基于Kane方程的并聯平臺建模方法

齊嘉興，趙修平

(海軍航空大學，山東 煙臺 264001)

并聯機構由于具有控制精度高、工作空間小、負載能力強等特點，目前已經得到了廣泛的研究和應用[1]。為了實現對并聯機構基于模型的高精度控制，對其進行動力學分析并建立準確的動力學模型是十分必要的。針對六自由度并聯平臺動力學方程的建立，常用的方法包括Lagrange公式[2-3]、Newton-Euler方程[4]、虛功方程[5]、Kane方程[6-13]等，很多學者通過建模分析表明Kane方程較其他方法具有高效性和簡潔性。

按照Kane方程中偏速度和偏角速度的不同表述形式，可以將Kane方程的建模過程分為兩種：一種是嚴格按照Kane方程的定義逐個求取相對于廣義速率的廣義主動力分量和廣義慣性力分量，文獻[8,11]按照這種方式給出了Kane方程建模的詳細過程，但整個過程較為繁瑣；另一種是通過剛體之間速度的映射關系求取每個剛體上主動力和慣性力對應的廣義主動力和廣義慣性力，文獻[6]利用Kane方程，通過影響系數矩陣建立了并聯機床的動力學模型，文獻[2,7,9-10,12]利用Kane方程，通過計算各速度之間的映射關系建立了六自由度并聯平臺的動力學方程，使其具有更簡潔的表達形式。

歐拉角和四元數被廣泛用于描述動平臺的姿態，當選取動平臺的六維空間速度分量作為廣義速率時，歐拉角、四元數與動平臺空間角速度之間不具有簡單地微分關系，因此需要額外的轉換過程[10]。

此外，不同文獻對動平臺和連桿轉動慣性力的計算也有不同的表述。文獻[6-7]沒有對運動過程中動平臺和連桿慣性矩陣的計算做出明確說明；文獻[9-10]利用Lagrange公式對連桿的轉動慣性力進行了計算，推導過程較為繁瑣；文獻[8,11]將動平臺和連桿對質心的慣性矩陣等價為對下平臺原點的慣性矩陣。

本文使用螺旋坐標描述動平臺空間姿態，以動平臺的六維空間速度分量作為廣義速率，通過速度之間的映射關系，求取各剛體上主動力和慣性力對應的廣義主動力和廣義慣性力，并給出了明確的計算過程，根據Kane方程建立了六自由度并聯平臺的動力學模型。

1 Kane方程

六自由度并聯平臺系統是包括上、下平臺以及六組上、下連桿共14個剛體的剛體系，剛體系的Kane方程可以表示為[14]：

(1)

(2)

(3)

根據Kane方程建立剛體系動力學方程的過程包括：1)根據自由度數確定廣義速率；2)根據廣義速率，確定各剛體的偏速度和偏角速度；3)結合各剛體所受主動力、慣性力計算廣義主動力和廣義慣性力；4)按照Kane方程建立動力學方程。

2 并聯平臺速度及加速度分析

2.1 坐標系建立和參數設定

六自由度并聯平臺由動平臺A1A2A3A4A5A6和靜平臺B1B2B3B4B5B6組成，采用半正六邊形的形狀，上下平臺通過上、下連桿和球面副相連接，構成SPS結構，如圖1所示。

本文在進行動力學分析時做了如下假設：

1)忽略各關節的摩擦力；

2)各剛體質量均勻；

3)各連桿關于各自的軸是對稱的，且不能繞著各自的軸旋轉；

4)動平臺質心位于上鉸點構成的平面的形心處。

在動、靜平臺的質心處分別建立坐標系OPxPyPzP、OBxByBzB。平臺的矢量關系如圖2所示，其中li為連桿的長度，ei為連桿的單位矢量，ai、bi為動、靜平臺上的鉸點在各自平臺坐標系的位置矢量，矢量P表示動平臺質心在靜平臺坐標系的位置。動平臺、上連桿和下連桿的質量分別為mP、ma和mb。

圖1 并聯平臺SPS結構示意圖

圖2 連桿參數示意圖

如圖2所示，在下鉸點Bi處建立依附于連桿的移動坐標系{Bi}，{Bi}的單位向量分別為ei、ti和ri，ti和ri定義為：

(4)

ri=ei×ti

(5)

則{Bi}相對于{OB}的旋轉矩陣為[13]：

(6)

2.2 速度關系

根據圖2所示的矢量關系可得：

liei=p+BRPai-bi

(7)

