反證法在初中數學解題中的應用探討

馬多貴

摘 要：在初中數學的教學和學習過程中，反證法是一種非常常見的解題方法，它可以有效簡化數學問題，提高解題速度與解題正確率，鍛煉學生的邏輯思維能力。在初中數學解題過程中，反證法的應用十分廣泛。尤其是針對一些無處著手的數學問題，反證法的解題技巧可以幫助學生迅速獲得解題答案。基于此，本文概述了反證法的理論和分類等，重點針對反證法在初中數學解題中的應用進行了詳細的分析，以供參考。

關鍵詞：反證法;初中數學;解題;應用

中圖分類號：G63? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2020）12-0096-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2020.12.047

反證法的應用思路是先將結論否定，然后依次為基礎展開論證，并根據已知命題和推理原則得出與已知題設相矛盾的結論，進而確定論題的真實性。由此可見，反證法的應用并不需要直接證明結論，而是通過否定與結論相反的一面來證明事物的真實性。這是一種間接的、讓步的證明方法。巧妙地應用反證法可以讓人有一種茅塞頓開的感覺，并且解題過程簡潔、明快，被譽為“數學家最精良的武器之一”。而且在初中數學解題中，巧妙應用反證法可以有效培養學生的逆向思維，提高學生的數學問題解決能力。

一、反證法的概述

反證法在初中數學解題中屬于較為特別的解題方法，尤其對于一些無從下手的難題往往有較好的解題效果，但要想正確有效地運用需要準確細致地了解反證法的相關理念，下面進行具體論述。

（一）反證法的基本理念

先對原命題進行否定，然后再找出必要的矛盾，就可以對原命題進行論證。也就是說，在證明一個命題的時候，可以先假設命題結論的對立面是正確的，再由已知條件得出兩個相互矛盾的結論，或者與數學定理、公理、已知條件等相矛盾的結果，就可以說假設不成立。而在說明假設不成立的同時，也就代表著原命題的成立。這就是反證法。

（二）反證法的理論依據

反證法的理論依據為矛盾律和排中律。矛盾律的意思是，在同一個證明過程中，如果兩個相結論相互對立，那么其中一個必然是錯誤的。而排中律的意思是，同一個命題只有兩種可能，要么為真，要么為假。排中律的特點是，解題者必須要有清晰、明確的思維，不僅要確定自己的思維邏輯，還要明確自己的立場。要想有效地運用矛盾律和排中律解決數學問題，就一定要避免出現邏輯矛盾，如果邏輯思維不符合排中律，那么必然也不符合矛盾律。但是矛盾律更加強調當兩個結論彼此對立的時候，其中一個結論必然是錯誤的。而排中律則強調兩個結論相互否定，就會存在一定的正確結論[1]。

（三）反證法的邏輯依據

與直接證明法一樣，反證法的推理過程也有著一定的邏輯規律。很多人認為“原命題與逆否命題等價”，就是反證法應用的邏輯依據，只有明確了四種命題之間的關系，才能夠將反證法的基礎知識掌握扎實。但是這種理解是錯誤的，因為原命題與逆否命題之間的等價關系，正是通過反證法推理出來的，將反證法理解為“證明與原命題等效的逆命題”更是不準確的。只有在矛盾假設推理出來的結果正好是題設的時候，我們才可以將被證明的命題視為原命題的逆否命題。

（四）反證法的分類

一般情況下，我們可以將反證法分為以下兩種。第一種是歸謬法，即對原命題的結論進行否定，如果只有一種情況，那么只要證明這種情況是錯誤的，就可以證明原命題結論成立。第二種是窮舉法，即對原命題的結論進行否定，其結果有多種情況，那么就只能將所有情況進行逐一否定，才能證明原命題結論成立。

二、反證法在初中數學解題中應用的重要性

在初中數學的教學和實際解題過程中，應用反證法不僅可以提高解題效率和解題的正確性，同時反向的思維方式還可以提高學生的數學思維與邏輯能力，改進和豐富初中數學的教學方法，增加數學學習的趣味性并提高學生學習的興趣，以上均可以整體推動數學教育的發展與進步。

（一）提高了學生的數學思維能力

反證法的解題思維與常規性的數學解題思維完全相反，所以反證法的應用可以對學生的解題思維產生新的啟發，進而提高學生的數學思維能力。當面對數學問題的時候，學生往往會習慣性地運用常規性方法展開思考與分析，但是還有相當一部分的數學問題，很難通過常規方法獲得答案，只有從反面思考才能找到解題突破口。所以，在初中數學解題過程中，反證法的應用可以拓寬學生的解題思路，讓學生思考并嘗試更多非常規的解題方法。久而久之，學生的數學思維能力也就得到了有效提高。

（二）推動了數學教育的發展與進步

面對數學問題，如果初中學生長期使用正向思維，很容易形成一種定性思維，甚至對學生多樣化的思考方式產生限制，影響學生對問題的多角度思考的同時，也讓學生對枯燥的數學學習無法提起學習興趣。隨著新課程改革的不斷深化，在數學知識的學習方面，對于學生也提出了更高的要求，即學生不僅要掌握足夠的基礎知識，為后期數學知識的學習打好基礎，還要學會多角度的分析數學問題，運用多種數學思維獲得問題答案。另外，掌握了反證法的應用技巧的學生，還可以將這種數學思維應用到日常生活中特殊問題的解決當中，而這正好為數學教育的發展提供了有力的支持。

