數學轉化思想在解一元二次方程的分析

蔡普州

摘 要：想讓學生們以較快的速度學會解一元二次方程，就需要讓學生們熟練掌握數學轉化思想，讓學生們學會將新問題轉化成老問題。學生們在學習解一元二次方程的過程中，最重要的一部分轉化就是“降次”。如果學生們能夠成功地掌握“降次”方法，把一元二次方程化為一元一次方程，那么就已經完成了解一元二次方程的關鍵步驟，問題也就迎刃而解了。

關鍵詞：數學轉化思想 一元二次方程 降次

轉化思想是初中數學中常見的一種數學思想，它的應用十分廣泛。我們在解決數學問題時，常需運用它將復雜的問題轉化為簡單的問題，將生疏的問題轉化為熟悉的問題，將難以解決的問題轉化為容易解決的問題，將待解決的問題轉化為已解決的問題。教師在帶領學生們學習一元二次方程的解法時，涉及的一個重要的數學思想——轉化思想。無論是直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是運用了“轉化”的思想，把待解決的問題（一元二次方程），通過轉化，歸結為已解決的問題（一元一次方程），也就是不斷地把“未知”轉化為“已知”的過程。那么，一元二次方程的解法中，如何把“未知”變為“已知”，實現方程的轉化呢？這正是我們今天討論的關鍵所在。

一、降次方法的講解與轉化思想的滲透

降次方法是非常重要的，也是一切解題方法和解題思想的開端。因此，教師可以通過情境導入的方式，來帶領學生們了解降次思想與降次方法，讓學生們明白降次在解一元二次方程中的重要性，從而讓轉化思想學生們的腦海中生根發芽[1]。

例如：教師在課堂開始之初，可以先問學生們這樣一個問題：要使一塊矩形場地的長比寬多6m，并且面積為16m2，場地的長和寬分別是多少？然后，教師可以給學生們一些時間，讓學生們自己就該問題進行討論。在學生討論方程的解法時，教師應注意引導學生根據降次的思想，利用配方的方法解決問題，進而體會配方法解方程的一般步驟。待學生們快要討論完畢后，教師可以根據學生們的討論情況來做一個歸納，即：通過配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法;配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程。而后，教師可以在此基礎之上，為學生們引入降次的概念，總結并歸納降次的思想，以此來為學生們進行初步滲透。

二、利用直接開平方法求解方程

所謂“直接開平方法”，即：根據平方式的概念特征，直接通過開平方的形式將一元二次方程轉化為一元一次方程，最終使方程得解。因此，“直接開平方法”在很大程度上體現了降次思想在一元二次方程的應用，是數學轉化思想在一元二次方程中的初級形態。

例如：解方程（3x+1）2 =4

分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做

（2）方程左邊是完全平方式（3x+1）2，右邊=4>0，所以此方程也可用直接開平方法解。

解：（3x+1）2 =4

∴3x+1=±2（注意不要丟解）

∴3x=1或-3

∴原方程的解為x1=1/3，2x=-1

三、利用配方法求解方程

通過配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法;配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程[2]。此方法體現降次思想最為明顯，也是轉化思想的重要運用方法。因此，教師可以先給學生們一個題目，讓學生們進行討論。在學生討論方程的解法時，教師應注意引導學生根據降次的思想，利用配方的方法解決問題，進而體會配方法解方程的一般步驟，提升學生們解決數學問題的能力。

例如：用配方法求解一元二次方程2x2+12x+16=0。

解：一移（常數項移到方程右側）2x2+12x=-16

二除（使二次項系數為1）x2+6x=-8

三配（把方程左側配成完全平方式）

x2+6x+9=-8+9

x+3）2=1

x+3=±1

∴x1=-2，x2=-4

有的時候我們也需要用配方法求解代數式的最值，這種情況可以以這道題為例：求2x2+12x+16的最小值

2x2+12x+16

=2（x2+6x）+16

=2（x2+6x+9-9）+16

=2（x+3）2-18+16

=2（x+3）2-2

∵（x+3）2≥0，∴2（x+3）2-2≥-2

當x=-3時，代數式有最小值-2

四、利用公式法求解方程

所謂“公式法”，即：把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式△b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項系數a， b， c的值代入求根公式，（b2-4ac≥0）就可得到方程的根。求根公式是由配方法得來的，也就是說公式本身的推導過程就是轉化思想在解一元二次方程的過程當中發揮作用的過程[3]。因此，教師在帶領學生們學習公式法解一元二次方程的過程中，首先要為學生們介紹公式的來源和推導過程，以此來幫助學生們進行理解;其次再教會學生們如何利用公式法求解一元二次方程，讓學生們能夠感受到屬于數學的獨特魅力。

首先，教師要為學生們介紹公式的來源和推導過程，以此來便于學生對公式的理解和接受。推導過程為：ax2+bx+c=0，a≠0

方程兩邊除以a得：

x2+（b/a）x+c/a=0

配方——

x2+2（b/2a）x+（b/2a）2+c/a-（b/2a）2=0

[x+（b/2a）]2=（b/2a）2-c/a=（b2-4ac）/（4a2）

其次，教師要為學生們講解如何通過公式法來解方程，案例如下：2x2-4x-1=0用公式法解該方程。

解：（1）a=2，b=4，c=-1

b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0

，。

結語

綜上所述，轉化思想貫穿于一元二次方程的各個解法當中。因此，教師在教學過程中應將轉化思想滲透于教學過程當中，以此來為學生們今后的學習和發展奠定一個堅實的基礎。

參考文獻

[1]龍海英.數學轉化思想在解一元二次方程中的應用[J].新課程·中學，2019（4）：49.

[2]王紅權，李馨.從系統的觀點看一元二次方程的解法教學設計[J].數學教育學報，2019，28（3）：94-97.

[3]徐坤.一元二次方程的應用[J].新高考（升學考試），2015（5）：31-33.