GeoGebra軟件助力物理規律深入學習

摘 要：GeoGebra軟件具有強大的幾何作圖和函數呈現功能。利用此軟件分析動態物體的凸透鏡成像規律，可以形象直觀地揭示物像距離變化、物速與像速關系等實驗難以觀測的細節，促進學生深入理解成像的規律，提高學生物理與數學結合的能力。

關鍵詞：GeoGebra；透鏡成像；動點

1 前言GeoGebra軟件名稱是“Geo”與“Gebra”的組合，軟件將Geometry（幾何）和Algebra（代數）結合起來，是一款集幾何、代數、數據分析、處理變量、計算、圖形統計等為一體的動態教學軟件。該軟件具有下載免費、操作簡便、動態形象的特點，目前被廣泛應用于理科教學中。在中學物理教學中，GeoGebra的應用多集中在對高中物理實驗的分析和問題的解決上。［1］初中物理光學的理論基礎是幾何光學，利用GeoGebra的圖形優勢呈現初中物理光學知識不僅形象直觀，提高教學效率，還可能有新的發現。

2 GeoGebra軟件在凸透鏡成像規律中的應用凸透鏡成像是初中物理光學的重點內容，實際教學中通常利用在光具座上做實驗呈現凸透鏡成像規律、利用作圖解釋凸透鏡成像的原理。這種方式是基于靜態的物距、像距形式呈現的，只要給定物距，就可以觀察成像，或者畫出像，從而尋找到像的位置，得出像距。但對于思維能力要求較高的動態問題，如物距隨時間變化的問題，由于實驗和畫圖都不能連續展示成像過程，這在實際教學中不利于學生對透鏡成像規律的深入理解。由于GeoGebra可以精確直觀地呈現透鏡成像實驗的光路圖，并能展示透鏡成像的動態過程，因而能夠深入揭示像距的變化趨勢，得出實驗中不易觀測的現象，助力學生從本質上了解透鏡成像的規律，促進學生物理與數學結合能力的提高。［2］

2.1 凸透鏡動點成像規律的理論分析

運用特殊光線作圖法，畫出凸透鏡成像的光路圖如圖1所示，利用幾何關系，可以得到像的大小和性質隨物距變化的規律，即凸透鏡成像規律。如果物體由遠處向凸透鏡勻速移近，通過理論分析還可以得出新的規律。

2.1.1 物體移動速度與像移動速度的關系

物體以速度V物沿光軸向凸透鏡移動，在Δt時間段內，從位置①移動到位置②，設物體高度為H，①處的物距為u1，像距為v1，像高為h1，②處的物距為u2，像距為v2，像高為h2，根據物距與像距在透鏡兩側的三角形相似可知

此時，物體移動的速度約等于像移動的速度。

綜上所述，在成實像的條件下，物體從遠處逐漸向凸透鏡勻速移動的過程中，像速由小變大，兩倍焦距處是像速由小于物速轉變為大于物速的分界點。

2.1.2 成實像時，物像距離的最小值

在實驗過程中可以觀察到在成實像的條件下，物和像是同方向移動，他們之間的距離如何變化呢？由式①②計算可知Hh1＝u1v1＝fv1－f，化簡得u1＋v1＝v21v1－f，即在成實像時，物像之間的距離符合u＋v＝v2v－f，且u＞f，v＞f。為方便討論，設v＝xf（x＞1），則有u＋v＝x2x－1f，利用列表法求出函數值y＝x2x－1的變化趨勢（如表1所示）。

2.2 GeoGebra軟件呈現動點凸透鏡成像規律

上述的計算結果利用GeoGebra軟件可以形象直觀地展示出來，具體操作如下。

2.2.1 構建光路框架及動點

打開GeoGebra軟件，在工具欄上選擇“直線”，創設主光軸。選擇“交點”創建原點O點，在最下方輸入框，輸入一側焦點、兩倍焦距及透鏡高度坐標，分別命名為F、F2、H。選擇“中心對稱”，創建另一側焦點位置。選擇“橢圓”，創建凸透鏡。選擇“對象上的點”，在主光軸上創建B點。選擇“復選框”，標題為“啟動/暫?！?，作用于B點，構建布爾值a。選擇“移動”，單擊B點，更改代數區速度為“0.2a”，遞增重復，動點創設完畢。選擇“垂線”，建立經過點B且垂直主光軸的直線，再選擇“對象上的點”在直線上創建B′點，選擇“向量”，先后連接B、B′點，代表物體的箭頭便已經做好。