（三）改進了初中數學的教學方法

反證法不僅是一種常用的數學解題方法，還是一種重要的數學解題方法，與常規的數學解題思維有著很大的差異。在新課程改革不斷深化的背景下，數學教師必須要按照新課程的教學要求實施教學活動，并加強新型數學解題方法以及數學思維模式的學習，保證教學質量。而反證法的巧妙應用，不僅可以簡化數學問題的解析過程，還可以保證數學問題的解析效率。另外，教師合理地應用反證法，還可以加深對現有數學教學方法的深思，并在教學實踐中進行自身教學方法的不斷的優化和調整。只有不斷嘗試新的教學方法，才能夠不斷激發學生對數學知識的學習興趣，讓學生體會數學問題的解題樂趣。

三、反證法在數學解題中的應用步驟

反證法在數學解題中的應用步驟，主要有三步：第一反設，第二歸謬，第三結論。首先，反設，這是應用反證法解決數學問題的基礎，反設的正確與否，直接影響著數學問題的解題進度與解題結果。要想進行正確的反設，第一要明確題設條件與結論，第二全面詳細地找出與結論相反的架設，第三對結論進行肯定或者否定。為了提高反設的正確率，可以引導學生熟知常用的幾種互為否定詞。例如“是”的反義詞是“不是”，“都”的反義詞是“不都”，“大于”的反義詞是“不大于”，“小于”的反義詞是“不小于”，“有限”的反義詞是“存在”，“存在”的反義詞是“不存在”。另外，針對至少有1個，至多有n個，至多有1個等證明結論的反設，就需要用心琢磨，了解“一個也沒有”“最多有兩個”以及“至多有n個”的含義。其次，歸謬，這是應用反證法正確解決數學問題的關鍵，也是應用反證法的難點所在。主要是通過反設來得出矛盾，需要解題者明確推理方向反設后條件部分，明確如何找出矛盾。最后，結論，即通過反證法獲得預期結果。歸謬得出的矛盾是因為反射才產生的問題，并不是所謂的新理論。只有這樣，才能夠得出原命題成立的結論[2]。

四、反證法在數學解題中的應用注意事項

反證法是通過驗證與所求結論相反結論的錯誤性來得出所求結論的正確性的一種數學解題方式。在實際解題過程中，要注意以下幾點才能正確有效的運用，并得出正確答案。

（一）正確否定結論

在數學問題的解決過程中，要想巧妙地應用反證法獲得問題答案，必須要對結論進行正確的否定，這是應用反證法解題的前提。

例如，針對“在一個三角形中內角最多只有一個直角”的題設，將“最多只有一個”進行反設，就是“一個三角形中三個內角可以有兩個直角或者三個直角。”所以，要想正確應用反證法解決數學問題，必須要注意到實際的題型結構，然后通過對原始結論的否定來對原結論進行肯定。而要想對原始結論進行否定，就必須要在正確的邏輯推理過程中發現矛盾或者制造矛盾。由此可見，反證法的應用可以有效訓練學生的逆向思維，進而增強學生的思維能力，提高數學教學質量[3]。

（二）明確推理特點

在數學問題的解決過程中，要想巧妙地應用反證法獲得問題答案，就需要先否定結論，再推導出矛盾。但是會出現什么樣的矛盾，或者推導到什么程度會出現矛盾具有一定的不確定性。但是可以通過相關領域的聯想來猜測矛盾的種類。例如，如果題目是與平面幾何相關的問題，那么就要聯想與平面幾何相關的公理、定理以及定義等。而且只要做到反設無誤，推導過程嚴謹，邏輯正確，就可以自然而然地找到矛盾，證明結論。

（三）了解矛盾種類

常見的矛盾主要有以下幾種形式：第一自相矛盾，第二與假設矛盾，第三與已知條件矛盾，第四與數學定理、公理以及定義矛盾。與直接證明法相比，反證法的應用可以跨越一些解題阻礙，簡化解題步驟，而且通過反設還可以增加解題條件，快速得出結論。

綜上所述，在初中數學的解題實踐過程中，反證法是一種非常有效的數學解題方法，很多看似無從下手的問題，使用反證法都可以迎刃而解，而且解題的效率非常高。但是反證法的應用具有一定的難度，學生很難在短時間內掌握。所以初中數學教師要講究一定的方式方法對反證法的知識點進行教授，對反證法的概念、種類、解題步驟以及適用的題型進行充分詳細的講解和反復強調，讓學生形成深刻印象才能更好地應用。筆者著重分析了反證法在初中數學解題中應用的重要性，并對反證法的步驟和解題時應該注意的事項進行了詳細的論述。只有采取有效的措施加深學生對于反證法的理解，熟練反證法的解題步驟，學生才能夠在實際解題時信手拈來做到熟練運用，才能夠熟練地假設問題的矛盾，明確解題思路，正確獲得問題答案，同時節約答題時間。

參考文獻：

[1]張良江.善進退? 巧迂回——例說初中數學間接解題策略[J].初中數學教與學，2018（11）：12.

[2]賀晉，劉海峰，謝新興.從反證法應用體會數學的逆向思維習慣養成[J].當代教育實踐與教學研究（電子刊），2014（4）：26.

[3]王淼生，陳莉紅.例談反證法在中小學數學中的精彩演繹[J].江西教育，2017（5）：14.

[責任編輯 杜建立]