利用手機傳感器研究變化磁場中的單擺運動

劉利瀾 李德安

(華南師范大學物理與電信工程學院 廣東 廣州 510006)

測單擺周期并計算重力加速度是大學普通物理實驗的重要內容,由于傳統實驗中利用秒表測單擺周期的方式存在較大的不穩定性，有研究者嘗試借助DIS傳感器測單擺周期[1,2]，但該類儀器成本較高.在測周期實驗中，更創新的方法是通過手機傳感器記錄運動中物理量隨時間變化的情況，通過分析峰值間的時間間隔獲得運動周期.如利用加速度傳感器記錄彈簧諧振時加速度峰值的時間間隔[3]，用磁強計記錄勻變速直線運動中磁感應強度峰值的時間間隔等[4].

智能手機中的傳感器功能豐富逐漸應用于物理實驗中[5～11].本文通過手機傳感器測峰值間的時間間隔獲得周期的方式，設計了兩個單擺實驗.通過磁傳感器記錄空間中磁場強度隨時間變化的情況，測得簡諧運動的周期從而計算重力加速度.在常規單擺實驗的基礎上，拓展研究磁場對單擺周期的影響，通過光線傳感器記錄磁鐵在不同位置時單擺的運動情況，定性地分析變化磁場中單擺周期的變化趨勢.

1 理論背景

在單擺擺角較小(θ<5°)時,單擺的運動可近似看作簡諧振動.簡諧振動動力學公式

(1)

在沒有附加外力的作用下，單擺只受重力和拉力的作用，重力的分力提供回復力如圖1所示.

圖1 擺球受力作用示意圖

(2)

其中，l為擺長(懸點到球心的距離)，聯立式(1)、(2)，可推導出單擺周期的公式

(3)

重力加速度表達式

(4)

當單擺只在重力場中運動時，回復力由重力的分力提供.如果在豎直平面上，對擺球施加一個作用力，由牛頓第二定律知，單擺的回復力將改變.有外力作用的情況下，式(3)可表示為

(5)

其中a表示施加外力對單擺周期的影響.例如，當擺球擺到圖1中位置時，重力的分力沿圓弧切線方向，如果對擺球施加的外力F1沿圓弧切線方向的分力指向平衡位置時，a為正，單擺周期減小；如果對擺球施加的外力F2沿圓弧切線方向的分力背向平衡位置時，a為負，單擺周期增大.

2 利用手機傳感器設計單擺實驗

立足傳統單擺實驗，設計了利用手機傳感器研究單擺實驗的新方法，借助磁傳感器測量單擺的周期并計算重力加速度，借助光線傳感器定性地分析了變化磁場中單擺周期的變化情況.

2.1 磁傳感器測量單擺重力加速度

將磁鐵固定在擺球下端，智能手機固定在擺球平衡位置的最下方，如圖2所示，磁鐵隨擺球擺動時，空間中的磁場強度發生變化.打開手機磁傳感器(Phyphox Magnetometer)，記錄擺球擺動時空間中磁場的變化情況，單擺運動具有周期性特點，故手機磁傳感器接收到的磁感應強度也呈現周期性變化.導出并處理磁傳感器記錄的實時數據，可根據磁場峰值的時間間隔獲得單擺運動的周期T，如圖3所示.

圖3 B-t圖

利用如圖2所示的裝置，選取初始擺角為3°，在0.7～1 m之間，依次改變擺長,一次增加5 cm，共選取7個擺長，用磁傳感器記錄不同擺長時空間中磁場的變化情況,每個擺長對應的周期測量3組數據，每組數據中選取20個峰值計算平均周期，數據記錄如表1所示.

表1 擺長與周期數據記錄

用Origin軟件擬合擺長(l)與周期平方(T2)的關系圖,如圖4所示，其擬合關系式為

T2=4.066l

從圖像中可以看出采集的7個數據幾乎都落在直線上，其斜率

k=4.066 s2/m

擬合相關系數

r=0.999 0

圖4 T2-l的擬合圖像

斜率的不確定度

σk=0.074 s2/m

利用式(4),可計算出重力加速度

g=9.709 m/s2

重力加速度g的不確定度

(6)

得

σg=0.177 m/s2

故實驗測得的g=9.709±0.177 m/s2，廣州當地的重力加速度為9.788 m/s2落在實驗的范圍[9.532，9.886]內，本實驗相對誤差

利用磁傳感器測重力加速度的相對誤差較小，結果較準確，借助手機傳感器將簡諧運動可視化，突破了傳統實驗中無法觀察到單擺做簡諧運動時在空間中的運動軌跡的難點，該方法為實驗教學提供了新思路.

在開展實驗時應注意，手機感應到的磁感應強度在1 000 μT以下為宜，避免過強的磁場損壞手機，因此，選取普通的磁鐵開展實驗且手機應與磁鐵保持一定的距離(本實驗中，磁鐵與手機間距為4 cm)；同時為避免金屬對磁鐵產生影響，應選取非金屬架懸掛帶磁鐵的擺球，以減少實驗誤差.