(8)

式(8)右邊為上鉸點的速度，其與動平臺空間速度q的關系為：

(9)

(10)

用ei對式(8)兩邊同時進行叉積運算，并認為連桿不能繞著ei方向的軸旋轉，整理后可以得到各連桿的角速度為：

(11)

將式(9)代入式(11)，整理后可得到：

(12)

根據圖2所示幾何關系可得上連桿質心速度為：

(13)

同理可得下連桿的速度為：

(14)

2.3 加速度關系

對式(11)兩邊求導可得支腿伸縮運動的加速度為：

(15)

對式(9)兩邊求導可得上鉸點加速度為：

(16)

式(16)中，ΩP為ωP的反對稱矩陣。

對式(13)兩邊求導可得上連桿質心加速度為：

(17)

其中：

(18)

(19)

同理可得：

(20)

(21)

3 基于Kane方程的動力學建模

3.1 偏速度和偏角速度

上連桿的偏速度矩陣為：

(22)

下連桿的偏速度矩陣為：

(23)

上、下連桿具有相同的偏角速度矩陣，均為：

(24)

動平臺的偏速度矩陣和偏角速度矩陣分別為：

(25)

(26)

3.2 廣義主動力

在不考慮負載和其他干擾力的情況下，并聯平臺的主動力包括：動平臺和連桿的重力以及連桿上的驅動力。

(27)

進一步在偏速度矩陣的基礎上，可以給出上連桿重力的廣義主動力矩陣為：

(28)

同理可以得到下連桿重力的廣義主動力矩陣為：

(29)

動平臺重力的廣義主動力矩陣為：

(30)

六個支腿上的驅動力向量τ作用在上連桿上，其對應的廣義主動力為：

(31)

3.3 廣義慣性力

上連桿質心運動產生的慣性力為：

(32)

參考廣義主動力矩陣的形式，結合式(22)可以得到上連桿質心運動的廣義慣性力矩陣為：

(33)

同理可以得到下連桿質心運動的廣義慣性力矩陣為：

(34)

上、下連桿轉動產生的慣性力為：

(35)

(36)

(37)

結合式(24)，其對應的廣義慣性力矩陣為：

(38)

式(38)中，skew(Peivai)為Peivai的反對稱矩陣。

動平臺質心運動產生的慣性力為：

(39)

動平臺轉動產生的慣性力為：

(40)

(41)

3.4 并聯平臺封閉動力學模型

根據Kane方程，將求得的廣義主動力和廣義慣性力代入式(1)可得：

(42)

進一步整理得：

(43)

(44)

(Mai+Mbi+Mai,bi)ΩP(ΩPci)+CP

(45)

(46)

至此得到了六自由度并聯平臺完整的封閉動力學方程。

4 仿真驗證

給定并聯平臺中各剛體的幾何參數，如表1所示。分別在式(43)表示的動力學方程下，考察并聯平臺的前向動力學仿真和逆動力學仿真以驗證模型的正確性。

表1 并聯平臺的幾何參數

前向動力學仿真即已知驅動力，求解動平臺的運動軌跡。利用計算力矩法[13]控制動平臺跟蹤式(47)和式(48)所示的軌跡，且不考慮模型的建模誤差，動平臺的初始高度為0.65 m，其余初始狀態均為0，利用四階龍格庫塔法求解，實際軌跡和輸出軌跡如圖3和圖4所示。

(47)

(48)

逆向動力學即在給定軌跡下，求解所需的驅動力。考察并聯平臺在式(47)和式(48)所示的軌跡下的驅動力變化。驅動力變化曲線如圖5和圖6所示。

從前向動力學仿真和逆動力學仿真的結果可以看出，并聯平臺的運動和驅動力變化是符合預期的，表明本文利用Kane方程建模的正確性。

圖3 動平臺位置的期望和輸出軌跡

圖4 動平臺姿態的期望和輸出軌跡

圖5 連桿1-3驅動力變化曲線

圖6 連桿4-6驅動力變化曲線

5 結論

1)用螺旋坐標描述動平臺的空間姿態，使動平臺空間位姿的導數和空間速度具有直接的對應關系，避免了額外的轉換過程；

2)通過建立偏速度矩陣和偏角速度矩陣推導了Kane方程中各變量具體的表達式，并對動平臺和連桿相對質心的慣量矩陣計算做出了說明；

3)根據Kane方程建立了六自由度并聯平臺的動力學模型，通過仿真驗證了模型的正確性。