基于排隊論的智能倉庫機器人數量需求分析

閆 華，黎麗榮，萬 飛，劉 波，李 睿

(1.陸軍勤務學院，重慶 401311；2.軍事交通學院 汽車士官學校，安徽 蚌埠 233011)

在智能倉庫中，揀選作業主要采用“貨到人”揀選方式，即由機器人將移動貨架(托盤)搬運至揀選站臺，然后由人工完成揀選作業[1]。這種揀選方式揀選效率高，能夠有效節約人力，降低作業成本。但在電商物流中心的運營過程中，作業高峰期出現揀選效率低下并且揀選成本增加的現象，除了機器人路徑規劃方面的原因外，由于智能搬運機器人配置數量不科學，造成貨架搬運不利、站臺等待時間增加，導致揀選作業效率低下，也是其主要原因之一。

因此，需要對智能倉庫中移動機器人的需求量進行分析，綜合考慮訂單數量、揀選效率以及成本等因素，建立機器人數量計算模型，通過求解得到合理的機器人數量，從而解決作業高峰期出現的揀選效率降低、成本增加等問題。

目前，對智能倉庫中搬運機器人相關問題的研究，主要集中在搬運機器人設計與實現[2-3]，機器人多任務協作調度[4-5]，倉庫布局優化[6-7]，以及機器人路徑規劃算法研究[8-9]等領域，針對智能倉庫機器人數量計算的相關研究很少。實際應用中，大部分都是根據經費預算和機器人市場價格進行粗略估算。

本文首先對智能倉庫機器人數量需求分析問題進行了描述，通過將訂單和搬運機器人抽象為隨機服務系統中的顧客和服務臺，該問題可簡化為多服務臺排隊問題；其次，從揀選成本角度出發，綜合考慮時間成本、距離成本和設備成本，建立了機器人數量需求分析模型；再次，基于排隊論基本理論，給出了智能倉庫機器人數量分析過程中的主要指標及其計算公式；最后，通過Matlab建立仿真程序，對某智能倉庫取不同數量機器人時的各項系統指標及目標函數進行了計算，并分析得到最優的機器人配置數量。

1 問題描述

智能倉庫中一般采用“貨到人”揀選方式，因此，搬運機器人的主要任務是根據系統分配的訂單，將貨物所在的移動貨架運至揀選人員作業區域。如果將倉庫中到達的訂單看作顧客，那么一個搬運機器人就可看作一個服務臺，則搬運機器人數量計算問題就可抽象為多通道等待排隊問題，此處多通道為多個服務臺，即智能倉庫中的多個機器人。多通道排隊問題，其特征與單通道標準模型特征完全相同。

在智能倉庫中，由訂單、機器人和揀選人員組成的揀選系統如圖1所示。

圖1 機器人數量需求分析系統示意圖

智能倉庫機器人數量需求分析問題主要研究不同數量的搬運機器人對訂單的服務情況，問題目標可表述為在滿足訂單揀選需求的前提下，盡量減少系統中訂單的等待時間(或系統中等待揀選的訂單隊長)，同時盡量提高機器人利用率，避免資源閑置，達到較高的投資效益。因此，在研究過程中，假設人工揀選平臺總能滿足揀選需求，只考慮機器人服務訂單的情況。此時，可將倉庫機器人數量需求問題抽象為一個多服務臺排隊問題，即單隊、并列的多服務臺(M/M/C)排隊模型。

2 智能倉庫機器人數量需求分析模型

從揀選成本角度建立智能搬運機器人需求數量計算模型的目標函數。揀選作業成本通常包括時間成本、距離成本和設備成本。

1)時間成本。倉庫中的揀選活動根據訂單貨物的不同，其揀選時間長短不同。揀選時間越長，則揀選作業的時間成本越高；反之，則時間成本越低。

2)距離成本。待揀選商品與倉庫理貨區的距離，也是揀選作業成本應考慮的因素。距離越遠，則揀選作業時間及能量消耗越大，揀選作業成本越高。

3)設備成本。揀選作業時，揀選設備利用率的高低會影響作業成本。若設備閑置空轉，利用率低，會造成資源浪費，顯然會增加揀選作業成本。因此，在計算揀選作業成本時，應考慮揀選設備的利用率。

令tN表示系統中有N個搬運機器人時訂單的平均服務時間，服務時間越長，則時間成本越高。取tmin為系統的最小服務時間。令ts=tN/tmin，則ts表示當前系統的平均服務時間與系統最小服務時間之比，ts越大，表明每個訂單平均服務時間越長，即時間成本越高。