2.2.2 繪制成像

運用工具欄上的“射線”、“垂線”及“對象上的點”三個工具，根據“三條特殊光線法”進行作圖。選擇“向量”，繪制代表“像”的箭頭。選擇“距離/長度”，分別測量并重命名“物距＝OB”“像距＝OG”“物高＝BB′”“實像高＝GG′”。最后隱藏多余直線交點，設置光路對應箭頭，成品圖如圖2所示。繪制虛像時，注意更改相關向量樣式為虛線。繪制完畢后，點擊“啟動/暫?！睆瓦x框，可以看到動點運動。在動點的帶動下，代表物體的箭頭沿光軸勻速向凸透鏡運動，像隨之運動，可以清楚地看到像移動速度由慢變快，形象直觀。

2.2.3 構建數據跟蹤圖像

前面繪制的圖像為實驗光路圖，為了更深入地分析實驗數據，還需要建立數據跟蹤圖像，即將隨著動點運動變化的實驗數值轉化為數學圖像。這里需要建立物像距離變化圖像和物距像距關系兩個圖像，具體操作如下。

建立坐標系，點擊視圖，選擇繪圖區2，點擊任意位置，在下方輸入區域依次輸入兩個坐標原點、x軸端點、y軸端點的坐標（0，0）、（40，0）、（0，50）（坐標系1），（60，0）、（100，0）、（60，50）（坐標系2）。選擇“向量”，先后垂直連接對應兩點，構建出兩個直角坐標軸。

構建物像之間距離隨物距變化的圖像，在下方輸入區域輸入（－x（B），y（B））創建K點，K取值為隨B點運動變化的物距。輸入（x（K），BG）創建L點，BG為物像之間的距離，選擇“距離/長度”，測量線段LK的長度。選擇“文本”，在x軸邊緣構建文本“物距u”，在y軸邊緣構建文本“物像之間距離u＋v”，單擊L點開啟跟蹤。物體B在逐漸靠近凸透鏡的過程中，L點也隨之移動，繪制出物像之間的距離u＋v與物距u的關系圖。發現當u＝2f時，物像之間的距離u＋v最小，等于4f。物像距離變化圖如圖3所示。

構建物體移動與像移動的關系圖像，這里以物距為x軸，像距v為y軸進行繪制。由于是在坐標系2中跟蹤描繪物與像的運動關系，所以以物距OB建立坐標時要根據坐標系2的原點位置向右平移60個單位。在下方輸入區域輸入（OB＋60，0）創建U點，輸入（x（U），OG）創建Z點。選擇“文本”在x軸邊緣構建文本“物距u”，在y軸邊緣構建文本“像距v”。單擊Z點開啟跟蹤。物體B在逐漸靠近凸透鏡的過程中，Z點也隨之移動，跟蹤繪制出像距v與物距u之間的關系圖。結合繪圖區物體運動位置，發現u＞2f時，物距變化速度大于像距變化速度，符合V物＞V像；f＜u＜2f時，物距變化速度小于像距變化速度，符合V物＞V像，與理論推導一致。物像相距變化關系具體跟蹤繪制效果如圖4所示。此外，在完成的課件中也可以直觀看到在成實像的條件下，當物體勻速向透鏡移動時，像移動的速度由小變大。

將上述理論推導和軟件演示合理地運用到實際中學物理教學中，可以有效促進學生對凸透鏡成像規律的深入理解，發掘實驗中的細節，在提升學生觀察能力的同時，體驗數形結合在物理學習中的重要作用。

3 小結GeoGebra軟件與凸透鏡成像實驗結合，揭示凸透鏡成像規律中不易觀察的細節，在直觀地呈現物理實驗原理的同時，也促進了學生對物理實驗數據的深入分析，為物理知識的深入理解提供了有利條件。如何在物理教學中科學地合理運用信息技術，尤其是運用計算軟件，發揮實驗數值的最大作用，發掘實驗現象中的細節，解決物理教學中的重點難點，提高物理教學效果，是今后物理教學值得研究的一個方向。

參考文獻

［1］喬永海. GeoGebra軟件和高中物理的深度融合［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2022：1-2.

［2］賈平，李紅，章晶. 凸透鏡中動態圓成像問題的討論［J］.物理教學，2022，44（9）：52-53，14.實驗研究2024年第3期

*基金項目：本文系江蘇第二師范學院首批教學改革實驗課程（蘇師教［2014］32號）江蘇第二師范學院2021年教學改革研究課題“以物理文化為載體激發物理鄉村定向師范生學習內驅力的長效機制研究”（課題編號：JSSNUJXGG2021YB13）的成果。