2.2 光傳感器研究磁場對單擺周期的影響

在單擺下方放置一塊磁鐵，擺球和磁鐵間存在引力，即可看成對擺球施加了一個周期性作用力，該作用力會影響擺球的回復力.改變磁鐵的位置，擺球受到的磁鐵的作用力會發生變化，由式(5)可知，變化的力對單擺周期產生不同的作用效果.打開手機光線傳感器(Phyphox Light)，當放置在光源和智能手機間的擺球擺動時,光線傳感器接收到的光信號發生變化.單擺的擺動表現為周期性，故手機接收到的光信號也呈現周期性的變化.處理光線傳感器記錄的圖像和數據，可獲得單擺的運動周期.

圖5 變化磁場中的單擺實驗裝置圖

利用圖5的單擺實驗裝置，選取初始擺長l為70 cm，擺角為3°，在擺球下方放置一塊圓形小磁鐵，在桌面上水平放置一條塑料直尺，擺球沿著直尺方向擺動.記磁鐵到擺球最低點的水平距離為d，單擺運動周期為T，無磁鐵時，T=1.682 s.以磁鐵在擺球最低點(平衡位置)正下方為初始位置，記為0 cm.從0 cm開始，沿同一水平方向每隔0.5 cm移動一次磁鐵.記錄磁鐵在不同位置時對應的單擺周期.在多次實驗過程中發現，當磁鐵移動到與擺球距離足夠大后，磁場對單擺運動的影響很小，所以當磁鐵移動到9 cm后，每隔1 cm移動一次磁鐵，觀察遠距離的磁鐵對周期的影響.磁鐵位置與單擺周期數據記錄如表2所示.

表2 磁鐵位置與單擺周期

利用表2 中記錄的實驗數據，繪制單擺運動周期(T)隨磁鐵位置(d)變化的圖像,如圖6所示.

圖6 T-d擬合圖像

由圖1可知，擺球擺到最高點與最低點的水平距離公式為

d0=lsinθ

(7)

其中l是擺長，θ為擺角.用米尺測量得擺長

l=70 cmθ=3°

計算得

d0=3.66 cm

T-d的擬合曲線(圖6)可以看出，單擺周期隨磁鐵距離的增大呈現先增加再減小后趨于平緩的變化趨勢.分析圖像可知在受磁場作用下的單擺運動有以下特點：

(1)當磁鐵放在擺球最低點正下方時，單擺受磁鐵作用力沿圓弧切線方向的分力均指向平衡位置，均正向作用于單擺的回復力，加速度a>0,且為最大值.此時，單擺周期最小；

(2)將磁鐵從擺球最低點的正下方移動到擺球最高點正下方的過程中，單擺受到的磁鐵作用力沿切線方向的分力，部分指向平衡位置，部分背離平衡位置.隨著磁鐵距離的增加，磁鐵對單擺回復力的正向作用逐漸減弱，反向作用逐漸加強，加速度a從正向最大逐漸減小到零后再反向增大，故單擺運動周期隨磁鐵距離的增大而增加；

(3)磁鐵移動到擺球最高點正下方時，磁鐵對單擺回復力的反向作用力與正向作用力差值最大，即反向的加速度最大，此時，單擺周期取得最大值；

(4)將磁鐵從擺球最高點正下方繼續向外移動，磁鐵與擺球的距離逐漸增大，磁鐵對單擺回復力的反向作用減弱，單擺運動周期減小.當磁鐵與擺球的距離增大到一定程度后，磁鐵對單擺的影響幾乎可忽略時，單擺恢復自由擺動，單擺運動周期與不放磁鐵時周期相近.

由以上分析可知，給單擺外加的作用力會與重力共同影響單擺的回復力，對擺球施加不同的力，對單擺周期的影響也不同.有研究者通過理論分析,探究非均勻磁場中的單擺運動規律[12].但在實際情況中，磁鐵在空間中的磁力線分布難以用簡單的圖像準確描繪，在變化的磁場中的單擺運動也難以用簡單的公式分析.因此，通過實驗的手段定性地分析了有磁場作用時單擺的周期變化情況，為學習者創造探究學習的情境，未來，學習者可設計其他科學探究實驗，定量地總結單擺受外加變力作用時的周期變化情況.

3 結束語

設計了利用手機傳感器測量單擺運動周期的新方法，豐富了單擺實驗研究的廣度，拓寬學生在單擺實驗中思考的寬度.實驗表明在單擺實驗中引入磁力傳感器記錄簡諧運動的周期，并測得重力加速度的方法準確可靠.在研究變化磁場中單擺運動周期實驗中，通過外加磁場的方法改變單擺回復力，利用手機光線傳感器測量不斷調整磁鐵的位置后，單擺周期的變化情況，從實驗的角度拓展了變力作用時單擺運動的情況.

利用手機傳感器開展的實驗不僅能增加實驗的趣味性，還能為物理實驗研究提供新思路.手機傳感器功能豐富多樣，為開展創新的物理實驗提供更大的便利和自由[13].在將來，手機傳感器運用在物理實驗方面的探索會有更進一步的發展.