由于智能搬運機器人數量的多少并不影響批次訂單的揀選距離，且雖然對多智能搬運機器人行走路徑進行了優化，但由于在仿真系統中，無法獲取規劃前后機器人揀選路徑優化程度的具體量化數值，因此，這里假設機器人數量的變化，不會對揀選距離產生影響。

設備成本在此處具體體現為系統的揀選效率，可以系統中每個機器人的平均空閑率P0=1-r作為衡量指標。r代表單個機器人工作概率，P0反映了系統中每個機器人的空閑程度，該值越大，表明智能搬運機器人的利用程度越低，則揀選成本越高。

綜上所述，可建立智能搬運機器人需求數量分析模型的目標函數如下：

minF=ts+P0

(1)

假設訂單的到達服從泊松分布，則可基于多服務臺排隊系統理論，通過分析，計算得到當系統取不同智能搬運機器人數量N的情況下，系統的揀選作業成本F，則當F最小時，即為最優的機器人數量。

3 基于排隊論的機器人數量計算

假定倉庫中到達的訂單服從泊松分布，其到達率為λ；倉庫中有C個機器人，每個機器人相互獨立工作，且每個機器人的服務率μ均相同，則整個倉庫對訂單的平均服務率為Cμ。令ρ=λ/Cμ為系統的服務強度或服務機構的平均利用率，顯然只有當ρ<1時才不會排成無限長的隊列，下面列出相關符號定義。

λ為訂單到達率，μ為單個機器人的服務率，C為機器人數量，ρ為系統服務強度，Ls為平均訂單數，Lq為平均等待的訂單數，Ws為訂單平均逗留時間，Wq為訂單平均排隊等待時間。

記Pn為系統中有n個訂單的概率，根據排隊論相關理論可得：

(2)

(3)

系統的運行指標計算公式如下：

(4)

(5)

(6)

(7)

在進行智能倉庫機器人數量分析過程中，主要對以上指標進行分析：平均隊長Ls，指系統中的平均訂單數量，包括等待和正在揀選的訂單數量總和；平均排隊長Lq，指系統中等待揀選的訂單數量；平均逗留時間Ws，指訂單從到達系統到揀選完成的平均時間；平均等待時間Wq，指訂單從到達系統到被揀選為止的平均時間。

4 算例分析

在仿真實驗中，假定每小時平均到達的訂單數為625個，單個搬運機器人每小時能夠揀選完成的訂單數量為20個，即λ=0.001 6，μ=0.05。同時，在仿真實驗中做出以下假設：每個訂單只有一種類型的商品；每種商品在一個貨架的揀選能夠一次滿足。即每個訂單的揀選任務能夠由一個搬運機器人通過搬運一次移動貨架完成。

基于上文建立的智能倉庫機器人數量需求分析模型，通過Matlab建立仿真程序，并采用排隊論理論進行計算，可得在不同機器人數量下的目標函數及系統中各項指標如表1所示。

從表1可以看出：根據提出的倉庫機器人數量需求分析模型，當訂單到達率λ=0.001 6，機器人服務率μ=0.05時，機器人數量C=35的目標函數值F=1.12，為最小值。此時，訂單在系統中的平均服務時間為3.33，即單個搬運機器人每小時揀選完成的平均訂單數量約為18個；同時，每個機器人的空閑率約為1%，基本上達到了對機器人的最大利用。

下面分別取機器人數量為32和40進行對比。當機器人數量為32時，由表1可以看出，系統中訂單的平均服務時間為6.40，即單個搬運機器人每小時揀選完成的平均訂單數量約為9個，此時，即使所有機器人都滿負荷運轉，也根本無法滿足每小時平均625個訂單的揀選要求；當機器人數量為40時，由表1可知：系統中訂單的平均服務時間為3.03，即單個搬運機器人每小時揀選完成的平均訂單數量約為20個，此時，若所有機器人全部工作，每小時可完成的訂單數為800個，大于每小時需要處理的平均訂單數量，因此，約有21%的機器人處于空閑狀態。考慮機器人昂貴的購置成本，這一方案雖然滿足了揀選數量要求，但是資金投入過高，且造成了一定程度的資源浪費。綜上所述，從揀選效率、揀選成本綜合分析可知，當λ=0.001 6，μ=0.05時，最優機器人配置數量為35臺。

5 結論

通過綜合考慮訂單數量、揀選效率以及機器人購置成本等因素，建立了智能倉庫機器人數量需求分析模型。基于排隊論理論對系統的平均隊長Ls、訂單的平均逗留時間Ws等指標進行分析，并計算模型目標函數，可得考慮揀選效率和揀選成本等因素下的最優機器人數量配置。既能滿足智能倉庫中對訂單的揀選需求，避免因為等待時間過長而造成的成本增加；同時，保證每臺機器人都能夠得到充分利用，避免機器人閑置導致投入過高和資源浪費。