn)而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到快速的發(fā)展．